2026高考数学复习高效培优专题01 函数图象与性质（3重要函数及5类抽象函数图象+7种函数性质）（原卷版）

专题01函数图象与性质

（3种重要函数图象+5种抽象函数图象+7种函数性

质）

内容导航

速度提升技巧掌握手感养成

重难考向聚焦

锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向

重难考向保分攻略

授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化

重难冲刺练

模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”

近近三年：根据2024年2025年高考数学的考纲和真题，函数专题在高考中的分值占比比较大，分值比较高，

多以小选择题和填空题题型，难易度分布，是从容易题到小题压轴都有出现，24年全国卷还在大题第18题有

函数性质的针对性考察。

函数是高考数学的核心考点之一，主要考察函数的性质、图像、运算及应用。函数性质是重点考察。函数

性质考察，多从以下方面来考察

单调性：判断函数在区间上的增减性，常通过导数或定义分析。

奇偶性：偶函数关于y轴对称（如二次函数），奇函数关于原点对称（如三次函数）。

周期性：不仅仅出现在三角函数中，涉及到函数特别是抽象函数，有对称中心或者对称轴来生成周期性

来考察。

函数图像考察，则从见函数图像：一次函数（直线）、二次函数（抛物线）、指数函数（指数增长/衰减）、

对数函数（反函数）来考察，涉及到图像变换，平移、翻转等操作需结合具体函数分析，如反比例函数平

移后的渐近线位置。

预测2026年：函数模块的考察从以下方向考察：

基础性质考察是函数考察的核心点。函数的单调性、奇偶性、周期性始终是必考内容，尤其注重抽象函数

性质的判断与应用。涉及到通过复合函数“同增异减”规律分析性质，或结合对称性推导周期性等方向。并

且结合新高考的考试指导性方向，函数实际应用考察会持续深化，命题可能结合科技创新场景方向，来考

查函数建模与分析能力。所以再复习函数备考函数时，要重视原理理解，引导学生避免机械刷题，需深入

掌握函数性质的定义,性质，理解并掌握推导过程和推导思维，强化思维训练，以解决压轴大题或压轴小题

题形式的综合应用。

考向01重要函数图像：对勾函数

b

对勾函数：yax，（a，b0）图像特征

x

b

形如yax，（a，b0）称为对勾函数

x

1.有“渐近线”：y=ax

b

2.“拐点”：解方程ax（即第一象限均值不等式取等处）

x

1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知fxex1ex1x22xaaR，且f2x3f2x，则x的

取值范围是（）

11

A．,B．,3,

33

11

C．,5,D．5,

33

1xx

2．（2025·重庆·模拟预测）已知函数fxee，若对任意的x1,x2R，满足fx1fx2fx1x2，

2

则恒有（）

A．x1x20B．x1x20

C．x1x20D．x1x20

xx1

3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数fxsinxee，若af2,bf,cfln2，则（）

2

A．abcB．acb

C．cbaD．bca

2xa2x2,x1

．（北京大兴三模）已知函数若的最小值为，则a的一个取值

42025··fx2.fxf1

x2xa,x1

为；a的最大值为．

考向02重要函数图像：双曲函数

.双曲函数（双刀函数）

bb

yax（两支各自增），或者yax（两支各自减），（a，b0）

xx

1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax

b

2.“零点”：解方程ax

x（即方程等0处）

1n

1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知f(x)ex1e1x，且f(lnm)f0，则下列可能成立的是（）

n

A．nm1B．1nmC．m1nD．1mn

2．（24-25高三·河北邯郸）已知函数fxexex2sinx，若faexf1x0恒成立，则a的取值范

围是（）

1111

A．,B．,C．,D．,

e2ee2e

3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数fxsin2x2e1xex12，xR．若f2a2f1a4，

则实数a的取值范围为（）

11

A．,1B．,1,

22

11

C．1,D．,1,

22

22

4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知f(x)exexkx2，若f(x)0有唯一解，则k的取值范围为（）

A．(,1]B．[2,9)C．(,2]D．[1,3]

