2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区合肥市高一下期末数学试卷

2019级高一下学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内．1.化简等于（）A. B. C. D.2.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是A. B.C. D.3.设，若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.4.已知向量，，若与共线，则（）A. B.3 C. D.5.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于米的概率是（）A. B. C. D.6.为了测试小班教学的实践效果，刘老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（）A.， B.，C.， D.，7.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形 D.钝角三角形8.已知单位向量、满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.9.等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的公比等于（）A.1 B. C. D.210.若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，BD与交于点，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.在方向上的投影为12.若表示不超过的最大整数（例如：），数列满足：，，则（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上．13.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：年份20152016201720182019年份代码12345年产量（万吨）根据上表可近似得回归方程，预测该地区2020年蔬菜的产量为________（万吨）．14.在中，内角、、所对应边分别是，，．若，，则的面积是________．15.设是等比数列的前项和，且，，则________．16.已知实数，满足，，且，则的最小值为________．三、解答题：本大题满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的内角、、的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求．18.已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）解关于的不等式．19.2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在的居民有900人．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数（满意程度的平均分），若，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在、）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人都是对防疫工作的评分在内的概率．20.已知等差数列前项和为，并且，，数列满足：．（1）求数列通项公式及前项和公式；（2）求数列前项和．21.如图，是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在上的一点的正北方向的处建一仓库，设，并在公路同侧建造边长为的正方形无顶中转站（其中边在上），现从仓库向和中转站分别修两条道路，，已知，且．（1）求关于的函数；（2）如果中转站四周围墙造价1万元，两条道路造价为3万元，问：该公司建中转站围墙和两条道路总造价最低为多少？22.已知数列满足，.（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足.①求证：；②求证:.

2019级高一下学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内．1.化简等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量三角形法则进行加法和减法运算即可．【详解】解：根据题意可知，.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的运算律，属于基础题.2.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的特点，可知（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，再由相关性的强弱可比较出大小关系．【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故，；，；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故，，因此，．故选C．【点睛】相关系数：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．3.设，若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.4.已知向量，，若与共线，则（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】写出与的坐标，利用两个向量平行的条件计算即可得到答案.【详解】，，若与共线，则，即．故选：C【点睛】本题考查平面向量共线的条件的应用，考查计算能力，属于基础题.5.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于米的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型的长度类型概率计算公式求解．【详解】如图所示；线段AB=1，若剪成两段，其中一段的长度小于米,则AC=0.2或DB=0.2，所以其中一段的长度小于米的概率是,故选：B【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，属于基础题，6.为了测试小班教学的实践效果，刘老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】观察茎叶图，根据平均数和方差的定义即可得到答案.【详解】根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，所以.相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，所以.故选：B【点睛】本题主要考查平均数和方差，同时考查了茎叶图的应用，属于简单题.7.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形 D.钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由已知利用等差数列的性质可得，由正弦定理可得，根据余弦定理可求，即可判断三角形的形状．【详解】解：由题意可知，，因为，所以，则，所以，所以，故为等边三角形．故选：．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.已知单位向量、满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设单位向量，的夹角为，根据，得，代入数据求出的值即可得结果．【详解】设单位向量，的夹角为，，，即，解得，因为，与的夹角为．故选：．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算法则、向量垂直的性质以及向量夹角的计算问题，是基础题．9.等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的公比等于（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】依题意有，从而得出，由此即可求出公比.