2026高考数学复习高效培优专题05 三角函数与解三角形（选填题）（解析版）

专题05三角函数与解三角形（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

典例剖析方法提炼变式

题型01三角恒等变换问题

题型02三角函数问题

题型03解三角形问题

题型04新定义问题

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

题型01三角恒等变换问题

842

【例1-1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知,满足sin,tancossin，则sincos（）

855

155612

A．B．C．D．

17171717

【答案】D

2sin22

【详解】因为tancossin，所以cossin，即sincossincos

5cos55

2

设xsincos,ysincos，则yx；

5

848484

由sin得到sincoscossin，即xy，

858585

2841212

即xx，解得x，所以sincos；故选：D

5851717

5

【例1-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知0，cos，则sin（）

254

223272

A．B．C．D．

1051010

【答案】D

2

【详解】253，

cos2cos121

255

2

234

因为0，则，则sin1cos1，

255

423272

则sinsincoscossin.故选：D.

444525210

1.两角和与差的正余弦与正切

①sin()sincoscossin；

②cos()coscossinsin；

tantan

③tan()；变形tantantan()(1tantan)

1tantan

2.二倍角公式

①sin22sincos；

②cos2cos2sin22cos2112sin2；

2tan

③tan2；

1tan2

3.半角公式

1cos1cos

①sin②cos

2222

1cos1cossin

③tan

21cossin1cos

4.降次（幂）公式

11cos21cos2

sincossin2;sin2;cos2;

222

5.辅助角公式

bab

22，，

asinbcosabsin()（其中sincostan）．

a2b2a2b2a

6.万能公式（弦化切）

2tan1tan22tan

①sin2②cos2③tan2

1tan21tan21tan2

222

7.三角恒等式技巧

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导

公式把“所求角”变成“已知角”；

（3）常见的角的变换：

，,2,，

22

ππππππ

,等.

326424

π1π

【变式1-1】（2025·广东肇庆·一模）已知sin()，且0，则sin2（）

352

6216212334623346

A．B．C．D．

10105050

【答案】D

πππππππ

【详解】由0，得，令t，则t(,)，

2633363

12646223

即sint，于是cost，sin2t2sintcost，cos2t12sint，

552525

2π2π2π23346

所以sin2sin(2t)sincos2tcossin2t.故选：D

33350

37

【变式1-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知0,，sincos，则tan（）

2172

3514

A．B．C．D．

5343

【答案】B

7249240

【详解】由sincos，得sincos12sincos，所以2sincos0.

17289289

3π

0,，所以,π，所以sin0,cos0.

22

529252923

所以12sincos，sincos，所以sincos.

28928917

158sin15

所以sin，cos所以tan.

1717cos8

2tan

1535

所以2，化简得：5tan33tan50，解得：tan，或

tan.

1tan28222523

2

πππ5

因为,π，所以,，所以tan故选：B.

224223

3

【变式1-3】（2025·浙江丽水·一模）（多选题）在ABC中，若CB，且sin2Bcos2CsinBcosC，

4

则（）

π1

A．CB．sinA

22

C．sinAcosCD．2sinBcosC的最大值是3

【答案】BD

31cos2B1cos2C3

【详解】由sin2Bcos2CsinBcosC，可得sinBcosC，

4224

1

所以cos2Ccos2B2sinBcosC，

2

1

所以cosCBCBcosCBCB2sinBcosC，

2

11

所以2sinCBsinCB2sinBcosC，即2sinAsinCB2sinBcosC，

22

1

所以2sinAsinCBsinBCsinBC，

2

11

所以2sinAsinCBsinAsinBC，所以2sinAsinBCsinAsinBC0，

22

即4sinAsinBC2sinA2sinBC10，

所以2sinA2sinBC12sinBC10，所以2sinA12sinBC10，

因为CB，所以πBC0，所以sinBC0，

1

所以2sinA10，所以sinA，故B正确；

2

π5π

又0Aπ，则A或A，

66

π5ππ

当A时，则BC，不能得出C，故A错误，

662

ππ

若C，则B时，符合题意，但cosC0，所以sinAcosC，故C错误；

23

2

2231323

由sinBcosCsinBcosC，得sinBcosCcosC，

4244

2

13313

所以sinBcosC，解得sinBcosC，

24222

3π

所以2sinBcosC3，当且仅当cos2C0，即C时取等号，故D正确.故选：BD.

