2019-2020学年安徽省芜湖市镜湖区高二下期中数学试卷

安徽师范大学附属中学2019~2020学年度第二学期线上教学质量评估高二数学（理）一、选择题1.设为虚数单位，若复数，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，属于简单题.2.用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是（）A.、、都不小于 B.、、都小于C.、、至多有一个小于 D.、、至多有两个小于【答案】B【解析】【分析】否定原命题的结论可得解.【详解】反证法证明命题时，要假设结论不成立．故用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时的假设是“、、都小于”．故选：B．【点睛】本题考查了反证法的概念，属基础题．3.函数的导数为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求导得到答案.【详解】，则.故选：C.【点睛】本题考查了求函数的导数，属于简单题.4.如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（）A.是函数的极小值点B.是函数的极大值点C.函数在上是减函数D.函数在上是增函数【答案】D【解析】【分析】根据导函数的符号可确定的单调性，结合极值点的定义可确定正确结果.【详解】由图象可知，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，可知错误，正确；和不是函数的极值点，可知错误.故选：.【点睛】本题考查根据导函数图象与原函数之间的关系，涉及到极值点的定义的应用，属于基础题.5.已知的导函数为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导得到，取得到，代入数据计算得到答案.【详解】，则，取，则，则，故，.故选：B.【点睛】本题考查了求导函数值，计算是解题的关键.6.函数的导函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求导得到，根据函数为奇函数排除B，证明时，恒成立，排除CD，得到答案.【详解】，则，，导函数为奇函数，排除B；当时，；当时，，故时，恒成立，排除CD.故选：A.【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和时，恒成立是解题的关键.7.已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3．【详解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数∴f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．即a≤3x2∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立∴a≤3∴a的最大值是3故选D．【点睛】本题主要考查三次函数的单调性的应用、不等式的解法、恒成立问题的解决方法等基础知识，考查了运算求解能力，化归与转化思想．8.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可利用方程求得，类似地可得到正数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，解得答案.详解】设，则，解得或（舍去）.故选：C.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力.9.已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意恒成立，设，求导得到单调区间得到，计算得到答案.【详解】根据题意：恒成立，当时，易知恒成立.当时，，设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故.故选：D.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，参数分离求最值是解题的关键.10.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.11.对于函数，下列说法正确的个数为（）①的单调递减区间为；②的解集为；③是极小值，是极大值；④有最大值，没有最小值.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求导得到，得到函数单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】，则，故函数在和上单调递减，在上单调递增，画出函数图像，如图所示：根据图像知②③④正确，①错误，应该是的单调递减区间为和.故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调区间，最值，极值，解不等式，画出函数图像是解题的关键.12.对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，，，求导得到，根据导函数单调递减得到函数的单调区间，得到，计算得到答案.【详解】，则，设，，，则，，恒成立，导函数单调递减，故时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故，故，故.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，设消元是解题的关键.二、填空题13.已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意得到，解得答案.【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限，故，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据复数对应点象限求参数，意在考查学生的计算能力.14.曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设切点，利用导数几何意义得曲线在点处的斜率，建立等量关系，解得即可求出，再代入曲线即可得坐标.【详解】由题意，设切点坐标为，由，得，所以，曲线在点处的切线的斜率，又切线与直线平行，所以，，解得，故.所以，点坐标为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线平行的判定，属于基础题.15.