2026高考数学复习高效培优专题14 直线与圆的最值与范围问题（培优高频考点专练）（解析版）

专题14直线与圆的最值与范围问题

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）

题型一与距离相关的最值与范围问题（）

题型二与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题（）

题型三与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题（）

题型四与圆的参数方程相关的最值与范围问题（）

题型五与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题（）

实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

高考中以选择题、填空题为主，部分试卷会在解答题中作为第一问或关键步骤考查，分值5-12分。

基础知识必备：直线相关：掌握倾斜角与斜率的关系、五种直线方程形式（点斜式、斜截式等），熟练运

用两点间距离、点到直线距离及平行线间距离公式。圆的相关：牢记圆的标准方程与一般方程，理解一般

方程表示圆的充要条件（），掌握圆心和半径的求解公式。位置关系：能通过代数法（判

22

别式）和几何法（距离与�半径+关�系−）4判�>断直0线与圆、圆与圆的位置关系。

2026高考预测：命题趋势：侧重综合化考查，常结合函数、不等式、向量等知识点，聚焦最值与范围问题

的核心逻辑。创新方向：可能出现含参数的动态直线与圆问题，或结合实际场景的几何建模题，强调数形

结合能力和分类讨论思想。

重难知识汇总：距离最值问题：圆上点到定直线、定点的距离最值（核心逻辑：圆心到直线/定点距离±半

径）；两圆间的最短/最长距离。参数范围问题：含参数直线与圆有公共点时的参数取值范围；圆的方程

中参数的范围求解（结合圆的定义）。面积最值问题：直线截圆所得弦长相关的三角形面积最值；两圆相

交时公共弦相关的面积范围。综合最值问题：与圆上点坐标相关的函数最值（如型线性规划、

斜率型最值）。

�=𝑎+𝑏

常用技巧方法：几何法：优先利用圆的几何性质，通过圆心到直线的距离、圆心距与半径的关系转化问题，

减少计算量。代数法：联立直线与圆的方程，利用判别式判断交点个数，求解参数范围；通过函数配方求

最值。参数法：将圆上点坐标转化为参数形式（Δ，），转化为三角函数最值问

题。不等式法：利用均值不等式、柯西不等式求解�=与�距+离�、co面s�积相�=关�的+最�值sin。�

易错避坑提效：公式应用误区：避免混淆圆的一般方程圆心坐标（误记为）、弦长公式漏写系数2

（正确公式）。特殊情况遗漏：过圆外一点作切线时，需先讨(论�,斜�)率是否存在，避免漏解垂

22

直于x轴的�切=线2。�隐−含�条件忽视：求解参数范围时，不忘圆的定义限制（如圆上点的横纵坐标取值范围）；

两圆求公共弦方程前，先判断是否相交。计算失误规避：优先选择几何法减少代数运算，利用图形直观验

证结果；含参数问题分类讨论时，明确参数分界点。

题型一与距离相关的最值与范围问题

方法点拨：核心依据：“两点之间线段最短”“点到直线的距离，垂线段最短”两大几何公理。动

态问题处理：先找定点（如动直线过定点）或动点轨迹（如隐形圆），将动态距离转化为定点到轨迹的距

离问题。圆相关距离最值：若直线与圆相离，圆上点到直线的距离最值为“圆心到直线距离±半径”；

圆上点到圆外定点的距离最值为“定点到圆心距离±半径”。

【典例01】（2025·江苏南京·二模）设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线

mxym30交于点P，点P到直线x3y90的距离为d，则d的取值范围为.

【答案】0,10

【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、直线过定点问题

【分析】先分析两条直线经过的定点，得出A,B的坐标，根据两直线的位置关系分析可得P的运动轨迹是

挖去一点的圆，然后判断出直线x3y90和圆相切，从而得解.

【详解】动直线xmy0过定点A0,0，

动直线mxym30即mx13y0过定点B1,3.

