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专题1.1基本不等式及其应用

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深度剖析解读热点:分析解读热点考查内容,精准预测命题方向。

热点题型突破

逐一剖析解题归纳:对热点的各类题型逐一突破,归纳解题方法与技巧。

热点限时训练

模拟实战巩固提升:限时完成题目训练,提升解题能力。

近三年:基本不等式是高中数学的核心内容之一,难度中等偏上,侧重考查不等式的理解与应用能力。主

要考查利用基本不等式求最值(如和的最小值、积的最大值)、证明不等式、解决实际应用问题(如面积、

体积、费用等优化问题)。常与函数、方程、解析几何等知识结合,体现综合性.

预测2026年:预计2026年高考仍将重视基本不等式的应用,尤其是与其他知识(如函数、数列、解析几

何)的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模,突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式

成立条件的理解,训练其灵活配凑、变形能力,注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合,提升解决综

合性问题的能力。

题型01公式的理解

解|题|策|略

1若,则(当且仅当时,等号成立).

2运用�>基0本,不�>等0式求解�最+值�时≥,2牢��记:一正,二�定=,�三等.

一正指的是;二定指的是是个定值,三等指的是不等式中取到等号.

1(25-26高�三>上0·上,�海>·期0中)已知实数��、,下列四个不等式中正确且能取到等号的是()

A.��B.

121

2

�+�≥2�+2+�+2≥2

C.D.

�+�22

2

【答案】D≤���+�≥2��

【分析】举例说明判断AC;利用基本不等式等号成立的条件判断B;作差判断D.

【详解】对于A,取,则,A错误;

1

�=−1�+�=−2<2

对于B,,当且仅当,

212121

222

�+2+�+2≥2�+2⋅�+2=2�+2=�+2

即时取等号,而,因此等号不能取到,B错误;

22

对于�C,+取2=1,则�+2≥2>1,C错误;

�+�

2

对于D,�=2,�=4=3>2,则2=��,D正确.

22222

故选:D�+�−2��=(�−�)≥0�+�≥2��

2(多选)(25-26高三上·辽宁·期中)下列不等式中正确的是()

A.B.

2

C.�+1≥2�D.�若+�≥2��,则

411

22

�+�+2≥2�>�>0�+�−�+�≥4

【答案】ACD

【分析】利用作差法可判断A;由基本不等式可判断BCD.

【详解】对于A,,所以,故A正确;

222

对于B,当,�+1−时2,�不=成�立−,1故≥B错0误;�+1≥2�

对于C,因为�<0,�<0,

2

所以�∈R�+2≥2,

24244

2222

�+�+2=�+2+�+2−2≥2�+2·�+2−2=2

当且仅当,即时等号成立,故C正确;

4

22

�+2=�+2�=0

对于D,,

111111

�−���−���−��

当且仅当�+,+=�时−等�号+成立+,�D+项正≥确2.�−�·+2�·=4

故选:AC�D.=2�=1

3(多选)(25-26高三上·福建泉州·期中)下列不等式一定成立的有()

A.B.

11

�+�≥2�+�≥2

C.D.

13

22

4�+2

【答案】�B1C−D�≤�+≥23−2

【分析】对于A,分和两种情况利用基本不等式即可判断,对于B,利用基本不等式即可判断,

�>0�<0

对于C,由,利用二次函数即可判断,对于D,由

12133

2222

利用基本不�等1式−即�可=判−断�.−2+4�+�+2=�+2+�+2−2

【详解】对于A,当时,,当且仅当时,等号成立,

11

�>0�+�≥2�⋅�=2�=1

当时,,当且仅当时,等号成立,所以,

1111

−�

故�A<错0误;−�+�=−�+−�≥2−�⋅=2�=−1�+�≤−2

对于B,,当且仅当时,即时,等号成立,故B正确;

111

�+�≥2�⋅�=2�=��=1

对于C,由,当时,等号成立,故C正确;

12111

�1−�=−�−2+4≤4�=2

对于D,由,

23233

2222

�+�+2=�+2+�+2−2≥2�+2⋅�+2−2=23−2

当且仅当,即不成立,所以等号不成立,

3

222

�+2=�+2�=3−2<0

所以,故D正确,

3

22

�+2

故选:�B+CD.>23−2

题型02倒数型

解|题|策|略

1倒数型,指的是类似,,等,其中要注意的是是否能够

�121

取到等号;2

𝑎+�(�>0,�>0)sin�+sin��+2+�+2

2若取不到等号,要用到对勾函数单调性处理.