考向03重要函数图像：分式型

.反比例与分式型函数

解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次

axb

不等式，再用穿线法求解。形如：y=。对称中为P（x，y），其中

cx-d00

（）、-=0；

1cx0d

ax

（2）、y

0cx

（3）、一、三或者二、四象限，通过x0,1计算判断。

1x2

1．（23-24高三·广东阶段练习）已知函数fx，则不等式f2x1fx1的解集为（）

1x2

2

A．,0B．,

3

22

C．0,D．,0,

33

x1

2．（24-25上·江苏阶段练习）已知函数f(x)，xR，则不等式f(x22x)f(3x4)的解集为

|x|1

（）

4

A．(1,2)B．(1,4)C．(0,2)D．1,

3

2x7173

3．（24-25高三·云南昭通·阶段练习）已知函数fx，若对任意的x,,fx4m27m

x3242x9

恒成立，则m的取值范围为（）

11111111

A．,1B．1,C．1,D．,1

4444

2x1

4．（23-24·湖南长沙阶段练习）已知函数fxxR满足fxfax2，若函数y的图像与

2xa

x,yx,y

yfx的图像有4个交点，分别为11，22，x3,y3，x4,y4，则y1y2y3y4（）

A．2B．4C．8D．2a

考向04抽象函数图像：函数方程

函数方程,多采用轮换式代换技巧。函数方程中的轮换式代换技巧是一种通过变量轮换来简化方程或发现

隐藏对称性的方法。其核心思想是：如果方程在变量轮换后形式不变，则可以利用这种对称性进行代换

或推导。

核心原理是：对于函数方程f(g(x))+f(r(x))形式，若变量轮换后形式不变，可尝试设t=g（x）与t=r（x）

来代换，通过代换，再通过解方程消去，转化为单一变量的函数解析式

常见技巧：

变量代换：通过轮换变量，再通过相加或相减消元，将复杂方程转化为更简单的形式。

对称性利用：若方程是轮换对称式，其因式分解或解的结构往往具有对称性，可据此简化问题

周期性结合：在函数方程中，轮换对称性常与周期性结合使用，通过多次轮换代换，寻找出代换的周期

性，来推导函数的解析式

12

1．（2025·浙江·二模）定义在0,上的函数fx满足ffx,ff2x，当x1,2时，

xx

1

fxx1x2，则函数yfx在区间1,100内的零点个数为（）

4

A．3B．4C．5D．6

31

2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数fx满足fxxf0，

x

fxfyfxy2xy，则f6等于（）

A．33B．32C．31D．30

3．（2024·青海·二模）定义在R上的函数fx满足2f3xfxx212x18，fx是函数fx的

导函数，以下选项错误的是（）

A．f0f00

B．曲线yfx在点1,f1处的切线方程为2xy10

C．fxfxm在R上恒成立，则m2

fxfx7

D．4e

ex

πx

4．（2025·广西·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足fx2f2xsin1，则f0．

4

考向05抽象函数图像：构造正弦与双曲正弦模型

.正弦与双曲正弦型：

满足形如fxyfxyf2xf2y型函数，可以用正弦函数，或者双曲正弦函数来替换：

模型一：正弦函数fxksin（x）

1.fxsinx----fxyfxysinxysinxy（sinxcosyconxsiny（)sinxocsyconxsiny)

=sin2xcos2ycon2xsin2y=sin2x(1sin2y)(1sin2x)sni2y=sin2xsin2y=f2xf2y

exex

模型二：，正弦双曲函数fx(这个函数可能性较少）

2

1．（24-25·广西南宁·一模）已知函数fx的定义域为R,fxyfxyf2xf2y，且当x0时，

fx0，则（）

A．f01B．fx是偶函数C．fx是增函数D．fx是周期函数

2．（24-25高三·甘肃陇南）已知函数fx的定义域为R，且满足

f2xf2yfxyfxy,f11,f31，则下列结论错误的是（）

A．f20B．f42

C．fx是奇函数D．fx4fx

2xy2xy

3．（24-25高三·浙江舟山·阶段练习）已知函数fx的定义域为R，且fxfyff，

22

11

f2x的图像关于直线x对称，f11，fx在1,0上单调递增，则下列说法中错误的是（）

22

3

A．f2f40B．fx的一条对称轴是直线x

2

20232024

C．ff4D．fk1

2k1

4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数fx的定义域为R,fxyfxyf2xf2y，且当x0

时，fx0，则下列正确的是（）

A．fx是偶函数

B．fx是周期函数

C．当1x0时，f2xfx2

D．当0x1时，fx21f2x

考向06抽象函数图像：构造余弦与双曲余弦模型

.余弦与双曲余弦模型

xyxy

f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，或者f(x)f(y)2f()f()

