2019-2020学年安徽省黄山市高一下期末数学试卷

黄山市2019-2020学年度第二学期期末质量检测高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题意的.）1.某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用较恰当的方法是（）A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样 D.分层抽样2.数列的一个通项公式是（）A. B. C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.已知，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.5.将二进位制数化为三进位制数为（）A. B. C. D.6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？()A. B. C. D.7.若整数满足约束条件，目标函数取得最大值为（）A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A.1 B. C. D.9.在等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A.1 B.2 C.4 D.810.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了名同学进行视力调查.如图为这名同学视力的频率分布直方图，其中前组的频率成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，在4.6到5.0之间的数据个数为，则的值分别为（）A. B. C. D.11.在上定义运算，若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12.在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题满分分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数，用秦九韶算法计算__________．14.已知第二象限角，且，，则_________．15.记等差数列的前项和为，满足，，则的最小值为_________.16.已知二次函数，满足，对任意的都有恒成立，则的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和为，当时，，数列中，，直线经过点.（1）求数列、通项公式和；（2）设，求数列的前项和，并求的最大整数.18.已知向量，，定义函数.（1）当时，求函数的值域；（2）在中，角为锐角，且，，，求边的长．19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数5254565860频数（天）2030202010回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：，，，，，，，，）20.几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山的美，清幽秀丽的自然风光，文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名嗓江南的旅游热点.如图，游客从黄山风景区的景点处下山至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从乘观光车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.假设观光车匀速直线运行的速度为米/分钟，山路长为米，经测量，，.（1）求观光车路线的长；（2）乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短.21.已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.22.在数列中，，，，其中．（1）求证：数列等差数列；（2）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．（3）已知当且时，，其中，，，，求满足等式的所有的值．

黄山市2019-2020学年度第二学期期末质量检测高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题意的.）1.某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用较恰当的方法是（）A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样 D.分层抽样【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义可知，该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样．【详解】因为该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样．故选D．【点睛】本题主要考查抽样方法的选择，分层抽样主要适用于差异比较明显的样本．2.数列的一个通项公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.【详解】解：，，，所以其通项公式是：故选：B【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由的值根据同角三角函数关系式可以求出的值，即可求出，利用差的正切公式即可求出.【详解】，，，.故选：D.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，考查了差的正切公式的应用，属于基础题.4.已知，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行判断.【详解】对于A，因为在单调递减，且，，故A正确；对于B，因为在单调递增，且，，故B错误；对于C，因为在单调递减，且，，故C错误；对于D，因为在单调递减，且，，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.5.将二进位制数化为三进位制数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将二进制化为十进制，再将十进制化为三进制，即可得出结果.【详解】，余数为，余数为，商为，余数为，商为，余数为，商为，余数为，因此，将.故选：B.【点睛】本题主要考查不同进位制之间的转化，属于基础题型.6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，根据题意求出首项和公比，即可求出结果.【详解】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为，首项为，前项和为，由题意可得，解得，所以第二天织的布为.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.7.若整数满足约束条件，目标函数取得的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为，根据目标函数的几何意义，结合图像，即可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下，化目标函数为，则表示直线在轴的截距，由图像可得，当直线过点时，截距最小，最大；由得，即，又因为为整数，由图像可知：平面区域内，离最近的整点为：，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.8.执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把，代入到，得，此时，再把，进行下一个循环，直到时，可得结果.【详解】解：第一个循环，，，执行否；第二个循环，，，执行否；第三个循环，，，结束循环，输出的值故答案选：D.【点睛】本题考查程序框图里的循环结构，这种题一般是一个循环一个循环的验证，直到符合条件结束循环，审清题意，属基础题.9.在等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，进而得到的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将的值代入即可求出值．【详解】解：根据等差数列的性质得：，变为：，解得，（舍去），所以，则．所以故选：C．【点睛】本题考查灵活运用等差数列性质及等比数列的性质化简求值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学方式对学生视力影响情况，在学校抽取了名同学进行视力调查.如图为这名同学视力的频率分布直方图，其中前组的频率成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，在4.6到5.0之间的数据个数为，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图，分别求得，，，，进而求得的频率，在结合等差数列，求得，求得，，，，，进而求得的值，即可求解.