曲线，与轴所围成的如图所示的阴影部分面积是______.【答案】【解析】【分析】利用定积分计算出阴影部分的面积.【详解】依题意，阴影部分的面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用定积分计算面积，属于基础题.16.现有一块边长为的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根据题意得到方盒底面是正方形，边长为，高为，建立方盒容积的函数模型为，再用导数法求解最值.【详解】由题意得：方盒底面是正方形，边长为，高为，所以方盒的容积为，，当时，，时，，所以当时，取得最大值，最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查导数的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17..华为公司研发的5G技术是中国在高科技领域的重大创新，目前处于世界领先地位，今年即将投入使用，它必将为人们生活带来别样的精彩，成为每个中国人的骄傲.现假设在一段光纤中有条通信线路，需要输送种数据包，每条线路单位时间内输送不同数据包的大小数值如表所示.若在单位时间内，每条线路只能输送一种数据包，且使完成种数据包输送的数值总和最大，则下列叙述正确的序号是_______.①甲线路只能输送第四种数据包；②乙线路不能输送第二种数据包；③丙线路可以不输送第三种数据包；④丁线路可以输送第三种数据包；⑤戊线路只能输送第四种数据包.【答案】②⑤【解析】分析】由表中数值可知：完成种数据包输送的数值总和最大值为：，但不能同时取得.根据每条线路单位时间内输送不同数据包，要使总和最大，则从甲可以输送第二或第四种数据包入手，得到丙只能输送第三种数据包入丁则不可以输送第三种数据包，则丁输送第五种数据包，再对乙进行分析确定戊比较即可.【详解】由表可知：完成种数据包输送的数值总和最大值为：，但不能同时取得.要使总和最大，甲可以输送第二或第四种数据包，丙只能输送第三种数据包，丁则不可以输送第三种数据包，所以丁输送第五种数据包，乙若输送第四种数据包，戊输送第一种数据包，此时，数值总和为：，乙若不输送第二种数据包，输送第一种数据包，甲输送第二种数据包，则戊输送第四种数据包，此时，数值总和为：所以乙不输送第二种数据包，戊输只能送第四种数据包.故答案为：②⑤【点睛】本题主要考查合情推理，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.三、解答题18.已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，且满足，其实部、虚部均为整数，记为虚数单位.（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）当为实数时，若，求实数和的值.【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意设复数，再利用，解得即可；（Ⅱ）根据题意可得，则，代入整理可得实数和的值.【详解】（Ⅰ）设，则，因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，，所以或，即或.（Ⅱ）当为实数时，由（Ⅰ）知，则由，得，所以，解得.【点睛】本题主要考查复数的代数表示，复数相等的条件，属于基础题.19.设为正实数，且，请用分析法证明不等式：.【答案】见解析【解析】分析】先对所求证的式子进行等价变形，结合基本不等式，即可证明问题.【详解】∵，且，∴欲证，只需证，即证，只需证，即证，又∵，当仅当时等号成立，∴成立.【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，考查基本不等式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分析法的证明思路是执果索因.20.已知函数与时都取得极值.(1)求实数的值；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)本题首先可以根据函数的解析式得出导函数的解析式，然后根据函数在与时都取得极值得出以及，最后通过计算即可得出结果；(2)本题首先可以根据导函数得出函数在区间上的单调性，然后根据函数在区间上的单调性得出函数的最大值，再然后根据不等式恒成立得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】(1)因为，所以，因为函数在与时都取得极值，所以，解得；(2)，函数的单调区间如下表：极大值极小值得在上递增，在上递减，在上递增，所以当时，为极大值，因为，所以为区间上的最大值，要使对恒成立，须且只需.解得或，的取值范围为.【点睛】本题考查函数的极值的相关性质以及不等式恒成立的相关问题的求解，若函数在某一点处取极值，则函数在此点处的导函数值为0，考查通过函数的最值来解决不等式恒成立问题，考查计算能力，是中档题.21.在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ），的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积.【解析】【分析】（1）第个矩形的高为，然后直接求出第个矩形的面积；（2）当时，命题成立，假设时命题成立，证得时命题成立，即可得到结论；（3）求得，求出极限，然后说明极限的几何意义.【详解】（Ⅰ）由题意第个矩形的高是，所以（Ⅱ）（i）当时，，命题成立，（ii）假设时命题成立，即，则时，，∴时命题成立，综上，时，命题成真，即，（Ⅲ）由（1）可求得，则，所以的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积为.【点睛】本题主要考查了数学归纳法，数列的求和，以及数列的极限的应用，其中解答中熟记数学归纳法的证明方法，以及合理利用极限进行计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.22.已知函数，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明：.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ），见解析【解析】【分析】（Ⅰ）求导后，分及讨论即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有两个零点，必须有且最小值，即可得到，因为有两个零点，不妨设，则，即，要证：，即证：，即证：，令，利用导数研究函数的单