因为1mm10，所以直线xmy0与直线mxym30垂直，

又直线mxym30的斜率一定存在，

注意到P1,0时，满足PAPB，但此时直线mxym30垂直x轴，斜率不存在，

故点P在以AB为直径的圆上（去除点1,0），

131110

圆心为C,，半径rAB1232，

22222

13

39

圆心到直线的距离为2210

Cx3y90r,

12(3)22

13

所以圆C,与直线x3y90相切（切点不是点1,0），d的最小值为0；

22

19

圆的直径10，且点1,0到直线x3y90的距离为10，所以d10，

10

即d的取值范围为0,10.

故答案为：0,10

【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量a,b,c满足a3,b1,ab7,c2ca，记

mtbtR，则mc的取值范围是（）

A．2,B．232,C．,232D．232,232

【答案】B

π

【分析】根据向量的模长公式可得a,b，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得C点的轨迹，进而

3

根据点到直线的距离公式求解.

22

【详解】因为ab7，所以a2abb7．又a3,b1，

1

所以96cosa,b17，解得cosa,b．因为a,b0,π，

2

π

所以a,b．

3

建立如图所示的直角坐标系xOy，

13

设aOA3,0,bOB,,cOCx,y，

22

因为c2ca，所以x2y22(x3)2y2，整理得(x4)2y24，

即C点的轨迹是：圆心为E4,0，半径为2的圆．

设mOMtOB，则点M在直线OB上运动，则mcOMOCCM，

π

令点E到直线OB的距离为d，则|CM|drOEsin2232，无最大值，

min3

故选：B．

2

【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知点A，B为圆x6y216上两点，AB43，点P为线段

AB的中点，点Q为直线x3y40上的动点，则PQ的最小值为（）

A．3B．4C．5D．33

【答案】A

【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）

【分析】先根据垂径定理得出CP2，即可得出点P的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的

距离的最小值.

2

【详解】圆x6y216的圆心坐标为C6,0，半径R4，

因为点P为线段AB的中点，AB43，

2

2

21

则CPRAB16232，

2

所以点P的轨迹是以C6,0为圆心，半径为r2的圆，

点Q在直线x3y40上，

10

可得圆心C6,0到直线x3y40的距离d5，

13

所以PQ的最小值为dr523.

故选：A

【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）(多选题)已知点A3,0，B0,4，点P在圆C：(x3)2(y4)24

上运动，则（）

A．直线AB与圆C相离B．PAB的面积的最小值为2

C．PA的最大值为6D．当PBA最小时，PB5

【答案】ACD

xy

【分析】由已知，圆心为C3,4，半径为2，直线AB的方程为1即4x3y120，利用点到直线

34

的距离公式可判断A；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断B；利用圆的性质可判断C；根据

直线PB与圆C相切和勾股定理可判断D．

【详解】

对于A，已知点A3,0，B0,4，点P在圆C：(x3)2(y4)24上运动，

xy

则圆心为C3,4，半径为2，直线AB的方程为1即4x3y120，

34

12

则圆心C到直线AB的距离d2，所以直线AB与圆C相离，故A正确；

5

12212

对于B，因为AB5，点P到直线AB的距离的最小值为2，则PAB面积的最小值为51，

5525

故B错误；

对于C，|PA|maxAC26，故C正确；

对于D，当PBA最小时，直线PB与圆C相切，此时PB|BC|245，故D正确．

故选：ACD．

【变式03】（2025·云南·三模）(多选题)已知点A(3,0)，B(0,3)，点P在圆C:(x3)2(y4)24上运动，

则（）

A．直线AB与圆C相离B．PAB的面积的最小值为622

C．|PA|的最大值为6D．当PBA最小时，|PB|6

【答案】ACD

【分析】求得直线AB的方程为xy30，得到圆心C到直线AB的距离d2，可判定A正确；由

|AB|32，点P到直线AB的距离的最小值为222，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据

|PA|max|AC|2，可判定C正确；当PBA最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定

D正确.

