2019-2020学年广东省化州市高三第四次模拟数学(理)试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页广东省化州市2019-2020学年高三第四次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．2．设复数z的共轭复数为，满足，i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3．已知在梯形中，，若向量，，则A．或 B． C． D．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，射线与双曲线C的渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，则的面积为A． B． C． D．5．已知数列是正项等比数列，满足，则数列的通项公式（

）A． B． C． D．6．已知函数且，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知正项数列的前项和为，满足，则（）A． B． C． D．8．若实数满足约束条件，则的最小值是（

）A． B．C． D．149．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.设函数的对称轴为，对称中心为，若的最小值记为s，的最小值记为t，且，则A．或 B． C．或 D．10．精准扶贫点用2400元的资金为贫困户购买良种羊羔，共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至少买1只，则所有可能的购买方案总数为A．12 B．14 C．21 D．1811．已知，则以下结论中不正确的是A． B． C． D．12．已知函数，且当时，恒有，则实数a的取值范围为A． B． C． D．二、填空题13．为了了解全民健身活动的开展情况，通过街头调查的方式随机调查了路人每天步行的步数情况.经过整理绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据估计被调查的路人每天步行步数的平均数约为.14．已知，则.15．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为A，以A为圆心的圆与直线交于两点，且，则C的离心率为.16．如图所示是一个三棱柱形状的容器，平面，，这个容器能装进去的最大的球的体积为（容器壁厚度不计）.三、解答题17．已知的内角的对边分别为，若.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若的面积，求a.18．如图，已知四棱锥中，，平面，，F，G分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现，鱼的重量x（单位：kg）近似服从正态分布，如图所示，已知.（Ⅰ）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在内的概率；（Ⅱ）（ⅰ）从捕捞的100条鱼中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表.重量范围（单位：kg）条数132为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在内的条数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）若将选剩下的94条鱼称重做标记后立即放生.两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在内的鱼的条数.20．已知函数.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.21．已知点P为直线上任意一点，，M为平面内一点，且.（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点P作曲线E的切线，切点分别是.若，求点P的坐标.22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于两点，曲线C的中心为C，求的面积S.23．已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案1．【答案】B【分析】先利用分式不等式的解法化简集合B，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合，集合，所以，故选：B.2．【答案】A【分析】根据复数除法求出，由共轭复数得出后可得其对应点的坐标，也即得到其所在象限．【详解】因为，所以，则z在复平面内对应的点在第四象限，故选：A.3．【答案】C【分析】由题意得出且方向相反，并且，可得出关于的等式，解出的值，然后代入检验可得出的值.【详解】由于四边形为梯形且，所以，出且方向相反，并且，，即，解得或.当时，可得，不符合题意；当时，，符合题意.故选：C.4．【答案】B【分析】先求出渐近线方程，再求出、、的长，从而可求的面积【详解】由题可得，渐近线方程，射线过点且垂直于x轴，，，，，故选：B.5．【答案】D【分析】由求出公比，再由求出首项，从而可得通项公式．【详解】设等比数列的公比为，，，，解得或（舍）.，且，，解得；故数列是首项，公比的等比数列，，即.故选：D.6．【答案】B【分析】函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点，画出函数的图象，根据数形结合可得出答案.【详解】函数当时，其图象可以看成是由的图象向右平移1个单位得到的.画出函数的图象如图所示.函数有3个不同的零点，即函数的图象与直线有三个交点.当时函数有极小值，当时函数有极大值，所以实数a的取值范围为.故选B.