【详解】因为，，成等差数列，所以，，，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查等差中项，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.10.若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式化为，分、和三种情况讨论，结合题意可求出实数的取值范围．【详解】原不等式可化为，若，则不等式的解是，不等式的解集中不可能有个正整数；若，则不等式的解集为空集，不合乎题意；若，则不等式的解为，所以该不等式的解集中的个正整数分别是、、、，所以，.因此，实数的取值范围是.故选：A.11.已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，BD与交于点，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.在方向上的投影为【答案】D【解析】【分析】利用，判断出A错误；由结合平面向量的基本定理，判断出选项B错误；以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出的值，判断出选项C错误；利用投影的定义计算出D正确．【详解】由题为中点，则，，所以选项A错误；由平面向量线性运算得，所以选项B错误；以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，，，，，，设，，，，，所以，，解：，，所以选项C错误；，，在方向上的投影为，故选：D．【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．12.若表示不超过的最大整数（例如：），数列满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由递推公式利用累加法即可求得数列的通项公式，由可得，再利用等差数列求和公式求和即可.【详解】，，，，，，累加可得，又，，，，.故选：A【点睛】本题考查数列创新问题、等差数列的前n项和公式，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上．13.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：年份20152016201720182019年份代码12345年产量（万吨）根据上表可近似得回归方程，预测该地区2020年蔬菜的产量为________（万吨）．【答案】6【解析】【分析】求出样本中心点的坐标，代入，可得，再将代入所求方程即可.【详解】，，因为在回归直线上，代入回归直线方程得，，，依题意2020年份代码为6，当时．故答案为：6【点睛】本题主要考查样本中心点的性质，考查了回归直线方程的应用，属于基础题.14.在中，内角、、所对应的边分别是，，．若，，则的面积是________．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理，结合，求出，利用，即可求出三角形的面积．【详解】由可得：，在中，由余弦定理得：，即，所以，即，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.15.设是等比数列的前项和，且，，则________．【答案】或2【解析】分析】由题意得，按和分两种情况解得即可.【详解】已知是等比数列前项和，且，，当时，此时，验证，满足题意，则；当时，由，，得，解得.综上所述：或．【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式及其应用，也考查了分类讨论的思想，属于基础题.16.已知实数，满足，，且，则的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】设，，则，可得，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】设，，则，且，当且仅当，即时取等号．此时，有解．故答案为：5.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.三、解答题：本大题满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的内角、、的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得；（2）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得，然后结合正弦定理即可求得.【详解】（1）由题意得，所以，因为，所以；（2）因为，由正弦定理可得，故，，，因为，所以，，由正弦定理可得，．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及和差角公式，考查运算求解能力，属于中档题.18.已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）解关于的不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1)将代入，利用分解因式解出不等式；(2)分解因式，并讨论，和三种情况，分别解出不等式即可．【详解】（1）时，不等式化为，解得，不等式的解集为（2）关于的不等式，即；当时，不等式化为，解得；当时，解不等式，得或；当时，解不等式，得或；综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题．19.2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在的居民有900人．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数（满意程度的平均分），若，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在、）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人都是对防疫工作的评分在内的概率．【答案】（1），1500人；（2）该区防疫工作不需要进行大调整；（3）.【解析】【分析】（1）频率分布直方图中由概率和为1可求出a，设总共调查了n人，则，从而求出调查总人数．（2）由频率分布直方图求出各段的频率，从而求出η＝0.807＞0.8，即可得到结论.（3）求出不满意的人数在两段分别有30，60，每段抽取人数为2和4，在第一段的人记作a，b，在第二段的人记作A，B，C，D，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）由频率分布直方图知，即，解得，设总共调查了人，则，解得，即调查的总人数为1500人；（2）由频率分布直方图知各段的频率分别为：、、、、、，所以，所以该区防疫工作不需要进行大调整；（3），，即不满意的人数在两段分别有30、60，，所以评分在所抽取的人数为2，分别记为、，评分在所抽取的人数为4，分别记为、、、，所以抽取两人的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、，共15个，而两人都来自的基本事件有：、、、、、共6个，则所求事件的概率为．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型概率公式的应用，考查分析推理和运算求解能力，属于中档题.20.已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意代入即可求得，再求出公差，根据等差数列的通项公式与求和公式求解项公式及前项和公式即可；（2）易得，再根据错位相减法求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，则当时，，即．故，故；此时．故，．（2）由可得，，所以，故①②：，故．故．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，同时也考查了等差数列求和公式与错位相减求和的方法，属于中档题.21.如图，是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在上的一点的正北方向的处建一仓库，设，并在公路同侧建造边长为的正方形无顶中转站（其中边在上），现从仓库向和中转站分别修两条道路，，已知，且．（1）求关于的函数；（2）如果中