【详解】对于A中，由点A(3,0)，B(0,3)，点P在圆C:(x3)2(y4)24上运动，

则圆心为C(3,4)，半径为2，直线AB的方程为xy30，

则圆心C到直线AB的距离d222，所以直线AB与圆C相离，所以A正确；

对于B中，因为|AB|32，点P到直线AB的距离的最小值为222，

1

则PAB面积的最小值为32(222)632，所以B错误；

2

对于中，由22，所以正确；

C|PA|max|AC|2(33)(40)26C

对于D中，当PBA最小时，直线PB与圆C相切，此时|PB||BC|246，所以D正确.

故选：ACD．

题型二与斜率、截距及代数式几何意义相关的最值与范围问题

方法点拨：代数式几何化转化：形如转化为圆上点与定点连线的斜率；

�−�

形如转化为两点�间−�距离；形如(�,�)转(化�,为�)直线的纵截距（或横截距）。

临界条件求解：利�用圆的切线�性质，结合点到直线距离公式建立不等式或方程，求解斜率、截距的范围。

(�−�)+(�−�)��+��+�

注意斜率不存在（倾斜角为90°）的特殊情况。

【典例01】（2025·安徽马鞍山·一模）设点A2,1，B2,3，若直线axy10与线段AB没有公共点，

则实数a的取值范围为（）

A．,1B．2,1C．1,2D．1,

【答案】C

【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题

【分析】由直线方程可判断直线的斜率a和经过的定点P(0,1)，结合题意作图，需使kPBakPA成立，

解之即得.

【详解】由axy10可知直线的斜率为a，且经过定点P(0,1)，

1(1)3(1)

由点A2,1，B2,3可得直线PA,PB的斜率分别为：k1,k2，

PA20PB20

作图如下，由图知，要使直线axy10与线段AB没有公共点，

需使kPBakPA，解得1a2.

故选：C.

222

【典例02】（2025·福建泉州·模拟预测）已知直线xay22a10与圆O:xyrr0交于不同的

两点A，B，若AOB存在最小值且最小值不大于60，则r的取值范围为（）

ù

A．3,2B．(3,23ûúC．3,23D．3,6

【答案】C

【分析】先根据AOB存在最小值分析出r3，再根据最小值不大于60列出关于r的不等式即可求解．

【详解】将直线方程xay22a10变形为x1ay220，则可知直线恒过定点P1,22，

22222

圆O:xyrr0的圆心O0,0，则OP10220183，

若r3，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A，B，

则AOB可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故r3，

即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r，

2

根据圆的性质，当OPAB时，弦AB最短，AOB最小，此时弦长AB2r2OP2r29，

在AOB中，OAOBr，当AOB60时，AOB为等边三角形，此时|AB|r，

由题意，已知AOB最小值不大于60，则最小值对应的弦AB满足|AB|r，

即2r29r，解得r23，

综上所述，3r23．

故选：C．

【变式01】（2025·湖南·一模）已知点P为直线l:2x+y+2=0上的一个动点，A,B为圆

M:x2y22x2y20上任意两个不重合的点，记cosAPB的最小值为m,sinAPB的最大值为n，则

mn（）

2152555

A．B．C．D．

5555

【答案】A

【知识点】求点到直线的距离、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系

【分析】根据题意分析得当PA，PB分别为圆的切线，且MP最小时，APB最大，此时cosAPB最小，

再利用二倍角公式即可得m，再根据APB最大时为钝角，所以sinAPB的最大值为1，即n1.即可得

mn.

22

【详解】由题意得M的标准方程为x1y14，所以圆心M1,1，半径为2，

如图：

212

所以圆心M到直线l的距离为52，所以直线l与M相离，

41

所以当PA,PB分别为圆的切线，且MP最小时，

AM225π

sinAPM最大，又0APM，则APM最大，

PMPM52

所以APB2APM最大，此时cosAPB最小，

2

223

此时cosAPBcos2APM12sinAPM12．

55

32

显然sinAPB的最大值为1，故mn1．

55

故选：A

1

【变式02】（2025·河南南阳·模拟预测）已知A0,1，B2,1，F1,0，动点P满足PAPB0，若PMPF，

2

则直线OM（O为原点）斜率的最大值为（）

43

A．1B．C．D．2

32

【答案】B

【分析】设M(x,y)，由题分析可知点M为PF的中点，得P(2x1,2y)，根据PAPB0化简可得

1111

(x1)2(y)2，从而可知点M在以N(1,)为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到

2422

直线的距离公式，数形结合即可求解.