【详解】这100名同学视力的频率分布直方图，其中前4组的频率成等比数列，因为的频率为；频率为；的频率为；的频率为；的频率为，所以后6中的频数成等差数列，所以，解得，所以的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，所以的频率为，所以，在到之间的数据个数为.故选：A.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的频率、频数的求法，以及等差数列、等比数列的性质等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11.在上定义运算，若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知定义可把问题转化为恒成立，然后结合二次不等式的恒成立问题对进行分类讨论可求．【详解】解：由的解集为可得恒成立，即恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，有，解可得，综上可得，．故选：．【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．12.在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，不妨用坐标法处理；建立平面直角坐标系，根据题意，求得点坐标，根据向量线性运算的几何意义，求得动点构成的图形形状以及范围，结合余弦定理和三角形面积公式，即可求得面积.【详解】根据题意，不妨过点作的垂线，垂足为，以为坐标原点，建立平面直角坐标系如下所示：根据题意，可得坐标如下：，设点的坐标为，由可得：，故可得.则点坐标为.设点的坐标为，由，由向量的线性运算性质可知，点的轨迹是：以为一组邻边的平行四边形内的任意一点，含边界.故可得，故可得,则.则以为一组邻边的平行四边形的面积.故选：.【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用；需要注意，本题中，也可以通过几何方法确定点的轨迹图形，解析法只是方法之一；属综合困难题.第Ⅱ卷（非选择题满分分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数，用秦九韶算法计算__________．【答案】4485【解析】，所以14.已知是第二象限角，且，，则_________．【答案】【解析】【分析】由是第二象限角，且，可得，由及两角和的正切公式可得的值.【详解】解：由是第二象限角，且，可得，，由，可得，代入，可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性，基础题.15.记等差数列的前项和为，满足，，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】可先根据得出，可转化为，然后乘以，利用基本不等式即可求解.【详解】，，，，，，，即，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列的相关性质，以及基本不等式的应用，属于综合题.16.已知二次函数，满足，对任意的都有恒成立，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】用a、b、c把各函数值表示出来，再由已知条件得到a、b、c之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求范围详解】∵∴又由二次函数对任意的都有恒成立知：，而∴，故∴，令即∴，若有即可，而在上无最大值，无最小值但∴故答案为：【点睛】本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据不等式恒成立，求目标式范围三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和为，当时，，数列中，，直线经过点.（1）求数列、的通项公式和；（2）设，求数列的前项和，并求的最大整数.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）令可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，将点的坐标代入直线的方程，可得出数列为等差数列，确定该数列的首项和公式，进而可求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列的前项和，再利用数列的单调性可求出使得不等式成立的最大正整数的值.【详解】（1）对任意的时，.当时，可得，可得；当时，由可得出，两式作差得，整理得，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则.因为直线经过点，则，可得.又，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则；（2），，①，②②①得，，则数列为单调递增数列，，，且，因此，使得的最大整数的值为.【点睛】本题考查利用求、等差数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18.已知向量，，定义函数.（1）当时，求函数的值域；（2）在中，角为锐角，且，，，求边的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算求出，并利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，则函数的值域可求；（2）由可求得，从而也得出，最后由正弦定理可得的长．【详解】解：（1），，当时，，当时，，的值域为.（2）由得，，，，，则，由，得，在中，由正弦定理得，.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式、两角和的正弦公式，考查正弦定理．这类题一般不难，属于中等题．19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数5254565860频数（天）2030202010回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：，，，，，，，，）【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式；①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，由此可求出这100天中甲方案的日薪平均数及方差：同理可求出这100天中乙两种方案的日薪平均数及方差，②不同的角度可以有不同的答案试题解析：（（1）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送货单数的函数关系式为：，乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：，（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则，，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则，②、答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案.20.几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山的美，清幽秀丽的自然风光，文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名嗓江南的旅游热点.如图，游客从黄山风景区的景点处下山至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从乘观光车到，在处停留分钟后，再从匀速步行到.假设观光车匀速直线运行的速度为米/分钟，山路长为米，经测量，，.（1）求观光车路线的长；（2）乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短.【答案】（1）2000m；（2）min.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合正弦和角公式逇，再用正弦定理解三角形即可；（2）根据题意，利用余弦定理求得甲乙游客距离关于时间的函数，求得函数最小值即可.【详解】（1）在中，因为，所以，从而=由正弦定理，得，所以观光车路线的长为（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时甲行走了，乙距离处，由余弦定理得因为，即，故当时，甲乙游客的距离最短.【点睛】本题考查利用正余弦定理解实际问题，属综合基础题.21.已知函数，且的解集为.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式，；（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）【解析】【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可.（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.（3）因为对于任意的都有，转化