1(25-26高三上·上海·月考)下列函数中,最小值为2的是()

A.B.

11

�=�+��≠0�=�+1�≤1

C.D.

421

2

�=�+�−2�>0�=�+4+�+4�∈�

【答案】C

【分析】结合基本不等式(均值不等式)的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可.

【详解】对于A,函数(),当时,,

111

�=�+��≠0�>0�+�≥2�⋅�=2

当且仅当时取等号;当时,,

1

�=1�<0�=−−�+−�≤−2

又,当且仅当时取等号,

11

−�+−�≥2−�⋅−�=2�=−1

所以此时,因此,函数无最小值,故A错误;

1

�=−−�+−�≤−2

对于B,函数,当时,,;

111

�=�+1�<0�<0�=�+1<1

当时,,,因此,函数无最小值,故B错误;

11

0<�≤1�≥1�=�+1≥2

对于C,,当且仅当,即时取等号,

444

���

此时�+≥,2所以�⋅函数=最2小4值=为42,故C正确;�=�=4

对于�D≥,令4−2=2,则,函数变为(),

21

�=�+4�≥2�=�+��≥2

函数在时单调递增,故当时,y取得最小值,故D错误.

15

�2

故选:�=C.�+�≥2�=2>2

2(25-26高三上·江苏南京·月考)下列说法中正确的是()

A.的最小值为4B.的最小值为2

4�+�

�+���

.的最小值为.的最小值为

C22D1

�+421

22

�+3�+�+1

【答案】D

【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB,根据基本不等式即可求解CD.

【详解】对于A,当时,,故A错误,

4

�<0�+�<0

对于B,当时,,,则,故B错误,

�+�

�<0,�<0�+�<0��>0��<0

对于由于,而对勾函数在单调递增,故

C,2,

�+42121

22

�+3=�+3+�+3�+3≥3��=�+��∈3,+∞

,当且仅当时取到等号,故错误,

2C

�+4211

22

�+3=�+3+�+3≥3+3�=0

对于D,,当且仅当时取到等号,故D正确,

21211

2222

故选:D�+�+1=�+1+�+1−1≥2�+1�+1−1=1�=0

3(多选)(25-26高三上·湖北武汉·月考)下列说法正确的是()

A.,则的最小值是2

1

�>0,�≠1�=lg�+lg�

B.,则的最小值是

�+55

�≥0�=�+42

C.,则的最小值是1

1

��

�≥0�=2+4⋅2

D.的最小值为9

14

22

sin�cos�

【答案】�B=D+

【分析】对于A,B,C,利用换元法及对勾函数的性质,结合函数单调性与最值的关系即可求解;

对于D,利用同角三角函数的平方关系及商数关系,结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.

【详解】对于A,令,则,由对勾函数知,在单调

1

�=lg��≠0�(�)=�+��≠0�(�)−∞,−1,1,+∞

递增,在上单调递减;所以当时,,当时,

1

−1,0,0,1�<0�(�)≤�(−1)=−1+−1=−2�>0�(�)≥

,故A错误;

1

�(1)=1+1=2

对于,令,则,,由对勾函数的性质知,在

B2

2�−4+51

�=�+4�≥2�=�−4�(�)=�=�+��(�)2,+∞

单调递增,当时,取得最小值为,所以当时,则的最小值是,故B

15�+55

正确;�=2�(�)�(2)=2+2=2�≥0�=�+42

对于C,令,则,由对勾函数的性质知,在单调递增,当时,

�111

�=2�≥1�(�)=�+4⋅��(�)2,+∞�=2�(�)