1

【详解】设M(x,y)，由PMPF，F(1,0)，得点M为PF的中点，则P(2x1,2y).

2

又A(0,1)，B(2,1)，则PA(12x,12y)，PB(32x,12y)，

11

因此PAPB(12x)(32x)(12y)(12y)4(x1)2(12y)210，即(x1)2(y)2，

24

11

点M在以N(1,)为圆心，为半径的圆上，

22

设直线OM（O为原点）斜率为k，

由图知当直线OM与圆N相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时OM:kxy0，

1

11k4

则圆心N(1,)到直线OM的距离等于半径，即21，解得k或k0，

223

k212

4

所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为.

3

故选：B

【变式03】（2025·重庆·二模）过点P2,0的直线l与曲线yx22x2有公共点，则直线l的斜率

的最大值为.

【答案】2

2

2

【分析】把曲线方程变形，设出过点P2,0且与圆的一部分x1y2313x13,y0，相

切的直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求得答案．

222

【详解】由曲线y3x1，得x1y313x13,y0，

作出图象如下：

2

设过点P2,0且与半圆x1y2313x13,y0相切的直线的斜率为k(k0)，

则直线方程为yk(x2)，即kxy2k0．

2kk022

由3，解得k或k（舍去），

1k222

2

直线l的斜率的最大值为．

2

故答案为：2

2

题型三与直线与圆位置关系相关的最值与范围问题

方法点拨：弦长最值：过圆内定点的弦，最长弦为直径，最短弦为与定点和圆心连线垂直的弦（弦长

公式：，d为圆心到直线距离）。切线长最值：圆外一点到圆的切线长（d为点到

圆心距离）�，最值�转化为d的最值。位置关系临界：直线与圆相切时圆心到直线距离�，是�求解参数范

��−��=�−�

围的核心临界条件。

�=�

22

【典例01】（25-26高三上·贵州·月考）已知圆的方程为x2y28，过点A1,1的直线l与圆交于

不同的两点B，C，则BC的最小值是（）

A．2B．6C．26D．22

【答案】C

【分析】先判断A的位置，然后判断出EAl时BC有最小值，结合几何关系计算出结果.

22

【详解】因为12128，所以A1,1在圆内，

记圆心为E，由条件可知，圆心E2,2，半径r22，

记圆心到直线l的距离为d，所以BC2r2d228d2，

当d取最大值时，BC有最小值，

当EAl时，d取最大值，

(理由：当EAl时，dEA，当EA与l不垂直时，设EAl，则dEA，

在RtEAA中，显然AEAE，所以dmaxEA)

22

此时dEA21212，BC28226，

所以BC的最小值为26，

故选：C.

【典例02】（25-26高三上·四川南充·月考）直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆

(x2)2y22上，则ABP面积的最大值是（）

A．22B．32C．6D．4

【答案】C

【分析】先求得AB的长，再求得圆心到直线距离d1，再求得点P到直线xy20的距离的范围，故可

得ABP面积的取值范围，结合选项可得答案．

【详解】直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，

A2，0，B0，2，则AB22，

点P在圆(x2)2y22上，

202

，

圆心为20，则圆心到直线距离d122，

2

故点到直线的距离的范围为，，

Pxy20d2232

1，

则SABPABd22d226．所以ABP面积的最大值是6

2

故选：C．

22

【变式01】（2025高三·全国·专题练习）过点P1,0的直线l交圆C：x1y29于A，B两点，

若CQAB，垂足为Q，则点Q到直线xy20的最大距离为（）

A．21B．1C．2D．21

【答案】D

【分析】求出圆C的圆心和半径，证明P1,0在圆内，证明Q是AB的中点，分直线l的斜率不存在时和

直线l的斜率存在两种情况结合向量即可求解.