42

题型02三角函数问题

【例2-1】（2025·北京·高考真题）设函数fxsinxcosx(0)，若f(xπ)f(x)恒成立，且f(x)

π

在0,上存在零点，则的最小值为（）

4

A．8B．6C．4D．3

【答案】C

π

【详解】函数fxsinxcosx2sinx(0)，

4

设函数f(x)的最小正周期为T，由f(xπ)f(x)可得kTπ,kN，

2ππ

所以T,kN，即2k,kN；

k

ππππππ

又函数f(x)在0,上存在零点，且当x0,时，x,，

444444

ππ

所以π，即3；综上，的最小值为4.故选：C.

44

【例2-2】（2025·上海·三模）已知函数fx3sin2xcos2x．若存在t1,t2π,2π，使得ft1ft24，

则t1t2的最大值为．

【答案】2π

π

【详解】因为fx3sin2xcos2x2sin2x，

6

则由题意ft1ft24可得ft1ft22或ft1ft22，

πππ

则①令2t2kπ，kZ，解得tkπ，kZ，

626

7π5π

又t,tπ,2π，要求tt的最大值，只需令k1，则t，令k1，则t，

12121626

7π5π

所以t1t2的最大值为2π．

66

πππ

②令2t2kπ，kZ，解得tkπ，kZ，

623

5ππ

又t,tπ,2π，要求tt的最大值，只需令k2，则t，令k0，t，

12121323

5ππ

所以t1t2的最大值为2π，综上，t1t2的最大值为2π．故答案为：2π.

33

1.三角函数的周期：

①公式法；②不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的值域求解技巧：

①利用有界性；②换元法；③配方法；④单调性法.

3.三角函数单调性的求法：

①形如yAsinx的函数的单调性问题，一般是将x看成一个整体，再结合图象利用ysinx的

单调性求解；

②如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性

4.三角函数的奇偶性：

若yAsinx为奇函数，则kkZ；若yAsinx为偶函数，则kkZ.

2

5.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单

调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.

ππ9π

【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）函数fxsinx12满足ff0，则的取

444

值集合为．

73

【答案】,

52

ππ9π

【详解】因为函数fxsinx12满足ff0，

444

ππ9ππ5ππ

即sin+sin=2sincosπ=0，

444444

5ππ

所以sin=0或cosπ=0，

44

5πππ411

所以kπ或πkπ，所以k或k，kZ，

442552

737373

又12，得或，则的取值集合为,.故答案为：,.

525252

【变式2-2】（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知函数f(x)cosx3|sinx|，则（）

A．函数f(x)的最小正周期为π

B．函数f(x)的值域为[1,2]

C．直线xπ是函数f(x)图象的一条对称轴

D．函数g(x)f(x)1在区间(2π,2π)上有且仅有5个零点

【答案】BCD

【详解】对于A：因为fxπcosxπ3sinxπcosx3sinxfx，

所以fx的最小正周期不是π，A错误；

π

对于B：当sinx0，即x2kπ,π2kπ,kZ时，fxcosx3sinx2sinx，

6

ππ7

因为x2kπ,π2kπ,kZ，所以x2kπ,π2kπ，

666

πππ7

则当x2kπ时，fx取得最大值2；当xπ2kπ时，fx取得最小值1，

6266

所以此时fx的值域为1,2；

π

当sinx0，即xπ2kπ,2π2kπ,kZ时，fxcosx3sinx2cosx，

3

π47

因为xπ2kπ,2π2kπ，所以xπ2kπ,π2kπ，

333

π4π

当xπ2kπ时，fx1，当x2π2kπ时，fx取得最大值2，

333

所以此时fx的值域为1,2；综上，函数fx的值域为1,2，B正确；

对于C：因为fπxcosπx3sinπxcosx3sinx，

fπxcosπx3sinπxcosx3sinx，所以fπxfπx，

所以直线xπ是函数fx图象的一条对称轴，C正确；

π2

对于D：当sinx0时，由gxfx12sinx10，解得x2kπ或xπ2kπ，

63

π4

当sinx0时，由gxfx12cosx10，解得xπ2kπ，

33

24

又x2π,2π，所以x0,π,π，所以函数gx有且仅有5个零点，D正确；故选：BCD.

