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专题1.1基本不等式及其应用
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逐一剖析解题归纳:对热点的各类题型逐一突破,归纳解题方法与技巧。
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模拟实战巩固提升:限时完成题目训练,提升解题能力。
近三年:基本不等式是高中数学的核心内容之一,难度中等偏上,侧重考查不等式的理解与应用能力。主
要考查利用基本不等式求最值(如和的最小值、积的最大值)、证明不等式、解决实际应用问题(如面积、
体积、费用等优化问题)。常与函数、方程、解析几何等知识结合,体现综合性.
预测2026年:预计2026年高考仍将重视基本不等式的应用,尤其是与其他知识(如函数、数列、解析几
何)的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模,突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式
成立条件的理解,训练其灵活配凑、变形能力,注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合,提升解决综
合性问题的能力。
题型01公式的理解
解|题|策|略
1若,则(当且仅当时,等号成立).
2运用�>基0本,不�>等0式求解�最+值�时≥,2牢��记:一正,二�定=,�三等.
一正指的是;二定指的是是个定值,三等指的是不等式中取到等号.
1(25-26高�三>上0·上,�海>·期0中)已知实数��、,下列四个不等式中正确且能取到等号的是()
A.��B.
121
2
�+�≥2�+2+�+2≥2
C.D.
�+�22
2
【答案】D≤���+�≥2��
【分析】举例说明判断AC;利用基本不等式等号成立的条件判断B;作差判断D.
【详解】对于A,取,则,A错误;
1
�=−1�+�=−2<2
对于B,,当且仅当,
212121
222
�+2+�+2≥2�+2⋅�+2=2�+2=�+2
即时取等号,而,因此等号不能取到,B错误;
22
对于�C,+取2=1,则�+2≥2>1,C错误;
�+�
2
对于D,�=2,�=4=3>2,则2=��,D正确.
22222
故选:D�+�−2��=(�−�)≥0�+�≥2��
2(多选)(25-26高三上·辽宁·期中)下列不等式中正确的是()
A.B.
2
C.�+1≥2�D.�若+�≥2��,则
411
22
�+�+2≥2�>�>0�+�−�+�≥4
【答案】ACD
【分析】利用作差法可判断A;由基本不等式可判断BCD.
【详解】对于A,,所以,故A正确;
222
对于B,当,�+1−时2,�不=成�立−,1故≥B错0误;�+1≥2�
对于C,因为�<0,�<0,
2
所以�∈R�+2≥2,
24244
2222
�+�+2=�+2+�+2−2≥2�+2·�+2−2=2
当且仅当,即时等号成立,故C正确;
4
22
�+2=�+2�=0
对于D,,
111111
�−���−���−��
当且仅当�+,+=�时−等�号+成立+,�D+项正≥确2.�−�·+2�·=4
故选:AC�D.=2�=1
3(多选)(25-26高三上·福建泉州·期中)下列不等式一定成立的有()
A.B.
11
�+�≥2�+�≥2
C.D.
13
22
4�+2
【答案】�B1C−D�≤�+≥23−2
【分析】对于A,分和两种情况利用基本不等式即可判断,对于B,利用基本不等式即可判断,
�>0�<0
对于C,由,利用二次函数即可判断,对于D,由
12133
2222
利用基本不�等1式−即�可=判−断�.−2+4�+�+2=�+2+�+2−2
【详解】对于A,当时,,当且仅当时,等号成立,
11
�>0�+�≥2�⋅�=2�=1
当时,,当且仅当时,等号成立,所以,
1111
−�
故�A<错0误;−�+�=−�+−�≥2−�⋅=2�=−1�+�≤−2
对于B,,当且仅当时,即时,等号成立,故B正确;
111
�+�≥2�⋅�=2�=��=1
对于C,由,当时,等号成立,故C正确;
12111
�1−�=−�−2+4≤4�=2
对于D,由,
23233
2222
�+�+2=�+2+�+2−2≥2�+2⋅�+2−2=23−2
当且仅当,即不成立,所以等号不成立,
3
222
�+2=�+2�=3−2<0
所以,故D正确,
3
22
�+2
故选:�B+CD.>23−2
题型02倒数型
解|题|策|略
1倒数型,指的是类似,,等,其中要注意的是是否能够
�121
取到等号;2
𝑎+�(�>0,�>0)sin�+sin��+2+�+2
2若取不到等号,要用到对勾函数单调性处理.
1(25-26高三上·上海·月考)下列函数中,最小值为2的是()
A.B.
11
�=�+��≠0�=�+1�≤1
C.D.
421
2
�=�+�−2�>0�=�+4+�+4�∈�
【答案】C
【分析】结合基本不等式(均值不等式)的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可.
