2026高考数学复习高效培优专题08 解析几何（选填题）（解析版）

专题08解析几何（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

典例剖析方法提炼变式

题型01直线与圆的相关问题

题型02圆锥曲线的方程与性质

题型03直线与圆锥曲线的位置关系

题型04离心率的取值与范围问题

题型05圆锥曲线中范围、最值问题

题型06新定义问题

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

题型01直线与圆的相关问题

【例1-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知圆x2(y2)2r2(r0)上到直线y3x2的距离为1的点

有且仅有2个，则r的取值范围是（）

A．(0,1)B．(1,3)C．(3,)D．(0,)

【答案】B

【详解】由题意，

2

在圆x2y2r2r0中，圆心E0,2，半径为r，

到直线y3x2的距离为1的点有且仅有2个，

03212

∵圆心E0,2到直线的距离为：d2，

y3x222

31

故由图可知，

2

当r1时，圆x2y2r2r0上有且仅有一个点（A点）到直线y3x2的距离等于1；

2

当r3时，圆x2y2r2r0上有且仅有三个点（B,C,D点）到直线y3x2的距离等于1；

2

当则r的取值范围为1,3时，圆x2y2r2r0上有且仅有两个点到直线y3x2的距离等于1.

故选：B.

【例1-2】（2025·四川凉山·一模）已知曲线C:(x4)2y2r2(r0)上存在点与P(1,3)关于直线

l:(3m2)x(m3)y3m90对称，则r的取值范围为（）

A．3,6B．3,5C．4,6D．4,5

【答案】C

x1y3

【详解】设点P(1,3)关于直线l的对称点Q(x,y)，则线段PQ的中点(,)在直线l上，

22

又PQ(x1,y3)，直线l的方向向量a(m3,3m2)，而PQa0，

x1y3

(3m2)(m3)3m90(3xy6)m2x3y7

因此22，即，

3x2y3(x3y10)m

(x1)(m3)(y3)(3m2)0

消去m得(3xy6)(3x2y3)(2x3y7)(x3y10)0，

整理得x2y26y80，即x2(y3)21，于是点Q在以点D(0,3)为圆心，1为半径的圆上，

222

而曲线C:(x4)yr(r0)是以点C14,0为圆心，r为半径的圆，C1D5，

依题意，点Q在曲线C上，则曲线C与圆D有公共点，即这两个圆相交或相切，

因此r1C1Dr1，即|r1|5r1，解得4r6，

所以r的取值范围为4,6.故选：C

1.直线与圆的位置关系

|AaBbC|

1几何法:圆心(a,b)到直线AxByC0的距离，则d：

A2B2

2代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

AxByC0

22

由222，消元得到一元二次方程pxqxt0，pxqxt0判别式为，则：

(xa)(yb)r

相离相切相交

图形

方程观点Δ<0Δ=0Δ>0

量化

几何观点d>rd=rd<r

二、圆与圆的位置关系

设两圆O1,O2的半径分别是R,r，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：

位置关系相离外切相交内切内含

图形

OO2

OOO2O12O1

O12O1O21

几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【变式1-1】（2025·广东·模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（）

A．42B．49C．56D．64

【答案】B

【详解】设Picosi,sinii1,2,3,,7，则

222

PiPjcosicosjsinisinj22cosicosjsinisinj，

22

所以PiPjC722cosicosjsinisinj，

1ij71ij7

22

77

因为，

cosisini72cosicosjsinisinj

i1i11ij7

2222

27777

所以2，

PiPjC727cosisini49cosisini

1ij7i1i1i1i1

77

当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有cosisini0，

i1i1

2

则PiPj49，因此所求的最大值为49．故选：B．

1ij7

【变式1-2】（2025·浙江·一模）已知点A,B在直线xy20上，且AB2，点C在圆

M:(x2)2(y2)21上，则ABC面积的取值范围是（）

A．222,222B．21,21

C．2,6D．1,3

【答案】B

222

【详解】圆心M2,2到直线xy20的距离为d2，

1212

则点C到直线的距离h的取值范围为21,21，

1

由SABh，得到S21,21.故选：B.