22

(1)模型一：f(x)coskx

特征：函数值有上下确界

exe-x

（2）、模型二：双曲余弦函数f（x）=cosh（x）=

2

exe-x2exe-x

特征：f（x）=cosh（x）=1

22

1．（24-25高三·辽宁大连·阶段练习）定义域为R的函数fx，对任意

x,yR,fxyfxy2fxfy，且fx不恒为0，则下列说法错误的是（）

A．f01B．fx为偶函数

2024

C．fxf00D．若f10，则f(i)4048

i1

2．（24-25·高三广西南宁开学考）已知定义在R上的函数fx满足2fxyfxyfxfy，且

f00，则（）

A．f02B．yfx为奇函数C．yfx有零点D．f2xfx

3．（24-25高三·重庆渝中·阶段练习）定义在R上的函数f(x)满足对任意x,yR都有

f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(1)0，f(0)0，则下列命题错误的是（）

A．f(x)是偶函数B．f(x)是周期函数

C．f(2024)1D．f(x)的图象关于点(2,0)对称

1

4．（24-25·广东开学考试）已知定义在R上的函数fx满足：f1，且fxyfxy2fxfy，

2

则下列结论正确的是（）

1

A．f00B．fx的周期为4C．f2x1关于x对称D．fx在0,单调递减

2

考向07抽象函数图像：构造一元三次型

.

一元三次模型

fxyfxfy3axyxy，

则fxax3bx，（其中b可以借助其他条件待定系数）

1．（24-25·青海百校联考）已知定义在R上的函数fx，其导数为fx，且满足

2

fxyfxfyxyxy，f1，f10，给出下列四个结论：①fx为奇函数；

3

②f1099；③f33：④fx在0,1上单调递减.其中所有正确结论的序号为（）

A．①②B．①③C．②③④D．①②④

2．（多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，且

f(xy)f(x)f(y)xy2x2y，当x0时，3f(x)x3，且f(3)12,f(3)10，则下列说法正确的是（）

4

A．f(x)为偶函数B．f(1)

3

2024π

C．f(x)在R上单调递增D．f(sini)3036

i12

3．（多选）（（24-25高三·河南·阶段练习）已知非常数函数fx的定义域为R，且

fxfyfxyxyxy，则（）

A．f00B．f(1)=-2或f11

fx

C．是xxR且x0上的增函数D．fx是R上的增函数

x

4．（多选）（（24-25·贵州·三模）已知定义域为R的函数fx满足fxyfxfyx2yxy2,fx

为fx的导函数，且f12，则（）

A．f00

B．fx为奇函数

C．f27

*

D．设bnfnnN，则b2024202320252

考向08抽象函数图像：赋值与构造型

几个特殊的构造：

1.反比例模型：

fxfyk

fxy，则f（x）。

fxfyx

2.对数反比例型：

xy

满足形如f（x）f（y)f（）函数，可以用对数反比例函数来替换：

1xy

1x

f（x）ln。

1x

此函数极容易证明是奇函数，所以这个函数还有变形函数形式：

xy

f（x）f（y)f（）

1xy

3.一元二次函数型模型：

模型特征：线性抽象+xy型

fxyfxfy2axyc.则fxax2bxc.

此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认。

1．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数f(x)，对任意的x,yR都有f(xy)2xf(y)2yf(x)，且

f(1)2，则下列说法不．正．确．的是（）

f(x)

A．f(0)0B．是奇函数

2x

C．yf(x)是R上的增函数D．f(n)n2nnN*

2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数fx的定义域为0,，且xyfxyxyfxfy,f1e，

1

记af,bf2,cf3，则（）

2

A．abcB．bac

C．acbD．cba

3．（24-25高三·湖南·阶段练习）已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对任意的x，yN*均满足：

