2019-2020学年广东省东莞市高三下学期第二次统考6月模拟(最后一卷)数学(文)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页广东省东莞市2019-2020学年高三下学期第二次统考6月模拟（最后一卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，i为虚数单位，则＝（

）A． B． C． D．3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()A． B． C．3π D．4π4．等差数列中，其前项和为，满足，，则的值为（

）A． B．21 C． D．285．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：）进行质检，若从这批轮胎中随机选取个，至少有个轮胎的宽度在内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为、、、、，则这批轮胎基本合格的概率为（

）A． B． C． D．6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面为平面(与两个圆锥侧面的交线为)，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知为锐角，，则（

）A． B． C．2 D．38．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（

）A． B．C． D．9．已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（

）A． B．C． D．10．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（

）A． B． C． D．11．在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．7π B．8π C． D．12．已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题13．已知实数，满足，则目标函数的最大值为.14．记等比数列的前n项和为，若，，则公比．15．若非零向量、满足，，则与的夹角为．16．在三棱锥中，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为.三、解答题17．已知数列是等比数列，数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．18．已知几何体中，，，，面，，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值频数合计（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计（3）已知每件产品的纯利润（单位：元）与产品质量指标的关系式为．若每台新设备每天可以生产件产品，买一台新设备需要万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：，其中．20．已知点、点及抛物线．（1）若直线过点及抛物线上一点，当最大时求直线的方程；（2）问轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点、，且点到直线、的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．21．已知.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．若为曲线上的动点，是射线上的一动点，且满足，记动点的轨迹为．（1）求的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于、两点，求的面积．23．已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若对于任意的实数恒成立，求实数的取值范围．

参考答案1．【答案】B【详解】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．【详解】集合故选：．2．【答案】B【分析】利用复数模的性质，以及乘除法的模的性质计算．【详解】．故选：B．3．【答案】A【分析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积．【详解】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.4．【答案】C【详解】利用基本量法求解首项与公差，再利用求和公式求解即可.【详解】设等差数列的公差为，则，解得.故.故选：C5．【答案】D【分析】可知轮胎的宽度为、、在内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取个，至少有个轮胎的宽度在内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，轮胎的宽度为、、在内，从这批轮胎中随机选取个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，其中，事件“从这批轮胎中随机选取个，至少有个轮胎的宽度在内”所包含的基本事件有：、、、、、、，共个，因此，这批轮胎基本合格的概率为.故选：D.6．【答案】A【详解】求得圆锥的高，可得矩形的对角线长，即有，的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：设与平面平行的平面为，以的交点在平面内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面内的射影为轴，在平面内与轴垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线.由题意可得双曲线的渐近线方程为，由，得离心率.故选：A.7．【答案】A【详解】由计算出，再将用两角差的正切公式拆开，代入求值即可.【详解】解：，，且为锐角，故选：8．【答案】D【分析】本题首先可根据函数是偶函数求出以及导函数，然后设切点的横坐标为，根据切点处的切线与直线垂直得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，解得，故，，设切点的横坐标为，则，因为切点处的切线与直线垂直，所以，解得或（舍去），故，，故选：D.9．【答案】A【分析】由向量的线性运算化简．【详解】∵，∴，整理得．故选：A．10．【答案】D【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解的值．【详解】解：，，，由正弦定理,可得,可得，，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，又，可得，可得，，可得，，则为锐角，解得．故选：D．11．【答案】D【分析】如图，取BD中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°，进而可求得R的值．【详解】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F则由AH＝2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，则R＝OA则三棱锥外接球的表面积故选：D12．【答案】A【分析】由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数的取值范围即可．【详解】解：由题意可知函数是上的单调递减函数，且当时，，据此可得：，即恒成立，令，则，据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，则，据此可得：实数的取值范围是．故选：．13．【答案】3【分析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过点时，最大，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求的最大值等价于求解直线在轴截距的最大值由平移可知，当过点时，在轴截距最大由得：

本题正确结果：14．【答案】或2【分析】由，，可得：，化简解出即可得出．【详解】由，，，化简得：．解得或2．故答案为：或2．15．【答案】【分析】设与的夹角为，由得出，结合平面向量数量积的运算律可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值，即可得解.【详解】设与的夹角为，，，则，即，可得，，.因此，与的夹角为.故答案为：.16．【答案】【详解】根据题意，当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.此时取BD的中点O，由，得，同理根据，且，由直角三角形中线定理可得，从而得到外接圆半径R=2，再分别利用体积公式求解.【详解】如图所示：当面BCD面ABD时，三棱锥的体积最大.取BD的中点O，因为，所以，，，，外接圆半径R=2，V球，，三棱锥外接球的体积与三棱锥的体积之比为.故答案为：17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分别令、可分别求得、，进而可求得等比数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得的通项公式；（2）由已知条件得出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列的通项公式，进一步可求得数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列的前项和．【详解】（1）设等比数列的公比为，由于数列满足，，．当时，则，即，可得；当时，则，即，可得.，，；（2），即，，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，.设数列的前项和为，则，①，②①②得，.18．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由平面，可得，并推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，利用等体积法可计算出点到平面的距离．【详解】（1）且面，平面，平面，，且，由勾股定理得，且，，，由余弦定理得，，，，，，平面，平面，平面平面；（2）平面，，且，，，平面，平面，，，，，，平面，平面，，又，，设点到平面的距离为，则，即，.因此，点到平面的距离为.19．【答案】（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为、；（2）列联表见解析，有的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）.【分析】（1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本.【详解】（1）估计新设备所生产的产品优质品率为，估计旧设备所生产的产品优质品率为；（2）根据题中所给数据可得到如下列联表：非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计，因此，有的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；（3）新设备所生产的产品的优质品率为，每台新设备每天所生产的件产品中，估计有件优质产品，有件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为（元），（天），因此，估计至少需要天方可收回成本.20．【答案】（1）或；（2）存在，且点的坐标为.【分析】（1）要使得最大，则过的直线与抛物线相切，设过点的直线方程为，与抛物线的方程联立，由求得的值，由此可得出直线的方程；（2）由题意可知，直线、的斜率互为相反数，设点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数的值，由此可得出结论.【详解】（1）如下图所示，当过点的直线与抛物线相切时，即当点为切点时，最大.当直线与轴重合时，则点与点重合，不合乎题意；当直线与轴不重合时，可设直线的方程为，联立，消去得，则，解得.因此，当最大时，直线的方程为或；（2）假设存在这样的点满足条件，设点，因为点到直线、的距离相等，则为的角平分线，所以，可得，设直线的方程为，设点、，联立，消去并整理得，由韦达定理得，.，，即，整理得，由题意可知，等式对任意的恒成立，所以，.因此，在轴上存在点，使得点到直线、的距离相等.21．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.【详解】（1）的定义域为∵，，∴当时，；时，∴函数在上单调递减；在上单调递增.（2）当时，由题意，在上恒成立①若，当时，显然有恒成立；不符题意.②若，记，则,显然在单调递增，（i）当时，当时，∴时，（ii）当，，∴存在，使.当时，，时，∴在上单调递减；在上单调递增