ABC2ABC

【变式1-3】（2025·四川达州·一模）已知圆O:x2y24，若过点P(1,m)有且仅有两条直线被圆O所截得

的弦长为11，则m的取值范围是（）

1111

A．(,)B．(,)(,)

2222

C．(1,1)D．(,1)(1,)

【答案】B

【详解】圆O:x2y24的圆心O(0,0)，半径r2，

令过点P(1,m)的直线被圆O所截弦长为11的弦中点为M，则OMPM，

1155225

|OM|r2()2，因此点M在以原点为圆心，为半径的圆xy上，

2224

225225

此时PM为圆xy的切线，依题意，过点P可以作圆xy的两条切线，

44

22522511

则点P在圆xy外，于是1m，解得m或m，

4422

11

所以m的取值范围是(,)(,).故选：B

22

题型02圆锥曲线的方程与性质

y2x2

【例2-1】（2025·云南·模拟预测）已知双曲线C:1，则点4,0到C的渐近线的距离为（）

94

851258131213

A．B．C．D．

551313

【答案】D

【详解】由双曲线方程可知a3,b2，且焦点在y轴上，

3

所以双曲线C的渐近线方程为yx，即3x2y0，

2

121213

故点4,0到渐近线3x2y0的距离d．故选：D.

1313

【例2-2】（2025·上海奉贤·一模）曲线C的方程为Ax2By22（A、B不同时为0），则下列说法正确

的是（）

A．曲线C不可能是直线

B．当A0，B0时，曲线是椭圆

C．若曲线C是双曲线，则双曲线的渐近线与无关

D．曲线C是抛物线

【答案】C

22

【详解】A．当B0,A0,0时，x2，所以x为两条直线，A选项错误；

AA

B．因为A1,B1,0,C:x2y22，所以曲线C是半径为的圆，故B错误；

AB

C．因为Ax2By22，A0,B0，所以曲线C是双曲线，则x2y21，

22

A

则渐近线yx，故C正确；

B

D．因为曲线Ax2By22，A、B不同时为0，

当0时，当B0,A0时，曲线是两条相交直线；当B0,A0时，曲线是点；当B0,A0时，曲线是

点；当B0,A0时，曲线是两条相交直线；当B0,A0时，曲线是直线；当B0,A0时，曲线是直

线；当A0,B0时，曲线是直线；当A0,B0时，曲线是直线；

当0时，当B0,A0时，曲线是双曲线；当B0,A0时，曲线不存在；当B0,A0,AB时，曲线

是椭圆；当B0,A0,AB时，曲线是圆；当B0,A0时，曲线是双曲线；当B0,A0时，曲线不

存在；当B0,A0时，曲线是直线；当A0,B0时，曲线不存在；当A0,B0时，曲线是直线；

所以曲线C不能是抛物线，故D错误；故选：C.

1.椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，

定义用集合语言表示为：P||PF1||PF2|2a(2a|F1F2|2c0)

注意：①当2a2c时，点的轨迹是线段；②当2a2c时，点的轨迹不存在．

2.椭圆的方程、图形与性质

焦点的位

焦点在x轴上焦点在y轴上

置

图形

x2y2y2x2

标准方程1ab01ab0

a2b2a2b2

范围axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a

顶点

10,b、20,b1b,0、2b,0

轴长长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

222

焦距F1F22c(cab)

cc2a2b2b2

离心率e1(0e1)

aa2a2a2

b2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2（最短的过焦点的弦）

a

3.双曲线的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（这两

个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为MMF1MF22a(02aF1F2)．

注意：①若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．②当2aF1F2时，点的轨迹是以F1和F2

为端点的两条射线；当2a0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．③2aF1F2时，点的轨迹不存在．

4.双曲线的方程、图形及性质

x2y2y2x2

标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)

a2b2a2b2

图形

A2

焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0,c)，F2(0,c)

对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0,a)，A2(0,a)

范围xaya

实轴、虚轴实轴长为2a，虚轴长为2b

cb2

离心率e1(e1)

aa2

x2y2by2x2a

令0yx，令0yx，

渐近线方程a2b2aa2b2b

焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为b

2b2

通径通径（过焦点且垂直于FF的弦）是同支中的最短弦，其长为

12a

5.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定

直线l叫做抛物线的准线．注意：若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F．

6.抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)，其中一次项与对称轴

一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形

标准

y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

方程

顶点O(0，0)

范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR

对称轴x轴y轴

pppp

焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)

2222

离心率e1

pppp

准线方程xxyy

2222

焦半径

pppp

AFxAFxAFyAFy

，12121212

A(x1y1)

【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）已知抛物线C：y24x的焦点为F，点M在C上，且MF10，若Aa,0

满足AMMF，则a（）

3127

A．16B．C．D．9

22

【答案】C

p

【详解】在抛物线C：y24x中，2p4，则1，所以焦点F1,0，准线方程为x1.