20

(xy)f(x)f(y)xyf(xy)，f(1)2，则f(k)（）

k1

A．2202B．2212C．192202D．192212

4．(多选）（24-25高三上·海南·阶段练习）已知函数fx，对任意的x,yR都有fxy2xfy2yfx，

且f12，则下列说法正确的是（）

fx

A．f00B．是奇函数

2x

n*

C．yfx是R上的增函数D．fnn2nN

考向09函数对称：中心与轴对称

1.重要的中心对称函：

对数与无理式复合是奇函数：k>0

（（）2），如：（（）2）

y=logakx+1kxy=logax+1+x

（kx）2+1kx，k>0，是增函数；（kx）2+1kx，k>0，是减函数；

（1）、时，（（）2）是增函数（复合函数）

a>1logakx+1kx

（2）、0<时，（（）2）是减函数（复合函数）

a<1logakx+1kx

变形：

（（）2），T>是上下平移，且对称中心在轴上

数y=logakx+Tkx0y

特别的：对称中心横坐标如果相同，可以叠加纵坐标为合成中心

2.重要的轴对称函数：

对数-指数复合反比例型：

对数-指数复合反比例型原理：

1

母函数：log（bx）

abx

1b2x1

转化：log（bx）log（）log（b2x1）-log（bx）

abxabxaa

其它，可以通过增减系数等等来转化

127

x2x,x2

12x1055

．（高三全国专题练习）已知函数，gx，则函数

12025··fxx

1223

12xx,x2

1055

hxfx2gx的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积是（）

A．4B．5C．6D．8

．（河北模拟预测）若xx2（其中）是偶函数，则（）

22025··fxeelog24x1axa0a

35

A．2B．1C．D．

22

3x1

3．（2025·江苏苏州·三模）已知函数fxexex，定义域为R的函数gx满足gxgx6，

x

4

x,yx,y

若函数yfx与ygx的图象有四个交点，分别为11，22，x3,y3，x4,y4，则xiyi

i1

（）

A．0B．4C．8D．12

4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知f(x)的定义域为R，将f(x)的图象绕原点旋转180后所得图象与原图

2025

象关于x轴对称，且f(1x)f(3x)0，f(0)1，g(x)f(x)f(x2)，则g(2i)（）

i1

A．2024B．2024C．2025D．2025

x2

5．（25-26高三·山东·阶段练习）直线axby10a0,b0经过函数fxlog3x1图

4xx2

21

象的对称中心，则的最小值为.

ab

考向10函数对称：重心偏移型

重心偏移，主要值的是具有中心对称且有单调性形式的函数，一般如下图两种形式：

2

1．（23-24高三·安徽合肥·阶段练习）已知函数fxlnx21x，则不等式fxf2x12

ex1

的解集是（）

11

A．,B．1,C．,D．,1

33

3x

2．（2024·高三河北邯郸阶段练习）已知函数f(x)，设xi（i1,2,3）为实数，且x1x2x30．给

13x

出下列结论：

3

①若xxx0，则f(x)f(x)f(x)；

1231232

3

②若xxx0，则f(x)f(x)f(x)．

1231232

其中正确的是（）

A．①与②均正确B．①正确，②不正确

C．①不正确，②正确D．①与②均不正确

2

22

3．（23-24高三·河北·阶段练习）已知函数f(x)log3(xx1)x，若f2a1fa22，则实

31

数a的取值范围是（）

A．3,1B．2,1C．0,1D．0,1

13

4．（24-25高三浙江·阶段练习）已知函数f(x)2x3，若对任意x[2,2]，都有

4x12

f(x1)f(ax2)2，则实数a的取值范围是（）

44

A．{a|a}B．{a∣a5}C．{a|0a}D．a∣a5

55

5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R上的函数fxex1e1x(x1)3x，满足不等式

f2x4f23x2，则x的取值范围是．

考向11函数对称：周期与求和

周期性性质：

①若f(x＋a)＝f(x－b)⇔f(x)周期为T＝a＋b.

②常见的周期函数有：

11

f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝

f（x）f（x）

2a.

周期性技巧：可以类比正余弦函数

正余弦型函数对称性质，可类比正弦（或者余弦）简洁记忆：

（1）俩中心（a，0），（b，0），T/2=|a-b|

(2)俩垂直轴x=a，x=b，则T/2=|a-b|

（3）一个中心（a，0），一条轴x=b，则T/4=|a-b|

1．（25-25四川成都九月月考）设fx为定义在整数集上的函数，f11，f20，f10，对任

2025

意的整数x,y均有fxyfxf1yf1xfy，则f(i2)=（）

i1

A．0B．1013C．2025D．4050

2．（25-26安徽合肥阶段练习）定义域为R的函数f(x)，其图象关于直线x1对称，已知f(x2)1为奇

2025

函数，且f(1)0，则f(k)（）

k1

A．2023B．2024C．2025D．2026

3．(多选题）（）25-26高三上·四川绵阳·)已知定义在R上的偶函数fx，满足fx2fxf1，当x0,1

时，fxlnx，则（）

5

A．f10B．fln2

2

1520

C．ffD．若f01，则fi10

23i1

4．（多选题）(25-26高三上·四川绵阳涪城区绵阳南山中学实验学校·)定义在R上的函数fx满足

f1xf1x，且fx2为奇函数，已知当0x1时，fxex1，则下列结论正确的是（）

A．fx4fxB．fx在区间9,11上单调递减

172025

C．ffD．fie1

34i1

π

5．（多选）（25-26山东实验模拟）设fx是定义域为R的奇函数，且yf2x2π的图象关于直线x

2

对称，若0xπ时，fxexeπxcosx，则下列说法正确的是（）

ππ

A．fx为偶函数B．fx在π,上单调递减

22

2025

C．fkπ1eπD．fx在区间0,2025π上有3543个零点

k1

考向12函数对称：双函数方程传递

“双函数”

