2020年高考数学一轮复习专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式含解析

PAGEPAGE1专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识融会贯通1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).【知识拓展】1．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).重点难点突破【题型一】和差公式的直接应用【典型例题】求值：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°等于（）A． B． C． D．【解答】解：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°＝sin（24°﹣54°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°，故选：C．

【再练一题】若sinα，α∈（），则cos（）＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵sinα，α∈（），∴cosα，∴cos（）（cosα﹣sinα）．故选：A．

思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【题型二】和差公式的灵活应用命题点1角的变换【典型例题】已知tan（α）＝﹣2，则tan（）＝（）A． B． C．﹣3 D．3【解答】解：∵tan（α）＝﹣2，则tan（）＝tan[（α）]，故选：A．

【再练一题】若sin（）＝2cos，则（）A． B． C．2 D．4【解答】解：∵sin（）＝2cos，∴sinαcoscosαsin2cos，即sinαcos3cosαsin，∴tanα＝3tan，则，故选：B．

命题点2三角函数式的变换【典型例题】若，且，则（）A． B． C． D．【解答】解：∵α，∴π＜2α，又，∴cos2α．∴，解得cosα，则sinα．∴．故选：D．

【再练一题】已知sinα+3cosα，则tan（α）＝（）A．﹣2 B．2 C． D．【解答】解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α）．故选：B．

思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等．基础知识训练1．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】已知α∈（），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin（76°﹣46°）＝sin30°，且α∈（），∴α∈（0，），联立，解得sinα．故选：A．2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.若角满足，则（）A．-2 B． C． D．【答案】B【解析】因为角的终边过点，所以，又，所以，即，解得.故选B3．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选：B4．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】已知，则=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴．∴．故选D．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟考试】已知，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，且解得，故选A.6．若，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】tan（α-β）＝3，tanβ＝2，可得3，∴，解得tanα．故选：D．7．【福建省三明市2019届高三质量检查测试】下列数值最接近的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：选项A：；选项B：；选项C：；选项D：，经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式，要使得选项的数值接近，故只需要接近于，根据三角函数图像可以得出最接近，故选D.8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】已知，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题得.当在第一象限时，.当在第三象限时，.故选：C9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】已知为锐角，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为锐角因为所以大于90°由同角三角函数关系，可得所以=所以选D10．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试】若，且是钝角，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是钝角，且，所以，故，故选:D11．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】________．【答案】2【解析】因为，又，所以，所以.故答案为212．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】函数的最大值为_______【答案】1【解析】,所以，因此的最大值为1.13．【吉林省2019届高三第一次联合模拟考试】已知，则______．【答案】【解析】由得：整理得：本题正确结果：14．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知,则＝_____．【答案】【解析】，则，所以，则：，故答案为：．15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．【答案】【解析】由正弦定理可得：得：，即又令，得：为锐角三角形得：，即当且仅当，即时取等号本题正确结果：16．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知函数，若对任意实数，恒有，则______．【答案】【解析】对任意实数，恒有，则为最小值，为最大值.因为，而，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.所以.所以.所以.17．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】在中，已知，，.（1）求的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，因为，所以，所以，又因为，所以，由正弦定理，，所以.（2）因为，所以，所以.18．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】在中，角的对边分别为，已知，，．（1）求边；（2）求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得：，，，∴，∵，，∴，∴由正弦定理，得．（2）由（1）得，，∴，，∴.19．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试】在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值.【答案】（1）4；（2）【解析】解：，，，，易得，，，又，可得，，可得的面积；（2），，由余弦定理可得，，，，，20．【天津市河北区2019届高三一模】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，.（1）求的值；（2）求的值。【答案】（1）（2）【解析】（1）∵a﹣cb，sinBsinC．∴由正弦定理得，sinA﹣sinCsinBsinC，即有sinA＝2sinC，a＝2c，bc，由余弦定理知，cosA．（2）∵由（1）知，cosA．A为三角形内角，∴sinA，∴sin2A=cos2A=-∴＝sin2Acoscos2Asin．能力提升训练1．【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，且，∴，即，∴，∴，即∴故选：B2．【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，，，，，，故选B.3．【广东省深圳市宝安区2019届高三9月调研】已知函数的零点是，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，所以,因此，选C.4．【辽宁省部分重点高中2019届高三9月联考】已知的图象与的图象关于点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为,所以,因为的图象与的图象关于点对称，所以=0，即，，因为，所以当时，最小值为，选A.5．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检】已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，设x＞0，则-x＜0，

则有f（x）=sin（x+α），f（-x）=cos（-x-β），

又由函数f（x）是偶函数，则有sin（x+α）=cos（-x-β），

变形可得：sin（x+α）=cos（x+β），

即sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，

必有：sinα=cosβ，cosα=-sinβ，

分析可得：α=β+，

分析选项只有B满足α=β+，

故选：B．6．【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】若都是锐角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，故选A.7．【河南省六市2019届高三第二次联考】已知，是第三象限角，则__________．【答案】【解析】因为，所以解得：，即：又，所以又是第三象限角，所以8．【甘肃省20