2019-2020学年福建连城县第一中学广东省高三4月模拟考试数学(文)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页福建连城县第一中学广东省2019-2020学年高三4月模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（

）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}2．已知，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且与的夹角为，则x=（

）A．-2 B．2 C．1 D．-14．若x，y满足约束条件则z=的最大值为（

）A． B． C． D．35．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（

）A． B． C． D．6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为A． B．C． D．7．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（

）A．1人 B．2人 C．5人 D．6人8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,BB1的中点,则异面直线AF与BE所成角的余弦值为 ()14 B.154 C.269．已知椭圆与直线交于A，B两点，焦点，其中c为半焦距，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.其中所有正确结论的编号是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（

）A．56383 B．57171 C．59189 D．6124212．已知函数（）与（）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题13．已知数列为等比数列，，则.14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从这个数中随机选取个不同的数，这三个数为勾股数的概率为．15．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为.16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为.三、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若，求的取值范围.18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早､晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：考试分数，，，，，，频数510155105赞成人数469364（1）欲使测试优秀率为，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：，.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.63519．如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.（1）若平面，证明：是的中点.（2）求点到平面的距离.20．设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.21．已知函数，.(1)求函数的单调区间与极值.(2)当时，是否存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若射线的极坐标方程为.设与相交于点，与相交于点，求.23．设函数（）的最小值为.（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，证明：.

参考答案1．【答案】D【详解】列举法表示集合A，直接进行交集运算.【详解】∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．【答案】C【分析】直接利用复数相等的条件列式求得和的值，即可得出答案.【详解】解：因为，，所以，解得，则.故选：C.3．【答案】B【详解】由题意，代入解方程即可得解.【详解】由题意，所以，且，解得.故选：B.4．【答案】C【详解】根据题意知，目标函数z=的几何意义为经过平面区域内的动点与定点直线的斜率，作出不等式组表示的平面区域，求出经过平面区域内点与点直线斜率的最大值即可.【详解】由题意知，目标函数z=表示经过点和可行域内的点(x，y)的直线的斜率，作出不等式组表示的可行域如图所示：根据目标函数的几何意义，由图可知,当直线过两点时,目标函数z=有最大值,联立方程，解得，所以点,代入目标函数可得,z=的最大值为.故选:C5．【答案】C【详解】根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.6．【答案】A【详解】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得的图象，据此分析可得答案.【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且，已知当时，，作出函数图象如图所示，从图象知：，则不等式的解集为.故选：A.7．【答案】C【详解】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数.【详解】由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人，仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人.从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为，故两项都合格的25人中应该抽取人.故选：C.8．【答案】D【解析】如图所示,取DD1的中点M,连接AM,MF,ME.∵M,E分别为DD1,CC1的中点,∴D1M∥C1E,∴四边形D1MEC1为平行四边形,∴MEC1D1.又∵C1D1∥AB,∴ME∥AB,∴四边形ABEM为平行四边形,∴AM∥BE.∴∠MAF(或其补角)为异面直线AF与BE所成的角.设正方体的棱长为1,易得AF=52,AM=52,MF=2.在△AMF中,由余弦定理得cos∠MAF=529．【答案】A【详解】由题可得，利用即可得，即，解出即可.【详解】由题可得，是直角三角形，则可得为直角，，，即，即，解得，，.故选：A.10．【答案】B【详解】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.令，求得，不是最值，故的图象不关于直线对称，故①不正确；它的最小正周期为，故②正确；当时，，故的图象关于点对称，故③正确；在上，，没有单调性，故④错误，故选：B.11．【答案】C【详解】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为的等差数列，记数列则令，解得.故该数列各项之和为.故选：C.12．【答案】D【详解】设切点为，则通过代入法将用表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.【详解】设切点为，则整理得由，解得.由上可知，令，则.因为，所以，在上单调递减，所以，即.13．【答案】81【详解】设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列的公比为，由题意知，因为，由等比数列通项公式可得，，解得，由等比数列通项公式可得，.故答案为：14．【答案】【详解】根据古典概型的概率计算公式即可求出．【详解】从这个数中随机抽取个整数，所有基本事件个数为，其中的勾股数为，共个，故概率.故答案为：．15．【答案】【详解】设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，由抛物线定义知，，解得，不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为：16．【答案】32π【详解】设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED.AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.【详解】设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号.解得a＝2.此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.故答案为：32π17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理将已知化简整理得，可得角B,，代入所求可得答案.（2）利用正弦定理和两角和差公式以及辅助角公式化简，根据求解可得结果.【详解】（1）因为，整理可得，，由余弦定理可得，故，，所以；（2）由正弦定理可得，，所以，，所以，因为，所以，所以，故.所以取值范围为.18．【答案】（1）125分.（2）2×2列联表答案见解析，没有的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【详解】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论.【详解】解：（1）因为测试的优秀率为，所以测试成绩优秀的人数为，由表中数据知，优秀分数线应定为125分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有.人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：赞成不赞成合计优秀10515不优秀221335合计321850计算，因此，没有的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.19．【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）根据线面平行的性质定理可证得，即可得答案；（2）利用等积法可求得点到平面的距离.【详解】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以可设平面平面，又因为平面，所以.因为平面，平面，所以，从而得.因为为的中点，所以为的中点.（2）解：因为底面，，，所以，，，所以.设点到平面的距离为，由，得，解得.20．【答案】（1），圆的方程为：.（2）答案见解析【详解】（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，，利用向量的数量积为0，即可证出.【详解】解：（1）易知点的坐标为，所以，解得.又圆的圆心为，所以圆的方程为.（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，代入的方程，得.令，得，所以，解得.将代入的方程，得，即点的坐标为.所以，，.故.21．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的定义域，接着求导，对参数分类讨论．（2）假设存在，使得成立，则对，满足，将问题转化为求与．【详解】解：（1），

当时，恒成立，即函数的单调增区间为，无单调减区间，所以不存在极值．

当时，令，得,当时，，当时，，故函数的单调增区间为，单调减区间为，此时函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间，不存在极值．当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值（2）当时，假设存在，使得成立，则对，满足由可得，.令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以由（1）可知，①当时，即时，函数在上单调递减，所以的最小值是．②当，即时，函数在上单调递增，所以的最小值是．③当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，在上的最小值是.当时，在上的最小值是所以当时，在上的最小值是，故，解得,所以．当时，函数在上的最小值是，故，解得，所以.故实数的取值范围是22．【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用直线和曲线组成的方程组，进一步求出极径