【详解】

22

易知圆C：x1y29的圆心为C1,2，半径r3，

22

又110249，

所以P1,0在圆内，因为CQAB，垂足为Q，

由垂径定理可知Q是AB的中点，

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，

易得此时圆心C与Q重合，不符合题意，

由CQAB可得CQPQ，

设点Qx,y，则CQx1,y2，PQx1,y，

2

所以CQPQx1y2y0，

22

即x1y11，

22

故点Q的轨迹方程为x1y11（除点1,2外），

圆心1,1到直线xy20的距离为2，

则点Q到直线xy20的最大距离为21．

故选：D.

22

【变式02】（2025高三·全国·专题练习）设mR，圆M：xy2x6y0．若动直线l1：xmy2m0

与圆M交于点A，C，动直线l2：mxy2m10与圆M交于点B，D，则ACBD的最大值是（）

A．63B．230C．53D．30

【答案】B

【分析】由题意可知l1，l2经过定点E2,1且互相垂直，再由圆的弦长公式得ACBD，再用基本不等式

即可得最大值.

22

【详解】由题知圆M的方程为x1y310，圆心M1,3，半径r10．

l1可化为x2my10，可知l1经过定点E2,1，同理可得l2也经过定点E2,1.

又1mm10，所以l1l2，即l1，l2经过定点E2,1且互相垂直，如图，

设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形．

22

设MFd，则0dME，结合ME21135，MFEG，

222

可得MGMEMF5d2，所以AC210MF210d2,

2

BD210MG210(5d2)25d2

ACBD210d225d2210d25d22210d25d2230，

10

当且仅当10d25d2，即d时取等号．

2

10

综上所述，当MF时，ACBD取得最大值230．

2

故选：B.

2

【变式03】（2025高三下·全国·专题练习）过直线yx1上任一点P向圆x2y11作两条切线，切

点为A,B．则AB的最小值为（）

23

A．B．C．2D．3

22

【答案】C

【分析】设点Px0,1x0，求出设点Px0,1x0，由点到直线的距离求出圆心C0,1到直线AB的距离d，

再由AB2r2d2结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】设点Px0,1x0，则直线AB的方程为x0x2x0y11，

222

（注：由圆xyr外一点Ex0,y0向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是

2

x0xy0yr），

化简可得：x0x2x0y1x00，

1

d

所以圆心C0,1到直线AB的距离为：22

x02x0

2

所以2211

AB2rd21212

222

x02x0

x02x0

11

2121，

22

2x04x042x012

当x01时，AB的最小值为2.

故选：C.

题型四与圆的参数方程相关的最值与范围问题

方法点拨：参数化转化：圆的标准方程化为参数方程（为参

����=�+�𝐜��

数），将最值问题转化为三角函数最值问题(。�三−角�)恒+等(变�换−：�)利=用�辅助角公式�

�=�+�𝐬��

求最值，注意参数的取值范围。适用场景：含二元二次约束条件的代数式最值（如、

�𝐬��+�𝐜��=

xy、��等）

�+�𝐬�(�+�)��+�

��+��

【典例01】（24-25高三下·河南开封·开学考试）已知点A0,4，点B2,0,P为圆O:x2y24上一动点，

PB

则的最大值是（）

PA

25334533

A．B．C．D．

3432

【答案】A

PB

【分析】设P(2cos,2sin),[0,2π]，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助

PA

角公式以及三角函数性质即可求得答案.

