2019-2020学年福建省福州市第一中学高三适应性练习(一)数学试题

第页，共页福建省福州市第一中学2019-2020学年高三适应性练习（一）数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，或，则（

）A． B． C． D．2.命题“，”的否定为()A． B．C．， D．，3.在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（

）A． B．C． D．4.已知函数则的解集为A． B．C． D．5.在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（

）A． B． C． D．6.将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为A． B． C． D．7.已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．8.已知实数满足，则大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9.刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）A．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B．支出最高值与支出最低值的比是C．第三季度平均收入为5000元D．利润最高的月份是3月份和10月份10.下列函数中是奇函数，且值域为的有（）A． B．C． D．11.嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（

）A．圆形轨道的周长为B．月球半径为C．近月点与远月点的距离为D．椭圆轨道的离心率为12.音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如之各项之和，的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，则（

）A．B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．在单调递增三、填空题（本大题共3小题）13.在各项都为正数的等比数列中，已知，其前n项之积为，且，则取最小值时，n的值是．14.过抛物线的焦点的直线与相交于A．B两点，且A．B两点在准线上的射影分别为M.N，的面积与的面积互为倒数，则的面积为．15.如图，已知的顶点平面，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，则面积的取值范围是四、双空题（本大题共1小题）16.如果（3x）n的展开式中各项系数之和为4096，则n的值为，展开式中x的系数为．五、解答题（本大题共6小题）17.已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．（1）若，求m的值；（2）求的值．18.在△中,记内角所对的边分别为,已知为锐角,且．（1）求角;（2）若,延长线段至点,使得,且的面积为,求线段的长度．19.如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点,是上异于,的点,.（1）证明:平面平面;（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.20.甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛（每两个队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，打平两队各记1分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、平的概率都为.（1）三轮比赛结束后甲的积分记为X，求；（2）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四个球队积分分别为3、3、0、6，问甲能小组出线的概率.21.已知椭圆：，长轴为4，不过坐标原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.22.已知函数，.（1）若在上有极值点，求的取值范围；（2）若，时，，求的最大值.