双函数常规思维：是依赖单调性、中心对称性、周期性来推导函数。

双函数实战思维：

1.双函数各自自身对称性

2.形如gxafxbc。借助数形结合，f（x）的性质，可以传递给g（x）。

fxmfxnhgxafxbc

3.形如，与，可以借助函数方程消去一个，剩余另一个函数，

再借助函数性质得到图像特征。

1．(多选题）（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数fx,gx的定义域均为R,fx1的图象关于

x1对称，gx11是奇函数，且gxfx24,f43，则下列说法正确的有（）

A．fxfxB．g10

2023

C．g21D．g(i)2021

i1

2．(多选题）（24-25高三福建阶段练习）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且

g(x)f(x2)1,f(x)g(x1)1，若yf(x)的图象关于直线x1对称，则以下说法正确的是（）

3

A．g(x)为奇函数B．g()0

2

C．xR，f(x)f(x4)D．若f(x)的值域为[m,M]，则f(x)g(x)mM1

3．(多选题）（2025·湖北黄冈·一模）定义在R上的函数fx和gx，fx2为奇函数，gx为偶函数，

且fx1g3x4，则（）

A．g22B．f60

C．fx的图象关于x4对称D．8为gx的一个周期

4．(多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数fx、gx定义域为R，其中fx2为偶函数，

gxg3x0，且fxgx13，g12，则（）

A．f20255B．gx为奇函数

2025

C．fxf1x6D．gk0

k1

考向13函数单调性综合：同构

函数单调性转化关系：

1

①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性相反；

fx

②同区间，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；

单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：

fx1－fx2

①>0⇔f(x)是[a,b]上的增函数；

x1－x2

同构型：

通过同除或者同乘等等凑配技巧，构造结构相同的新函数，然后新函数满足单调性定义。

2

1．（25-26高三·云南·阶段练习）已知函数fxx2x，若对于任意的x1、x22,，且x1x2，都有

22

x2fx1x1fx2ax1x2x2x1成立，则a的取值范围是（）

111

A．0,B．,0C．,D．,

444

2

2．（24-25高三·贵州阶段练习）已知函数fx是定义在,00,上的奇函数，且f3.若对x1，

3

x1x2fx1fx2xfx2

x20,，且x1x2，都有2，则关于x的不等式0的解集为（）

x2x1x

A．,30,3B．3,03,C．3,3D．0,3

3．（24-25高三吉林阶段练习）已知函数fx的定义域为e,，f3ln3，对于任意的x1,x2e,，

fx1fx2lnx2lnx1aa

当x1x2时，有.若fe4ln3ae，则实数a的取值范围是（）

x1x2x1x2

A．,ln3B．1,ln3C．ln3,eD．ln3,3

4．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）已知定义在0,上的函数fx满足f48，对任意的

22

x1,x20,，且x1x2，x1x2[f(x1)f(x2)]x1f(x2)x2f(x1)恒成立，则不等式fx32x6的解集

为.

考向14函数单调性综合：优函数放缩

函数放缩：

有f(xy)（或>）f(x)f(y)或者f(x)（或>f(x)f(t)，则称f(x)为优函数。

类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。

1

1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足：f1，且

2

x3

xR,fx1fx,fx4fxx，则f101（）

42

A．1364B．1363C．1264D．1263

2．（2025·湖南长沙·三模）设函数yfx的定义域为R，若f01013，且对任意xR，满足

fx1fx3x，fx2fx43x，则f2025的值为（）

320242024320242025

A．B．

22

320252024320252025

C．D．

22

3．（2025·江西·二模）已知函数fx是定义在R上的函数，f11，且对任意的xR都有fx5fx5，

fx1fx1，若gxfx1x，则g2025（）

A．2B．1C．2025D．2026

4．（2025·河北·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足：fx2fx2x,fx4fx26x，

且f1f21，则（）

A．f20181B．f20181

C．f21200D．f21200

5．（2025·河南·二模）已知定义在R上的函数fx的图象是一条连续不断的曲线，且fx满足当x0时，

fx2f