【详解】因为点P为圆O:x2y24上一动点，故设P(2cos,2sin),[0,2π]，

PB(2cos2)2(2sin)288cos2(1cos)

则，

PA(2cos)2(2sin4)22016sin54sin

1cos

令t，则(54sin)t1cos，

54sin

215t

即4tsincos15t，则16t1(sin)15t,(sin)，

16t21

1

其中为辅助角，tan，

4t

15t10

则||1，整理得9t210t0,0t，

16t219

PB2(1cos)

故2t的最大值为25，

PA54sin3

故选：A

【典例02】（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则OP的取值

范围是（）

A．31,1B．222,1C．31,2D．222,2

【答案】B

【分析】根据题意，设出P点坐标，写出距离代数式，列出方程，根据圆的标准方程，使用三角函数替换P

点横纵坐标，根据角的范围，求出结果.

【详解】设点Px,y，由题意可得x2y2xy2，

π

不妨令x2y2r2，取xrcos，yrsin，其中r0，0,，

2

22

OPr

则rrcosrsin2，故1cossinπ，

12sin

4

2

ππ2OP222,1

由0,可知sin,1，故π，OP的取值范围是

24212sin

4

222,1.

故选：B.

【变式01】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知A2,2，B2,6，C4,2三点，点P在圆x2y24

222

上运动，则PAPBPC的取值范围为（）

A．72,88B．36,44

C．6,211D．36,88

【答案】A

222

【分析】根据圆的标准方程写出点P的参数方程坐标，分别计算PA,PB,PC，再合并即得

222

PAPBPC808cos，最后利用余弦函数的值域即可求得其范围.

【详解】依题意，设点P(2cos,2sin)，

2

则PA(2cos2)2(2sin2)2128cos8sin,

2

PB(2cos2)2(2sin6)2448cos24sin,

2

PC(2cos4)2(2sin2)22416cos8sin,

222

PAPBPC128cos8sin44

故

8cos24sin2416cos8sin808sin，

222

因1sin1，故易得72PAPBPC88.

故选：A.

【变式02】（24-25高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直

径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PCPD的取值范围为（）

A．0,4B．0,4C．0,2D．0,2

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出PC,PD的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算

即可求得.

【详解】如图，以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)，

则以AB为直径的半圆为(x1)2y21(0y1)，

因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以P(1cos,sin)(0π)，

所以PC(1cos,2sin),PD(1cos,2sin)，

所以PCPD(1cos)(1cos)(2sin)(2sin)

cos2144sinsin244sin，

因为0π，所以sin0,1，

所以44sin0,4，即PCPD的取值范围为0,4.

故选：B

1

【变式03】（24-25高三下·浙江·月考）若存在实数R使得54coscos2(sin)2m，则实

2

数m的取值范围为.

17

【答案】,

2

2

2221

【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为fcos2sincossin，利用两

2

点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求m的取值范围.

22

212221

【详解】因为5+4coscossincos2sincossin，

22

2

12221

设Pcos,sin，Q2,0，S0,，令fcos2sincossin，

22

2

2221

则fcos2sincossinPQPB，

2

又易知，点Pcos,sin在圆x2y21上，如图所示，

2

211717

则PQPBQB，又QB020，故f的最大值为，

222

1

因为存在实数R使得54coscos2(sin)2m

2

21217

所以m54coscos(sin)，即m，

2

max2

17

故答案为：,.

2

题型五与隐形圆、轨迹相关的最值与范围问题

方法点拨：隐形圆识别：由垂径定理（如AB为圆的弦，M为中点，则，M的轨迹为圆）；

由阿波罗尼斯圆（动点到两定点距离比为定值，轨迹为圆）；由圆幂定理、向量条件等推导轨迹方程。最

𝑶⟂��

值转化：将复杂最值问题转化为“圆上点到定点/定直线的距离最值”，再利用圆的性质求解。对称转

化：涉及直线两侧点的距离和/差最值，利用点关于直线的对称点转化为共线距离问题。

【典例01】（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆

x2y2

1ab0的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为

a2b2

22

2222xy

x＋y＝a＋b．已知椭圆E:1的焦点在x轴上，A,B为椭圆E上任意两点，动点P在直线

m2

x-3y-8＝0上．若APB恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（）

362142

A．0,B．0,C．0,D．0,

4