【详解】对于A,函数(),当时,,
111
�=�+��≠0�>0�+�≥2�⋅�=2
当且仅当时取等号;当时,,
1
�=1�<0�=−−�+−�≤−2
又,当且仅当时取等号,
11
−�+−�≥2−�⋅−�=2�=−1
所以此时,因此,函数无最小值,故A错误;
1
�=−−�+−�≤−2
对于B,函数,当时,,;
111
�=�+1�<0�<0�=�+1<1
当时,,,因此,函数无最小值,故B错误;
11
0<�≤1�≥1�=�+1≥2
对于C,,当且仅当,即时取等号,
444
���
此时�+≥,2所以�⋅函数=最2小4值=为42,故C正确;�=�=4
对于�D≥,令4−2=2,则,函数变为(),
21
�=�+4�≥2�=�+��≥2
函数在时单调递增,故当时,y取得最小值,故D错误.
15
�2
故选:�=C.�+�≥2�=2>2
2(25-26高三上·江苏南京·月考)下列说法中正确的是()
A.的最小值为4B.的最小值为2
4�+�
�+���
.的最小值为.的最小值为
C22D1
�+421
22
�+3�+�+1
【答案】D
【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB,根据基本不等式即可求解CD.
【详解】对于A,当时,,故A错误,
4
�<0�+�<0
对于B,当时,,,则,故B错误,
�+�
�<0,�<0�+�<0��>0��<0
对于由于,而对勾函数在单调递增,故
C,2,
�+42121
22
�+3=�+3+�+3�+3≥3��=�+��∈3,+∞
,当且仅当时取到等号,故错误,
2C
�+4211
22
�+3=�+3+�+3≥3+3�=0
对于D,,当且仅当时取到等号,故D正确,
21211
2222
故选:D�+�+1=�+1+�+1−1≥2�+1�+1−1=1�=0
3(多选)(25-26高三上·湖北武汉·月考)下列说法正确的是()
A.,则的最小值是2
1
�>0,�≠1�=lg�+lg�
B.,则的最小值是
�+55
�≥0�=�+42
C.,则的最小值是1
1
��
�≥0�=2+4⋅2
D.的最小值为9
14
22
sin�cos�
【答案】�B=D+
【分析】对于A,B,C,利用换元法及对勾函数的性质,结合函数单调性与最值的关系即可求解;
对于D,利用同角三角函数的平方关系及商数关系,结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.
【详解】对于A,令,则,由对勾函数知,在单调
1
�=lg��≠0�(�)=�+��≠0�(�)−∞,−1,1,+∞
递增,在上单调递减;所以当时,,当时,
1
−1,0,0,1�<0�(�)≤�(−1)=−1+−1=−2�>0�(�)≥
,故A错误;
1
�(1)=1+1=2
对于,令,则,,由对勾函数的性质知,在
B2
2�−4+51
�=�+4�≥2�=�−4�(�)=�=�+��(�)2,+∞
单调递增,当时,取得最小值为,所以当时,则的最小值是,故B
15�+55
正确;�=2�(�)�(2)=2+2=2�≥0�=�+42
对于C,令,则,由对勾函数的性质知,在单调递增,当时,
�111
�=2�≥1�(�)=�+4⋅��(�)2,+∞�=2�(�)
取得最小值为,所以当时,则的最小值是,故C错误;
111515
1��
�(2)=2+4×2=2�≥0�=2+4⋅22
对于,
D2222
14sin�+cos�4sin�+cos�1
222222
�=sin�+cos�=sin�+cos�=4tan�+tan�+5
,当且仅当,即时,等号成立,所以的最
121214
22222
小≥值2为4ta9n,�故⋅tDan正�确+5.=94tan�=tan�tan�=±2�=sin�+cos�
故选:BD.
题型03积与和型
解|题|策|略
1知积求和用,知和求积用
2
�+�
2在解题中要注意对式子的观察,明确,所指,并且观察它们是否存在和与积的形式。
�+�≥2����≤4;
��
1(25-26高三上·安徽合肥·期中)已知,则的最大值为()
A.3B.6�>0,�C>.09,�+3�=6��D.12
【答案】A
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为,
则�>0,�>,0所,�以+3�=6,
当且�+仅3当�=6≥23�时�,即当��≤3,且,等号成立,
故的最�大=值3为�=3.3�=3�=1
故选��:A.
2(2025·湖北·模拟预测)已知实数,满足,则的最大值为()
11
���−2�−3=6��
A.B.C.D.
1111
2524124
【答案】B
【分析】由题设可得,再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为2�+3�=1,所以,
11
�−2�−3=62�+3�=1
因为,
112�+3�21
��=6×2�×3�≤62=24
当且仅当,即时等号成立,故的最大值为.