2

x01102

设点M的坐标为x0,y0，则2，故x09，M9,y0，且y036,

y04x0

2，

又AM9a,y0,MF8,y0，则AMMF89ay089a360

27

解得a．故选：C.

2

2

x2

【变式2-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知椭圆y1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上且

3

F1MF290，则点M到x轴的距离是.

【答案】2

2

【详解】由椭圆定义可得MF1MF223，

2

由FMF90，则222，

12MF1MF2F1F22318

222

则MF1MF2MF1MF22MF1MF282MF1MF212，

11

即MF1MF22，又SMFMFFFy，

F1MF2212212M

112

即有222yM，解得y，

22M2

2

故点M到x轴的距离是.

2

2

故答案为：.

2

x2y2

【变式2-3】（2025·江西宜春·模拟预测）（多选题）已知F1,F2是双曲线C:1a0,b0和椭圆

a2b2

x2y2mπ

E:1a0的左､右焦点，P为C与E在第一象限内的一个交点，若PF1F2，则（）

9a2m236

A．C的渐近线方程为2xy0

B．E的短轴长是C的虚轴长的23倍

C．E的离心率和C的离心率的积为1

2

D．PF1F2的面积为23a

【答案】ACD

【详解】由题意，得PF1PF22a,PF1PF26a，所以PF14a,PF22a.

222

在PF1F2中，由余弦定理得PF2PF1F1F22PF1F1F2cosPF1F2，

即4a216a24c283ac（c为半焦距），

2

cccb

所以2330，所以3，所以2，

aaaa

所以C的渐近线方程为2xy0，故A正确；

由题意，c29a2m2a2b23a2，得m6a.

2m26a

从而E的短轴长为2m26a,C的虚轴长2b22a，则3，故B错误；

2b22a

cc1c3

由3，知C的离心率为3,E的离心率为，二者的积为1，故C正确；

a3a3a3

π

由PFF，PF4a,FF2c23a，

126112

1π11

得SPFFFsin4a23a23a2，故D正确.故选：ACD.

PF1F22112622

题型03直线与圆锥曲线的位置关系

2

【例3-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）设抛物线C:y2pxp0的焦点为F，过F的直线交C于

22

Ax1,32,Bx2,2两点，过A,B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M,N，则|MF||NF|

（）

A．32B．28C．20D．16

【答案】A

【详解】如图，设抛物线C的准线与x轴的交点为P，

由题意结合抛物线的定义可知AFAM，BFBN，所以AMFAFM,BNFBFN，

又因为AMFPFM,BNFPFN，所以AFMPFM，BFNPFN，

所以PFMPFN90，即△MFN是直角三角形，且MFN90，

显然MNMPPN32242，所以MF|2NF|2|MN|2(42)232，故选A.

y2

【例3-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线C:x21，过点P(2,3)作C的两条渐近线的平行线，

3

分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（）

3

A．B．1C．3D．2

2

【答案】A

【详解】渐近线方程为y3x，

PA方程为y3(x2)3，与渐近线y3x联立，

22

3333

得，；

x1y3,OA1323

2222

3(23)

点P(2,3)到y3x的距离d,

2

3(23)3

所以平行四边形OAPB的面积S|OA|d(23).故选：A.

22

1.直线与椭圆的位置关系

x2y2

将直线的方程ykxb与椭圆的方程1(ab0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元

a2b2

二次方程，其判别式为Δ.

①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

2.直线与椭圆的相交弦

x2y2

设直线ykxb交椭圆1(ab0)于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),两点，则

a2b2

yy

22(xx)2[1(12)2]2

|P1P2|(x1x2)(y1y2)=12=1k|x1x2|

x1x2

1

同理可得|PP|1|yy|(k0)

12k212

3.直线与双曲线的位置关系

x2y2

将直线的方程ykxm与双曲线的方程1(a0,b0)联立成方程组，消元转化为关于x或y

a2b2

的一元二次方程，其判别式为Δ.