取得最小值为,所以当时,则的最小值是,故C错误;

111515

1��

�(2)=2+4×2=2�≥0�=2+4⋅22

对于,

D2222

14sin�+cos�4sin�+cos�1

222222

�=sin�+cos�=sin�+cos�=4tan�+tan�+5

,当且仅当,即时,等号成立,所以的最

121214

22222

小≥值2为4ta9n,�故⋅tDan正�确+5.=94tan�=tan�tan�=±2�=sin�+cos�

故选:BD.

题型03积与和型

解|题|策|略

1知积求和用,知和求积用

2

�+�

2在解题中要注意对式子的观察,明确,所指,并且观察它们是否存在和与积的形式。

�+�≥2����≤4;

��

1(25-26高三上·安徽合肥·期中)已知,则的最大值为()

A.3B.6�>0,�C>.09,�+3�=6��D.12

【答案】A

【分析】借助基本不等式计算即可得.

【详解】因为,

则�>0,�>,0所,�以+3�=6,

当且�+仅3当�=6≥23�时�,即当��≤3,且,等号成立,

故的最�大=值3为�=3.3�=3�=1

故选��:A.

2(2025·湖北·模拟预测)已知实数,满足,则的最大值为()

11

���−2�−3=6��

A.B.C.D.

1111

2524124

【答案】B

【分析】由题设可得,再应用基本不等式求目标式的最大值.

【详解】因为2�+3�=1,所以,

11

�−2�−3=62�+3�=1

因为,

112�+3�21

��=6×2�×3�≤62=24

当且仅当,即时等号成立,故的最大值为.

1111

24624

故选:B2�=3�=�=,�=��

3(25-26高三上·上海·开学考试)已知且,则的最小值为()

111

�>0,�>0�+�=1�+�+��

A.4B.8C.2D.4

【答案】B22

【分析】根据基本不等式求解即可.

【详解】因为且,

所以�>0,�,>所0以�+�,=1

�+�211

��≤2=4��≥4

当且仅当时,等号成立,

1

�=�=2

所以,

111�+�1112

�+�+��=��+��=��+��=��≥8

故选:B

题型04配凑型

解|题|策|略

1有时利用基本不等式时,确定和时,想得较为简单,会做不到“二定或三等”的要求,比如

1

中令,用基本不等式,做不到是定值,此时需要对和的确定作些调整,进行配凑,达到

���=�+�−2

做到“一正,二定1,三等”的要求。

�=��=�−2����

1(25-26高三上·浙江宁波·期中)若均为大于1的实数,且,则的最小值为()

A.6B.9�,�C.��=D3.+�+��+2�

【答案】D3+223+42

【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可.

【详解】由题意可知:,

则�−1�−1=4,

当且�仅+当2�=�−1+2�−,1即+3≥2�−1⋅2�−1时取+得3等=号4.2+3

故选:D�−1=2�−1�=1+2,�=22+1

2(25-26高三上·四川广安·月考)若,,,则的最小值为()

11

�>2�>−2�+2�=0�−2+2�+4

A.2B.3C.D.

【答案】A3+13−1

【分析】由题意得,利用基本不等式即可求解.

【详解】由题意有:�−2+2�+4=2,

又,所以�−2>0,2�+4>0,

所以�+2�=0�−2+2�+4=�+2�+2=2,

1111�−2+2�+412�+4�−212�+4�−2

�−2+2�+4=�−2+2�+4×2=22+�−2+2�+4≥22+2�−2×2�+4=2

当且仅当2�+4�−2,即时,等号成立,

�−2=2�+4�=33

2

�−2+2�+4=2�=−

所以的最小值为.

11

�−2+2�+42

故选:A.