7．【答案】D【分析】根据，利用数列通项与前n和之间的关系求解.【详解】解：，当时，，或（舍去）；当时，，，两式相减得：.，，所以数列是首项，公差的等差数列，所以，所以故选：D.8．【答案】B【分析】作出可行域，平移目标函数对应的直线可得最优解．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z最小，由解得，即，.故选：B．9．【答案】C【分析】由题意得函数，根据函数的对称轴为，得，由函数的对称中心为，有，分角的范围得出，的最小值，从而得出答案.【详解】由题意得函数，由函数的对称轴为，，则函数的对称中心为，，当时，，；当时，，，或，故选：C.10．【答案】C【分析】由于每只羊羔的价格均为300元，则共有8个购买羊羔的指标，即将问题转化为各种羊的购买指标分别是多少的问题，转化为隔板法处理.【详解】由于每只羊羔的价格均为300元，则共有8个购买羊羔的指标，可以看成8个无差别的小球，三种不同的羊羔可以看成三个编号1，2，3的盒子，则问题转化为把8个无差别的小球装入3个不同的盒子中，每个盒子至少装一个小球.用隔板法，8个小球共有7个空，插2个隔板，共有种不同的购买方案，故选：C.11．【答案】C【分析】由得，，再由对数函数的性质可得，，从而比较出；对于B，D，作差变形构造函数，利用函数的单调性可比较大小，对于C，由已知可得，而，，可作出判断.【详解】因为.又..又，，，.选项A中，故A正确；选项B中.函数在时是增函数，，故B正确；选项C中，，，故C错误；选项D中，，函数在时是增函数，，故D正确，故选：C.12．【答案】A【分析】构造新函数，题意说明新函数在已知区间上是减函数，从而由恒成立，由此可得的范围．【详解】由，可知，设，则函数在上单调递减.，，.，；实数a的取值范围为，故选：A.13．【答案】3440【分析】算出各组的频率，利用组中值可求平均数.【详解】由图得第一组的频率为0.12，第二组的频率为0.42，第三组的频率为0.36，第四组的频率为0.10，所以平均数（百步），即（步）.故答案为：.14．【答案】【分析】先由条件，求出，再由二倍角公式求出，由求出所求式子的分母，从而得到答案.【详解】，，，，.故答案为：15．【答案】【分析】根据题意以及圆的几何性质可分别求出，即可利用锐角三角函数定义得到，从而求得，即得到椭圆C的离心率．【详解】如图所示：设中点为G，则，由，得，所以.因为，所以，在中，.又直线的斜率是，所以，即，解得椭圆C的离心率．故答案为：．16．【答案】【分析】由题意分析可知容器能装进去的最大的球就是当球与三棱锥三个侧面都相切时最大，因此最大球半径即为横截面三角形内切圆半径，由等面积法即可求出半径.【详解】解：由于，则容器足够长，所以最大的球应与三棱柱的三个侧面相切，作截面如图所示，作，垂足为S.，由余弦定理得，，，.设圆的半径为r，，，球的体积.故答案为：.17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或4.【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理将边转化为角，结合两角和的正弦公式化简为，再根据求解.（Ⅱ）由结合（Ⅰ）的结论得到，再由，利用余弦定理解得即可.【详解】（Ⅰ），由正弦定理得.，.，，，又，（Ⅱ），.

由余弦定理得，，.由，解得或所以或4.18．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）取的中点O，连接，根据条件可证平面平面，从而可证明.（Ⅱ）平面，平面，由得，故以点O为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角.【详解】（Ⅰ）证明：如图，取的中点O，连接.点分别为的中点，点O为的中点，为梯形的中位线，.平面，平面，平面.同理，，平面，平面，平面.又，平面平面.平面，平面.（Ⅱ）平面，平面.，故以点O为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.在中，.在中，.在中，，作，垂足为点H.在中，，，，，，，，，，.设平面的法向量为，由得，令，；设平面的法向量为，由得令.设二面角的大小为，由图可知，二面角为锐角，则.所以二面角的余弦值为19．【答案】（Ⅰ）0.22；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，1.5；（ⅱ）47000，4136.【分析】（Ⅰ）根据正态分布曲线的对称性有，可得出答案.（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出各种情况的概率，可得到其概率分布列，再由公式求出数学期望.（ⅱ）设水库中共有N条鱼，根据题意有，先求出N，又由（Ⅰ）可知，从而可求出体重在内的鱼的条数.【详解】（Ⅰ）由正态分布的对称性可知，.（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；，所以X的分布列为X0123P数学期望.（ii）设水库中共有N条鱼，根据题意有则（条），所以估计水库中有47000条鱼.由（Ⅰ）可知，则体重在内的鱼应捕捞（条）20．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先求导，再利用的正负性即可得到函数的增区间.（2）首先将题意转化为恒成立，再求的最大值即可得到答案.【详解】（1）因为，函数，，令，解得或（舍）.令，解得，所以函数的单调递增区间为.

（2）若恒成立，则恒成立，即恒成立，

令函数，则，令函数，则显然在上恒成立，所以函数在上单调递减.又，所以当时，，即；当时，，即，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.又恒成立，所以，即实数a的取值范围为.21．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【分析】（Ⅰ）根据题意可知点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义即可写出点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）依题可设点，切线方程为，根据直线与抛物线相切，可得，求解出根与系数的关系，再设出直线的斜率为，直线的斜率为，即可用表示出切点坐标，然后根据两点间的距离公式列出方程，结合根与系数的关系即可解出．【详解】（Ⅰ）设点，交直线于点N，因为，所以，即点M的轨迹E是以F为焦点，直线为准线的抛物线．因为，所以，所以点M的轨迹E的方程为．（Ⅱ）设点，显然切线的斜率存在且不为0，设斜率为，则切线方程为，代入得，，，所以.设直线的斜率为，直线的斜率为，则.设切点坐标为，由有两个相等实数根，得，所以切点坐标为，即切点，

所以，其中，所以，所以，即，解得，即．故点P的坐标为或．22．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）结合参数方程、普通方程、极坐标方程间互化，求解即可；（Ⅱ）分别求出圆心