(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20

b

若b2a2k20,即k，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

b

若b2a2k20,即k，

a

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．

4.直线与双曲线的相交弦

x2y2

设直线ykxm交双曲线1(a0,b0)于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),两点，则

a2b2

yy

22(xx)2[1(12)2]2

|P1P2|(x1x2)(y1y2)=12=1k|x1x2|

x1x2

5.直线与抛物线的位置关系

将直线的方程ykxm与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二

次方程，其判别式为Δ.

ky22py2pm0

若k0，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若k0

①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．

6.直线与抛物线的相交弦

x2y2

设直线ykxm交抛物线1(a0,b0)于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),两点，则

a2b2

22

|P1P2|(x1x2)(y1y2)

yy

(xx)2[1(12)2]2

=12=1k|x1x2|

x1x2

1

同理可得|PP|1|yy|(k0)

12k212

【变式3-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C:y24x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C交

于点A,B．若BOBF（O为坐标原点），则△OAB的面积为（）

232

A．B．C．2D．22

22

【答案】B

【详解】

如图，不妨设B在x轴下方，因为O0,0,F1,0，且BOBF

1

所以x，由抛物线方程可得y2，

B2B

2

k22

则AB1，所以直线AB方程为：y22x22，

2

2

联立抛物线方程消去y得：22x224x，化简得：2x25x20，

5922

所以xAxB，则ABxAxBp，O0,0到直线AB的距离d，

223

192232

所以△OAB的面积为，故选：B

2232

222

x2xy

【变式3-2】（2025·浙江绍兴·二模）已知椭圆C：y1，双曲线C：-=1．A，B分别为C1的左，

12224

右顶点．过A作直线l与C1及C2的右支分别交于点P，Q．若PBQB，则Q点的横坐标为（）

A．22B．222C．5D．32

【答案】D

【详解】

由题意可得直线l的斜率存在，设为k，设Pxp,yp,Qxq,yq，

由直线过点A2,0可得直线方程为ykx2，

ykx2

联立，消去y可得2222，

112kx42kx4k20

x2y21

2

22

42242k42k

Δ32k412k4k20，x-2=-Þx=2-，

p1+2k2p1+2k2

42k2

代入直线方程可得yk22，

p2

12k

42k242k2

所以P2,k22

22

12k12k

ykx2

2222

同理，联立22，消去y可得2kx22k2k40，

xy

1

24

2

42222k

Δ8k42k2k40，x-2=，

q2-k2

22k2

代入直线方程可得yk22，

q2

2k

22k222k2

所以Q2,k22，

22

2k2k

因为PBQB，所以PBQB0，

42k242k222k222k2

即,k22,k220，

2222

12k12k2k2k

42k222k242k222k2

即k22k220，

2222

12k2k12k2k

解得k21，

22k2

所以x=+2=32.故选：D.

q2-k2

22

xy220

【变式3-3】（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆1和抛物线yx都相切的一条直线的方程

45203

为.

【答案】x3y150或x3y150.

【详解】由已知，公切线斜率不为0，

设公切线方程为xmyt.

xmyt,222

联立224m9y8mty4t1800，

20x45y4520,

2222

其判别式Δ164mt44m94t1800，

即20m2t2450，①

xmyt,

3

2

联立.220ymyt0.

yx,20

3

3

其判别式Δm2t0，②

25

联立①②，解得m3,t15，

所以椭圆和抛物线的公切线方程为x3y150或x3y150.

故答案为：x3y150或x3y150.

题型04离心率的取值与范围问题

x2y2x2y2

【例4-1】（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆1ab0与双曲线1的离心率分别为e1,e2，

a2b2a2b2

25

双曲线的渐近线的斜率小于，则e1e2的取值范围为（）

5

453545535

A．2,2B．,2C．,D．1,1

55555

【答案】B

【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于25，

5

22

所以b25，则b，b，

0e11e21

a5aa

b25

设t，则0t

a5

所以22；由于2224，

e1e21t1te1e2221t1t221t

2541694162

因为0t，所以0t，则1t1，则e1e24，

525255

45

因为e1e21，所以ee2，故选：B

512

x2y2

【例4-2】（2025·河南·一模）已知F1,F2为椭圆C:1ab0的左、右焦点，A为椭圆C的上顶

a2b2

点，M为椭圆C的右顶点，连接AF2交椭圆C于另一点B，若AF1//BM，则椭圆C的离心率为（）

23

A．B．21C．D．31

22

【答案】B

【详解】如图，连接BF1，因为A为椭圆C的上顶点，所以AF1AF2a，

aaF1F22c

因为AF1//BM，所以AF2F1BF2M，故，

BF2BMMF2ac

aacc

解得BF，设BF2m，AFF，则cos，

22c21a

222

BF12am，由余弦定理有BF1F1F2BF22BF2F1F2cosπ，

2

222cab

即2am4cm2m2c，解得m，

aa2c2

aacab2aac

因为BFm，所以，

22ca2c22c

a2c2acac1

化简得，即，

a2c22ca2c22c

整理得e22e10，解得e21，故B正确.故选：B．

1.椭圆的离心率

c

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的