3(25-26高二上·云南·月考)若,则的最小值为()

�1

�>�>0, 2�−�=42−�+�−�

A.9B.C.2D.

916

49

【答案】B

【分析】由已知可得,,代入整理得,利用基本不等式“1”的妙用

�141

�=2�−42<�<42−�+�−�=�+4−�

可求最小值.

【详解】因为,所以,

又, 2所�以−�=4�=,2所�以−4,

所以�>�>0�>2�−4>02<�<4

�12�−4141141

2−�+�−�=2−�+�−2�−4=�+4−�=4�+4−��+4−�

144−��144−��9

=44+�+4−�+1≥45+2�×4−�=4

当且仅当,即时取等号,

44−��8

�=4−��=3

所以的最小值为.

�19

2−�+�−�4

故选:B.

题型05积与和互化解不等式型

解|题|策|略

一等式中存在与的和与积,利用基本不等式得到关于或的不等式,从而求出它们的范围。

�����+�

1(25-26高三上·河北·期中)已知为正实数,且,则的最小值为()

A.4B.8�,�C.16��=�+�+8D.��

【答案】C162

【分析】利用基本不等式,结合一元二次不等式的解法可求的最小值.

【详解】因为为正实数,所以,所以��,

所以�,�0,所以�+�≥2���,�=�+�+8≥2��+8

解得��−2�或�−8≥(舍去�)�,−所4以��+2,≥当0且仅当时取等号.

所以�的�≥最4小值为��≤−2��≥16�=�=4

故选:��C.16

2(25-26高三上·山东青岛·期中)已知,则的最小值是()

5

�>0,�>0,2�+3�+6��=42�+3�

A.1B.5C.D.

55

24

【答案】A

【分析】由基本不等式得,结合条件求解.

2�+3�2

6��=2�⋅3�≤2

【详解】由,,得,

55

�,�>02�+3�+6��=46��=4−2�+3�

又,即,

2

2�+3�252�+3�

令6��=2�⋅3�≤,上2式为4−2�+3,�解≤得4或(舍去),

2

�=2,�+即3�>0,当�且+仅4�当−5≥0时,等�≥号1成立�,≤−5

∴所�以≥12得�最+3小�值≥为11.2�=3�

故选:2�A+.3�

3(25-26高三上·河北邯郸·期中)已知,且,则的最小值与最大值之和为()

22

A.B.�,�∈�C.�+�+�+�=4D.�+�

【答案】−D5−4−3−2

【分析】应用基本不等式得求的范围,注意端点值的取值条件,即可得.

2

【详解】由,�有+�+2�+�−8,≤有0�+�,得,

22

22�+��+�2

当�时+,�≥2,2+�+�≤4�+�+2�+�−8≤0−4≤�+�≤2

当�=�=1时,�+�=2,

所以�=�=的−最2小值�为+�,=−最4大值为2,

所以�+�的最小值与最−4大值之和为.

故选:�+D�−4+2=−2

题型06常数代换型

解|题|策|略

1特征:条件是一个包含等式的复杂关系,可以将其中一个常数用变量表达式代替;

2解题思路:从条件等式中解出一个变量代入所求式子,或解出一个常数关系进行代换。

1(2025·浙江台州·一模)已知,且,则的最小值为()

19

�,�∈−1,+∞�+�+1=2�+�+2

A.2B.C.D.3

95

42

【答案】D

【分析】可利用配凑法与“1的妙用”,结合基本不等式进行求解.

【详解】由题可知,,又因为,

1

�+2+�+1=4�+2>0,�+1>0

9119

�+1+�+2=4(�+2+�+1)(�+1+�+2)

,

191

=4[(�+2)(�+1)+(�+2)(�+1)+10]≥4(6+10)=4

当且仅当时,即当时,等号成立.

因此(�+2)的(�最+小1值)=为34,�=1,�=0

9

�+1+�+2

故的最小值为3.

9

�+2

故选�+:D.