参考答案1.【答案】D【详解】解不等式得集合A，再根据集合间的关系以及集合的运算即可得结果.【详解】解不等式，得，则，因为或，显然A，B不成立，且，故C不成立，所以，即D成立.故选：D.2.【答案】A【详解】分析：全称命题的否定是特称命题，直接写出结果即可．详解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，故选A．点睛：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的否定与否命题的区别．命题的否定是既否结论，又否条件；否命题是只否结论.3.【答案】D【分析】将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【详解】解：根据复数乘方公式：，得.故选：D.4.【答案】B【分析】研究的单调性，利用函数单调性解不等式.【详解】当时，，，单调递增，且时，，当时，单调递增，且因此可得单调递增，可转化为解得，故选B项.5.【答案】B【详解】根据，，，，建立空间直角坐标系，设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为，，，，所以，设所以，所以，，所以，当时，的最小值为，故选：B.6.【答案】C【分析】先分组，平均分为两组，共有20个基本事件，分情况讨论，满足题意的有9种，故概率为.【详解】6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：甲指挥交通，乙和丙在另一组；或者丙乙指挥交通，甲在另一组；或者甲乙指挥交通，丙在另一组，共有个，所以所求概率为．故选C7.【答案】B【分析】根据题意画出示意图，由几何关系求得各线段长度，接着利用角的正切相等找到关于的等量关系式，化简求出离心率即可.【详解】解：由题意知，设渐近线方程为，则到渐近线的距离，所以，则，在中，，，，∵，∴，解得，∴，故选：B.8.【答案】D【详解】先分析得到，再构造函数利用导数比较的大小即得解.【详解】，，设，所以，所以函数在单调递减，设所以，所以，因为函数在单调递减，所以，故选：D9.【答案】ACD【详解】根据折线图，分别求得4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率即可判断A；由折线图得最高值与最低值即可判断B；由表可得7，8，9月每个月的收入，计算得平均值即可判断C；从表中可计算出利润最高与最低，可判断D.【详解】对于A选项，4至5月份的收入的变化率为，11至12月份的变化率为，因而两个变化率相同，所以A项正确.对于B选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是，故B项错误.对于C选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为百元，故C选项正确.对于D选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D项正确.综上可知，正确的为ACD，故选：ACD.10.【答案】AC【分析】根据奇函数的定义判断四个函数的奇偶性，并求出值域可得答案.【详解】对于A，因为，所以是奇函数，且值域为，故A正确；对于B，因为，所以为奇函数，但值域为，故B不正确；对于C，因为，所以为奇函数，且且值域为，故C正确；对于D，因为，所以为奇函数，但是值域为．故D不正确.故选：AC11.【答案】BC【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.【详解】由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为km，半径为km，故A错误；则月球半径为，故B正确；则近月点与远月点的距离为，故C正确；设椭圆方程为，则（为月球的半径），，故离心率为，故D错误.故选：BC.12.【答案】ABD【分析】利用正弦型函数的周期性可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断BC选项的正误，利用导数法可判断D选项的正误.【详解】对于A：，设，最小正周期为，，最小正周期为，，最小正周期为，所以的最小正周期为上面所求的三个最小正周期的最小公倍数，故函数的最小正周期为，故，故A正确；对于B：当时，，故B正确；对于C：，，所以，，故，故C错误；对于D：，当时，，则，，，，所以，，故函数在上单调递增，D选项正确.故选：ABD.13.【答案】9【详解】由得，依题意得故时，取最小值.【详解】由得，即故因为，则，由于，得所以等比数列是递增数列，故则取最小值时，故答案为：914.【答案】2【分析】根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.【详解】设，由抛物线定义可得，且，故，故即.设，则由余弦定理得，，因为的面积与的面积互为倒数，所以有，即，所以，所以的面积为2，故答案为：2.15.【答案】【详解】由题意可得A，B的轨迹，得到当AC、BC与轴l共面时，∠ACB取到最大值和最小值，求得sin∠ACB的范围，代入三角形面积公式得答案．【详解】∵AC，BC与平面α所成的角分别为，，且|AC|＝2，|BC|＝2，则A，B分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC，BC与轴l在同一平面内时，∠ACB取到最大值和最小值，于是，有，∴sinsin∠ACBsin，即sin∠ACB，而的面积S＝|AC||BC|sin∠ACB＝sin∠ACB．∴．故答案为：16.【答案】6；1215【详解】由二项展开式中各项系数之和用赋值法求出n的值，再利用展开式的通项公式计算含x项的系数．【详解】解：由（3x）n的展开式中各项系数之和为4096，令x＝1得（3+1）n＝4096，解得n＝6；所以，令6r＝1得：r＝2，从而得展开式中x的系数为，故答案为：6；1215．17.【答案】（1）；（2）2282.【详解】（1）由，则数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案.（2）根据题意可得数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，分组可求和.【详解】解：（1）因为，所以数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，数列中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，所以．（2）因为，，所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项所以数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，所以．18.【答案】（1）（2）1【详解】（1）由正弦定理可知:,∴,∴,又B为锐角，∴,∴,即,∴,∴,即,∴．（2）设,∴,∴,∴,即3①在中,由余弦定理可得,即．②联立①②可解得,即．19.【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）由直径所对的圆周角为，可知，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形，所以有.由已知可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;（2）以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.在中，分别为的中点，所以，且.于是在中，，所以为直角三角形，且.因为，,所以.因为，，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,,,.设平面的一个法向量为,则即，取,得.设平面的法向量,则即，取,得.所以，又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设甲的第i场比赛获胜记为，第i场比赛获平记为，第i场比赛获输记为，计算可得出答案；（2）分类1：若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，可得甲出线的概率；另一场比赛乙平丙或乙输丙，得出甲出线的概率；分类2：若第三轮甲平丁，另一场比赛乙输丙，得出甲出线的概率，另一场比赛乙平丙，可得甲出线的概率；分类3：若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙，得甲出线的概率，由三种情况可最终得甲出线的概率.【详解】（1）设甲的第i场比赛获胜记为，第i场比赛获平记为，第i场比赛获输记为，.（2）分类1：若第三轮甲胜丁，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、3、0、6，另一场比赛乙胜丙，这时甲、乙、丁积6分，丙积0分，所以要抽签决定，抽中前两名的概率为，这时甲出线的概率为，另一场比赛乙平丙或乙输丙，这时甲一定出线，甲出线的概率为；分类2：若第三轮甲平丁，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、0、7，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、3、7，甲一定出线，甲出线的概率为，另一场比赛乙平丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、4、1、7，所以要抽签决定，抽中前两名的概率为，这时甲出线的概率为；分类3