2019-2020学年广东省东莞市高三下学期第一次统考(5月)模拟数学(文)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页广东省东莞市2019-2020学年高三下学期第一次统考（5月）模拟数学（文）试题一、单选题1．已知R是实数集，，，则（

）A． B． C． D．2．复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为（

）A．2 B．C．3 D．3．已知向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．24．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（

）A． B． C． D．5．已知实数满足，则的最小值为（

）A．－7 B．－6 C．1 D．66．设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．16 C．14 D．127．若，则（

）A．或 B． C．或 D．8．函数的部分图像大致为（

）A． B．C． D．9．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．10．的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．11．已知直三棱柱，，，和的中点分别为、，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．12．已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为A． B． C． D．二、填空题13．已知e为自然对数的底数，过原点与函数图像相切的直线方程为．14．记为等比数列的前n项和，若，，则（）．15．已知函数在区间上有最小值4，则实数k＝．16．已知三棱锥中，，，，，面面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为．三、解答题17．某大型科学竞技真人秀节目挑选选手的方式为：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．已知男生入围24人，女生未入围80人．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；性别入围人数未入围人数总计男生女生总计（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，求这11名学生中男、女生人数；若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），分别求这11名学生中女生测试分数平均分的最小值．附：，其中．18．已知函数满足，数列满足，．(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；(2)若，，求以及当时n的最小值.19．如图，已知四边形是边长为的菱形，平面平面，且（1）求证：平面平面（2）若四边形为直角梯形，且，求点到平面的距离.20．在平面直角坐标系中，已知两定点，，动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足，求的面积.21．设函数，e为自然对数的底数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）证明：若，则．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离.23．已知．求不等式解集；若时，不等式恒成立，求a的取值范围．

参考答案1．【答案】B【分析】求出集合，根据交集的运算即可求.【详解】解不等式，可得或，或，.由，可得..故选：B.2．【答案】B【分析】利用复数计算公式化简得到答案.【详解】，虚部为故选B3．【答案】C【分析】由向量和向量的坐标求出向量和向量的坐标，再利用，即可求出的值．【详解】解：∵向量∴∵∴，解得故选：C4．【答案】B【详解】根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果.【详解】设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为所以落在黑色区域的概率为.故选：B5．【答案】A【详解】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由图可知向上平移直线，到边界的位置时，取得最小值，此时故选：A6．【答案】C【详解】解：设的公差为，依题意可得，即，解得，所以；故选C.7．【答案】D【详解】利用诱导公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入求值即可；【详解】解：因为所以.故选：.8．【答案】A【分析】令，由可排除B、D；由当时，，可排除C；即可得解.【详解】令，则，所以函数为奇函数，可排除B、D；当时，，，所以，故排除C.故选：A.9．【答案】B【详解】根据，即,从而判断出当m取最大值时，取得最小值，即PA与抛物线相切与点P时取得，设直线PA的方程为代入联立通过求出k，求出P点坐标即可求出双曲线离心率.【详解】如图所示，准线，故因为，所以,当m取最大值时，取得最小值.当且仅当PA与抛物线相切与点P时取得.设直线PA的方程为，代入，可得，即双曲线的实轴长为双曲线的离心率为故选：B10．【答案】D【分析】由余弦定理化简，得，再由基本不等式求解即可.【详解】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以.故选D11．【答案】B【分析】首先以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，再利用夹角公式计算即可.【详解】如图所示：以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，故，，，，故，.，即与夹角的余弦值为.故选：B12．【答案】C【分析】由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的取值范围.【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.13．【答案】【分析】设切点为，则切线的斜率，写出切线的方程，把原点的坐标代入，求出，即得切线的方程.【详解】设切点为，则..切线的斜率，切线的方程为.切线过原点，即.切线的方程为，即.故答案为：.14．【答案】【分析】先根据，，求出首项和公比，然后利用求和公式可求.【详解】设等比数列的首项为，公比为，且；因为，，所以，解得或（舍），，所以.故答案为：.15．【答案】4【分析】由函数在上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【详解】解：依题意，，则，当且仅当时，等号成立则，解得．故答案为：4．16．【答案】【分析】作示意图，由勾股定理分析出，设为的中点，得到面，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，从而得到外接球球心在上，再求出外接球半径，从而求出外接球的表面积.【详解】作示意图如图所示：设为的中点，由，则，又面面ABC，则面，由题，故，则，故三棱锥的外接球球心在上，球半径为，则，，则，又，得，得，三棱锥的外接球的表面积为.17．【答案】（1）见解析，没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；（2）女生5人，男生6人，122.【分析】（1）根据题意，填写列联表.根据参考公式，计算的观测值，再根据临界值表，即得结论；（2）根据分层抽样原理计算被抽到的女生人数，即得被抽到的男生人数.根据题意，被抽到的女生测试分数的平均分最小时，这5名女生的测试分数分别为，即可求平均分的最小值.【详解】（1）填写列联表如下：性别入围人数未入围人数总计男生2476100女生2080100总计44156200的观测值所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．（2）在这11名学生中，被抽到的女生人数为（人），被抽到的男生人数为（人）或（人）.因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数．所以这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值为.18．【答案】(1)见解析，；（2），n的最小值为5.【分析】(1)利用换元法可求出函数的解析式，再由可得，从而可得数列是等差数列，再利用等差数列通项公式即可得解.(2)由(1)知，利用错位相减法即可求出，通过计算即可得解.【详解】(1)令，则，可化简为，所以，所以，又，所以，即，又，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以.(2)由(1)得，则，所以①，②，①－②得，，所以，通过计算可得，当时，；当时，，综上所述，当时，n的最小值为5.19．【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）由菱形性质可得，再由面面垂直的性质可得平面，由面面垂直的判定即可得证；（2）设与相交于点，连接，先证明面，求出后利用即可得解.【详解】（1）证明:因为四边形是菱形，所以，又因为平面，平面平面.平面平面所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）设与相交于点，连接.因为且，四边形是平行四边形.所以且.因为，面面，面面，面，所以面，因为，所以面.因为面，所以，.在中，，在中，在中，，.所以边上的高为所以设点到面的距离为，因为，即，所以，所以.20．【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）【详解】（1）设动点的坐标为表示出化简可得.（2）根据对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，即可求出直线的方程，易知垂直于直线，且.设的中点为，则，计算可得，，的值，即可求出的面积.【详解】（1）设动点的坐标为，则.整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得，故直线的方程为.易知垂直于直线，且.设的中点为，则，又，.∴，，∴，.易知，故到的距离等于，∴.21．【答案】（1）（2）见解析【详解】(1)利用导函数恒成立,求解即可.(2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在,使得,再利用隐零点的方法,求得在上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可.【详解】解：（1）因为在上单调递增,所以恒成立.

令,当,

在上单调递增,依题意有,得

（2）由（1）可知,在上单调递增,当时,,,

存在,使得,

且当时,,即,在上单调递减当时,,即,在上单调递增所以在上的最小值为

,,,

,即成立

或者

,

,即成立22．【答案】（1）的普通方程为；的普通方程为；（2）.【分析】（1）消去曲线参数方程的参数，得到的普通方程，根据极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得的直角坐标方程.（2）设出曲线的参数方程，利用点到直线距离公式求得点到曲线的距离的表达式，再根据三角函数最值求得到曲线的最小距离.【详解】解:（1）消去参数得到，故曲线的普通方程为，由得到，即，故曲线的普通方程为（2）设点的坐标为，点到曲线的距离所以，当时，的值最小，所以点到曲线的最小距离为.23．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意得|，可得，整理可得，利用一元二次不等式的解法