2019-2020学年安徽省六安市金安区六安一中高三下3月月考数学试卷(文)

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若向量，，若，则A. B.12 C. D.32.已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A. B.C. D.3.已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.4.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.5.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A.-3 B.-2C.2 D.36.函数是().A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数 D.周期为奇函数7.当时，函数的值域是（）A. B. C. D.8.若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=A.2 B.C.1 D.9.已知中，，，，则()A. B.8 C. D.410.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sinB＋2sinAcosC＝0，则当cosB取最小值时，＝（）A. B.C.2 D.11.平面直角坐标系中，已知两点，，若点满足(为原点)，其中，且，则点轨迹是（）A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线12.已知函数，，.若，，则（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.已知，，则______.14.在古代三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则_____________．15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.16.在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=________17.已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图像关于点对称；④函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；其中正确结论是_________________.18.在平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥外接球的表面积为________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．19.在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边与单位圆分别相交于点，已知点.（1）求的值；（2）若，求的值.20.在四边形中，.（1）求及的长；（2）求长.21.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值.22.已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，（1）求的单调递增区间；（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.23.已知向量，，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对的角为B，试求B的范围及此时函数的值域．24.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且.（1）求角B的大小；（2）若，，求面积.

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（一）线下考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若向量，，若，则A. B.12 C. D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若，则有，解可得的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，向量，，若，则有，解得；故选：．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题．2.已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】，．，又，，又，，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．3.已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．4.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A.-3 B.-2C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．6.函数是().A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数 D.周期为奇函数【答案】B【解析】因，故是奇函数，且最小正周期是，即，应选答案B．点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．7.当时，函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题通过三角恒等变换得，根据，求出，即可得出的值域.【详解】解：由题意得，.当时，当时，取最小值为，所以值域为【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的定义域和值域.熟练掌握三角恒等变换是解题的关键.8.若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=A.2 B.C.1 D.【答案】A【解析】【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，的周期，得．故选A．【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．9.已知中，，，，则()A. B.8 C. D.4【答案】B【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得，再根据正弦定理求结果.【详解】因为，所以.在中，由正弦定理，可得，故，解得.故选：B【点睛】本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sinB＋2sinAcosC＝0，则当cosB取最小值时，＝（）A. B.C.2 D.【答案】B【解析】【分析】把sinB＋2sinAcosC＝0利用正余弦定理统一成边，再利用余弦定理表示出cosB，结合基本不等式可得结果【详解】由sinB＋2sinAcosC＝0，根据正弦定理和余弦定理得，∴，∴，∴，当且仅当，即时取等号，cosB取最小值．故选：B．【点睛】此题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，属于基础题11.平面直角坐标系中，已知两点，，若点满足(为原点)，其中，且，则点的轨迹是（）A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线【答案】A【解析】【分析】设，由向量坐标运算可得到，由此利用表示出，代入整理得到轨迹方程，从而得到结果.【详解】设，则，解得：，整理得：点的轨迹是直线故选：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，关键是能够利用动点坐标表示出，代入已知等式整理可得轨迹方程.12.已知函数，，.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可知函数的一条对称轴方程为，可得出的表达式，再结合条件可求出的值.【详解】依题意.因为，所以为函数图象一条对称轴，即，，所以，①.因为，所以，②，结合①②可得，又，故，得或，解得或（舍去）.故选：D.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.已知，，则______.【答案】【解析】【分析】根据以及两角差正切公式求解.【详解】故答案：【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则_____________．【答案】【解析】【分析】设正方形边长为，可得出每个直角三角形的面积为，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为，可求出，由得出并得出的值，再利用降幂公式可求出的值.【详解】设正方形边长为，则直角三角形的两条直角边分别为和，则每个直角三角形的面积为，由题意知，阴影部分正方形的面积为，所以，四个直角三角形的面积和为，即，由于是较小的锐角，则，，所以，，因此，，故答案为.【点睛】本题考查余弦值的计算，考查几何概型概率的应用，解题的关键就是求出和的值，并通过二倍角升幂公式求出的值，考查计算能力，属于中等题．15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】.【解析】【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得．，得，即，故选D．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16.在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=________【答案】【解析】试题分析：，，且有，故有，而，故有，，，由于，.考点：1.平面向量共线；2.三角形的面积公式；3.余弦定理；4.同角三角函数的商数关系17.已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图像关于点对称；④函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；其中正确结论是_________________.【答案】①③【解析】【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．【详解】由题意．，①正确；当时，，在此区间上不单调，②错误；，是对称中心，③正确；函数的图像向左平移个单位得到图象解析式是，④错，所以正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数性质求解．18.在平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为________________.【答案】【解析】【分析】由得，结合直二面角，可证平面，从而有，因此中点就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由得，又平面平面，∴平面，∴，同理，取中点，则到四顶点的距离相等，即为三棱锥的外接球的球心．，∵，∴，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．19.在平面直角坐标系中，以为始边作角与（），它们的终边与单位圆分别相交于点，已知点.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据三角函数的定义求得正余弦值,再利用二倍角以及同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用向量的坐标运算求得再利用与正弦函数的差角公式求解即可.【详解】（1）由三角函数的定义得,∴原式.故所求值为.（2）∵,,故,∴,∵,∴,∴,∴【点睛】本题主要考查了三角函数定义求值与和差角公式等.属于中等题型.20.在四边形中，.（1）求及的长；（2）求的长.【答案】（1），；（2）3.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，求得的长，再利用余弦定理，即可求得的值.（2）根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式及诱导公式和两角和与差的正弦公式，最后结合正弦定理，即可求解.【详解】（1）在中，由余弦定理可得：，解得，所以.（2）由（1）知，所以，所以，又由，由正弦定理，可得，则.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及和差公式，诱导公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力.21.已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用特殊角的三角函数值计算即可.（Ⅱ）利用降幂公式和辅助角公式可得，求出的范围后利用正弦函数的性质可求最大值.【详解】解：（Ⅰ）.（Ⅱ）.因为，所以.当，即时，取得最大值.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．22.已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，（1）求的单调递增区间；（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.【解析】试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可