33

1

【变式2-3】（2025·湖南湘潭·一模）函数fxsin2xsin4x的值域为．

2

3333

【答案】,

44

1

【详解】fxsin2xsin4xsin2xsin2xcos2xsin2x1cos2x令u2x，则fusinu1cosu，

2

由于fx是奇函数且周期为，只需考虑u0,（值域对称）.

令tcosu，t1,1，则sinu1t2，（u0,时，sinu0）

fu变为gt1t21t,t1,1

2223

令htgt1t1t1t1t,t1,1对ht求导得：

3222

ht1t31t1t1t1t31t1t24t，t1,1

13

令ht0，得t1或t，当t1时，h111110，

2

3

1111273

当t时，h11，当t1时，h111110

222216

272733

ht的最大值是，gt的最大值为

16164

1333333

由于fxsin2xsin4x是奇函数，故fx最小值为，fx值域为,

2444

3333

故答案为：,

44

题型03解三角形问题

【例3-1】（25-26高三上·重庆·月考）在ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S为ABC的面

积，若a22b2c245S，则sinC（）

302565

A．B．C．D．

6565

【答案】A

【详解】由题意，a22b2c225absinC，由余弦定理：a2b2c22abcosC，

1

两式相加得：2a23b22ab5sinCcosC26absinC，其中tan，

5

因为2a23b226ab，26absinC26ab，又sinC1，所以sinC1，于是C，

2

530

所以sinCcos，故选：A.

66

π

【例3-2】（2025·广东·模拟预测）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若AB边上的高为3c,A，

4

则cosACB（）

1031013526

A．B．C．D．

10101326

【答案】D

【详解】如图：

π

设AB边上的高为CD．因为A，所以ADCD3c，

4

所以BDADAB2c,bAD2CD232c．

由勾股定理可得BCBD2CD213c，

(32c)2(13c)2c2526

由余弦定理可得cosACB．故选：D

232c13c26

1.正弦定理

abc

2R.（其中R为ABC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

2.余弦定理：

b2c2a2

cosA,

2bc

a2c2b2

cosB,

2ac

a2b2c2

cosC.