1111
24624
故选:B2�=3�=�=,�=��
3(25-26高三上·上海·开学考试)已知且,则的最小值为()
111
�>0,�>0�+�=1�+�+��
A.4B.8C.2D.4
【答案】B22
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为且,
所以�>0,�,>所0以�+�,=1
�+�211
��≤2=4��≥4
当且仅当时,等号成立,
1
�=�=2
所以,
111�+�1112
�+�+��=��+��=��+��=��≥8
故选:B
题型04配凑型
解|题|策|略
1有时利用基本不等式时,确定和时,想得较为简单,会做不到“二定或三等”的要求,比如
1
中令,用基本不等式,做不到是定值,此时需要对和的确定作些调整,进行配凑,达到
���=�+�−2
做到“一正,二定1,三等”的要求。
�=��=�−2����
1(25-26高三上·浙江宁波·期中)若均为大于1的实数,且,则的最小值为()
A.6B.9�,�C.��=D3.+�+��+2�
【答案】D3+223+42
【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意可知:,
则�−1�−1=4,
当且�仅+当2�=�−1+2�−,1即+3≥2�−1⋅2�−1时取+得3等=号4.2+3
故选:D�−1=2�−1�=1+2,�=22+1
2(25-26高三上·四川广安·月考)若,,,则的最小值为()
11
�>2�>−2�+2�=0�−2+2�+4
A.2B.3C.D.
【答案】A3+13−1
【分析】由题意得,利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意有:�−2+2�+4=2,
又,所以�−2>0,2�+4>0,
所以�+2�=0�−2+2�+4=�+2�+2=2,
1111�−2+2�+412�+4�−212�+4�−2
�−2+2�+4=�−2+2�+4×2=22+�−2+2�+4≥22+2�−2×2�+4=2
当且仅当2�+4�−2,即时,等号成立,
�−2=2�+4�=33
2
�−2+2�+4=2�=−
所以的最小值为.
11
�−2+2�+42
故选:A.
3(25-26高二上·云南·月考)若,则的最小值为()
�1
�>�>0, 2�−�=42−�+�−�
A.9B.C.2D.
916
49
【答案】B
【分析】由已知可得,,代入整理得,利用基本不等式“1”的妙用
�141
�=2�−42<�<42−�+�−�=�+4−�
可求最小值.
【详解】因为,所以,
又, 2所�以−�=4�=,2所�以−4,
所以�>�>0�>2�−4>02<�<4
�12�−4141141
2−�+�−�=2−�+�−2�−4=�+4−�=4�+4−��+4−�
,
144−��144−��9
=44+�+4−�+1≥45+2�×4−�=4
当且仅当,即时取等号,
44−��8
�=4−��=3
所以的最小值为.
�19
2−�+�−�4
故选:B.
题型05积与和互化解不等式型
解|题|策|略
一等式中存在与的和与积,利用基本不等式得到关于或的不等式,从而求出它们的范围。
�����+�
1(25-26高三上·河北·期中)已知为正实数,且,则的最小值为()
A.4B.8�,�C.16��=�+�+8D.��
【答案】C162
【分析】利用基本不等式,结合一元二次不等式的解法可求的最小值.
【详解】因为为正实数,所以,所以��,
所以�,�0,所以�+�≥2���,�=�+�+8≥2��+8
解得��−2�或�−8≥(舍去�)�,−所4以��+2,≥当0且仅当时取等号.
所以�的�≥最4小值为��≤−2��≥16�=�=4
故选:��C.16
2(25-26高三上·山东青岛·期中)已知,则的最小值是()
5
�>0,�>0,2�+3�+6��=42�+3�
A.1B.5C.D.
55
24
【答案】A
【分析】由基本不等式得,结合条件求解.
2�+3�2
6��=2�⋅3�≤2
【详解】由,,得,
55
�,�>02�+3�+6��=46��=4−2�+3�
又,即,
2
2�+3�252�+3�
令6��=2�⋅3�≤,上2式为4−2�+3,�解≤得4或(舍去),
2
�=2,�+即3�>0,当�且+仅4�当−5≥0时,等�≥号1成立�,≤−5
∴所�以≥12得�最+3小�值≥为11.2�=3�
故选:2�A+.3�
3(25-26高三上·河北邯郸·期中)已知,且,则的最小值与最大值之和为()
22
A.B.�,�∈�C.�+�+�+�=4D.�+�
【答案】−D5−4−3−2
【分析】应用基本不等式得求的范围,注意端点值的取值条件,即可得.
2
【详解】由,�有+�+2�+�−8,≤有0�+�,得,
22
22�+��+�2
当�时+,�≥2,2+�+�≤4�+�+2�+�−8≤0−4≤�+�≤2
当�=�=1时,�+�=2,
所以�=�=的−最2小值�为+�,=−最4大值为2,
所以�+�的最小值与最−4大值之和为.