2(25-26高三上·湖北黄石·期中)已知实数,满足,,且,则的最小值为()

41

���>0�>1�+�=5�+�−1

A.B.C.D.9

395

242

【答案】B

【分析】变形有,再利用乘“1”法即可得到最值.

【详解】因为�+�−1,=且4,则,,

则�>0,�>1�+�=5�+�−1=4�−1>0,

4141114(�−1)�14(�−1)�9

�+�−1=�+�−1[�+(�−1)]×4=45+�+�−1≥45+2�⋅�−1=4

当且仅当,且时,即时取等号,

4(�−1)�87

��−133

故选:B.=�+�=5�=,�=

(高三上山西月考)已知正实数,满足,则的最小值为()

324-25··xy2

�+3�

�+2�=3��

A.B.4C.D.6

【答案】2A2+142+1

【分析】由条件可得,再利用基本不等式求其最小值即可

2.

�+3��2�

��=�+�+1

【详解】由题意知,

2222

�+3��+�+2���+��+2��2�

��=��=��=�+�+1≥22+1

当且仅当,且,即,时等号成立,

�2�323

�+2�=3�=��=2+2�=2+2

即的最小值为

2.

�+3�

��

故选:A.22+1

题型07消元型

解|题|策|略

1特征:条件是多个变量的等式关系,求某个表达式的最值;

2解题思路:利用条件等式,将一个变量用其他变量表示,代入所求式子,转化为单变量函数或可直接用

基本不等式的形式;

3在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。

1(25-26高二上·浙江衢州·期中)已知实数满足,则的最小值为()

22

A.2B.3�,�C.4��−2�−�=0D.�−1+�−2

9

2

【答案】C

【分析】根据已知等式可得,从而可结合基本不等式求解的最小值.

2�222

【详解】因为�=,�当−1=2+时�−,1等式不成立,�−1+�−2

所以��−2�−�=0,�=1

2�2�−1+22

�=�−1=�−1=2+�−1

则,

22

222222

�−1+�−2=�−1+�−1≥2�−1⋅�−1=4

当且仅当,即或时,等号成立,

2

22

所以�−1=�−1的最小值�为=2.+1�=−2+1

22

故选:�C−.1+�−24

2(25-26高三上·湖北武汉·期中)已知实数满足,则的最小值为()

222

A.1B.�,�C.�+2��=1D�.+4�

【答案】C22−122−223−1

【分析】由已知得,然后对目标式变形为,利用基本不等式求解最值即可

2.

1−�1

2222

�=2��+4�=2�+�−2

【详解】因为,显然,所以,

2

21−�

�+2��=1�≠0�=2�

则,

22

2221−�211

222

�+4�=�+42�=2�+�−2≥22�×�−2=22−2

当且仅当,即时,等号成立,即的最小值为.

12

22222

故选:C2�=��=2�+4�22−2

3(25-26高三上·重庆·期中)若正数、满足,则的最小值为()

A.���B�.−�−3�=1�+4�

15

28

C.D.

17

2

【答案】D15

【分析】由已知等式得出,求得,化简得出,结合基本不等式可求

�+116

�−3�−3

得其最小值.�=�>3�+4�=�−3++7

【详解】由可得,

因为,��−�,−由3�=1��−3可=得�+1,故,且,

�+1

�>0�>0��−3=�+1�−3>0�>3�=�−3

4�+14�−3+161616

�+4�=�+�−3=�+�−3=�+�−3+4=�−3+�−3+7

.

16

≥2�−3⋅�−3+7=8+7=15

当且仅当时,即当时,等号成立,

16

�−3=�−3�=7

故的最小值为.

�>3�=2

故选�+:4D�.15

题型08“1”代换综合型

解|题|策|略

1遇到类似与其一为已知条件,令一为求其范围时,可以采取巧法;

11

2所求式子中�+有�时�可+以�巧妙的利用“1”的特征(比如题中条件类似1或,或一些公

式等),把式子进行变形,使得其与已知

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