2ab

111

3.三角形面积公式：（两边及夹角）SabsinCbcsinAacsinB；

ABC222

4.三角形中的边角关系：

ABCABC

sinABsinC,cosABcosC；sincos,cossin；

2222

5.三角形中线问题

如图在ABC中，D为CB的中点，2ADACAB，然后再两边平方，转化

成数量关系求解（常用）

6.三角形角平分线问题

如图，在ABC中，AD平分BAC，角A,B,C所对的边分别为a，b，c

①等面积法

11A1A

SSSABACsinAABADsinACADsin（常用）

ABCABDADC22222

②内角平分线定理：

ABACABBDABS

或③边与面积的比值：ABD

BDDCACDCACSADC

【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a6,b4ccosA，

则当ABC的面积取最大值时，c（）

A．32B．25C．26D．42

【答案】B

b2c2a2b

【详解】cosA，cosA，a6，

2bc4c

bb2c236b2

，化简整理得c236①，

4c2bc2

222

b16cb

A0,180，sinA1cos2A1，

16c24c

11116c2b2b

SbcsinAbc1cos2Abc16c2b2②，

ABC2224c8

b722c23

联立①②得，22222，

SABC16cb18c7236cc4

884

23322

令tc,t4,36，则SABC36tt4t20256，当t20时，面积最大，此时c20，

44

c25．故选：B．

2

【变式3-2】（2025·甘肃武威·模拟预测）在ABC中，BAC，AD是BAC的平分线，BD2CD，

3

AB3，则sinABC（）

212136

A．B．C．D．

14744

【答案】A

【详解】因为AD为BAC的平分线，且BD2CD，

ABBD

在△ABD中，根据正弦定理可知，

sinADBsinBAD

ACCD

在ACD中，根据正弦定理可知，

sinADCsinCAD

ABBD

而ADBADC，BADCAD，故将上述两个等式相除可得2，

ACCD

3

又AB3，所以AC，则在ABC中，

2

93163

由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC923，

4224

37ACBC

所以BC，在ABC中，由正弦定理得，

2sinABCsinBAC

33

ACsinBAC321

则sinABC22.故选：A.

BC372714

2

【变式3-3】（25-26高三上·云南玉溪·期中）（多选题）在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c下列说

法正确的是（）

A．若AB，则sinAsinB

B．在锐角三角形ABC中，不等式sinAcosB恒成立

C．若a5,A60,b23，则三角形有2解

π

D．若b2，A，ABC是钝角三角形，则边长c的取值范围为(0,1)(4,)

3

【答案】ABD

ab

【详解】对于选项A，AB，ab，，sinAsinB，选项A正确；

sinAsinB

ππππ

对于选项B，ABC是锐角三角形，AB,AB0，sinAsinB，

2222

sinAcosB，选项B正确；

对于选项C，a5,A60,b23，a2b2c22bccosA，

2512c243ccos60，c223c130，c34，

c0，c34，三角形有一解，选项C错误；

对于选项D，ABC是钝角三角形，分两种情况讨论：

ππ3

当B为钝角时，A，0C，0tanC，

363

πππ31

sinBsinACsinCsincosCcossinCcosCsinC，

33322

2sinC2tanC2

cbbsinCc

，c，b2，sinB3131，

sinCsinBsinBtanC

222tanC2

313331

0tanC，3，，2，

3tanC2tanC22tanC2

112

001

312，31，0c1；

2tanC22tanC2

当C为钝角时，

πππ31

sinCsinABsinBsincosBcossinBcosBsinB，

33322

ππ3

A，0B，0tanB，

363

31

cbbsinC2(cosBsinB)

，c，b2，2sinC3，

sinCsinBsinBc221

sinBsinBtanB

3133

0tanB，3，3，14，c4.

3tanBtanBtanB

综上可知，边长c的取值范围为(0,1)(4,).故选：ABD.

题型04新定义问题

【例4-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边OP与正方形ABCD交

于点Px,y，我们定义的类余弦值Lcosx，类正弦值Lsiny.则下面叙述正确的是（）

A．对任意的R,(Lcos)2(Lsin)21

B．对任意的R,LcosLsin2

7π

C．f(x)Lcosx在区间[π,]上单调递增

4

π

D．对任意的R,Lcos()Lsin

2

【答案】D

π

【详解】对于AB，当时，LcosLsin1，

4

(Lcos)2(Lsin)221,LcosLsin22，AB错误；

5

对于C，LcosπLcosπ1，C错误；

4

π

对于D，正方形ABCD关于直线yx对称，和的终边也关于直线yx对称，

2

ππ

则和的终边和正方形ABCD的交点也关于直线yx对称，所以Lcos()Lsin，D正确.

22

故选：D

【例4-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性

质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为

12x

y2sinx0x2π，其中x表示不超过x的最大整数，如2.13,13且Z，且

2π

55

经过点Mπ,1，则该条葫芦曲线与直线xπ交点的纵坐标为（）

43

3232

A．B．C．D．

2244

【答案】C

5155π5π

【详解】将点Mπ,1代入葫芦曲线的方程可得2sin1，即sin1，

42244

12x

由03，Z，可得2，因此曲线方程为y2sin2x，

2π

5

2π

51351101014π3

当xπ时，可得y2sin2π2sinπsin，

32π3233234

3

所以交点的纵坐标为.故选：C.

4

注重审题，提取题干信息解决问题.

【变式4-1】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、

11

正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数