故选:�+D�−4+2=−2
题型06常数代换型
解|题|策|略
1特征:条件是一个包含等式的复杂关系,可以将其中一个常数用变量表达式代替;
2解题思路:从条件等式中解出一个变量代入所求式子,或解出一个常数关系进行代换。
1(2025·浙江台州·一模)已知,且,则的最小值为()
19
�,�∈−1,+∞�+�+1=2�+�+2
A.2B.C.D.3
95
42
【答案】D
【分析】可利用配凑法与“1的妙用”,结合基本不等式进行求解.
【详解】由题可知,,又因为,
1
�+2+�+1=4�+2>0,�+1>0
则
9119
�+1+�+2=4(�+2+�+1)(�+1+�+2)
,
191
=4[(�+2)(�+1)+(�+2)(�+1)+10]≥4(6+10)=4
当且仅当时,即当时,等号成立.
因此(�+2)的(�最+小1值)=为34,�=1,�=0
9
�+1+�+2
故的最小值为3.
9
�+2
故选�+:D.
2(25-26高三上·湖北黄石·期中)已知实数,满足,,且,则的最小值为()
41
���>0�>1�+�=5�+�−1
A.B.C.D.9
395
242
【答案】B
【分析】变形有,再利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】因为�+�−1,=且4,则,,
则�>0,�>1�+�=5�+�−1=4�−1>0,
4141114(�−1)�14(�−1)�9
�+�−1=�+�−1[�+(�−1)]×4=45+�+�−1≥45+2�⋅�−1=4
当且仅当,且时,即时取等号,
4(�−1)�87
��−133
故选:B.=�+�=5�=,�=
(高三上山西月考)已知正实数,满足,则的最小值为()
324-25··xy2
�+3�
�+2�=3��
A.B.4C.D.6
【答案】2A2+142+1
【分析】由条件可得,再利用基本不等式求其最小值即可
2.
�+3��2�
��=�+�+1
【详解】由题意知,
2222
�+3��+�+2���+��+2��2�
��=��=��=�+�+1≥22+1
当且仅当,且,即,时等号成立,
�2�323
�+2�=3�=��=2+2�=2+2
即的最小值为
2.
�+3�
��
故选:A.22+1
题型07消元型
解|题|策|略
1特征:条件是多个变量的等式关系,求某个表达式的最值;
2解题思路:利用条件等式,将一个变量用其他变量表示,代入所求式子,转化为单变量函数或可直接用
基本不等式的形式;
3在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。
1(25-26高二上·浙江衢州·期中)已知实数满足,则的最小值为()
22
A.2B.3�,�C.4��−2�−�=0D.�−1+�−2
9
2
【答案】C
【分析】根据已知等式可得,从而可结合基本不等式求解的最小值.
2�222
【详解】因为�=,�当−1=2+时�−,1等式不成立,�−1+�−2
所以��−2�−�=0,�=1
2�2�−1+22
�=�−1=�−1=2+�−1
则,
22
222222
�−1+�−2=�−1+�−1≥2�−1⋅�−1=4
当且仅当,即或时,等号成立,
2
22
所以�−1=�−1的最小值�为=2.+1�=−2+1
22
故选:�C−.1+�−24
2(25-26高三上·湖北武汉·期中)已知实数满足,则的最小值为()
222
A.1B.�,�C.�+2��=1D�.+4�
【答案】C22−122−223−1
【分析】由已知得,然后对目标式变形为,利用基本不等式求解最值即可
2.
1−�1
2222
�=2��+4�=2�+�−2
【详解】因为,显然,所以,
2
21−�
�+2��=1�≠0�=2�
则,
22
2221−�211
222
�+4�=�+42�=2�+�−2≥22�×�−2=22−2
当且仅当,即时,等号成立,即的最小值为.
12
22222
故选:C2�=��=2�+4�22−2
3(25-26高三上·重庆·期中)若正数、满足,则的最小值为()
A.���B�.−�−3�=1�+4�
15
28
C.D.
17
2
【答案】D15
【分析】由已知等式得出,求得,化简得出,结合基本不等式可求
�+116
�−3�−3
得其最小值.�=�>3�+4�=�−3++7
【详解】由可得,
因为,��−�,−由3�=1��−3可=得�+1,故,且,
�+1
�>0�>0��−3=�+1�−3>0�>3�=�−3
故
4�+14�−3+161616
�+4�=�+�−3=�+�−3=�+�−3+4=�−3+�−3+7
.
16
≥2�−3⋅�−3+7=8+7=15
当且仅当时,即当时,等号成立,
16
�−3=�−3�=7
故的最小值为.
�>3�=2
故选�+:4D�.15
题型08“1”代换综合型
解|题|策|略
1遇到类似与其一为已知条件,令一为求其范围时,可以采取巧法;
11
2所求式子中�+有�时�可+以�巧妙的利用“1”的特征(比如题中条件类似1或,或一些公
式等),把式子进行变形,使得其与已知
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