2019-2020学年广东省湛江市高三上学期高中毕业班调研测试数学试题

第页，共页广东省湛江市2019-2020学年高三上学期高中毕业班调研测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，，则（

）A． B． C． D．2.已知i是虚数单位，a为实数，且，则a＝（

）A．2 B．1 C．-2 D．-13.已知向量，向量，与垂直，则k＝（

）A．2 B． C． D．4.若双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为，则其离心率为（

）A． B．2 C． D．5.命题“，lg|2x-1|＞0”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，6.党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（单位：万亿元）关于年份代号的回归方程为，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（

）A．14.04 B．202.16 C．13.58 D．14.507.鳖臑（biēnào）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A-BCD是一个鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，则三棱锥A-BCD的外接球的体积是（

）A． B． C．49π D．8.已知函数，给出四个函数①|f（x）|，②f（-x），③f（|x|），④-f（-x），又给出四个函数的大致图象，则正确的匹配方案是（

）A．甲-②，乙-③，丙-④，丁-① B．甲-②，乙-④，丙-①，丁-③C．甲-④，乙-②，丙-①，丁-③ D．甲-①，乙-④，丙-③，丁-②二、多选题（本大题共4小题）9.因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理．某大学开学后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表：满意不满意男2020女4010附表：P（K2≥k）0.1000.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828附：以下说法正确的有（

）A．满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法B．该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6C．有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系D．没有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系10.已知a＝log3π，b＝logπ3，，则（

）A．ab＜a＋b＜b＋c B．ac＜b＋c＜bcC．ac＜bc＜b＋c D．b＋c＜ab＜a＋b11.已知函数，f（x）＝2sinx-acosx的图象的一条对称轴为，则（

）A．点是函数，f（x）的一个对称中心B．函数f（x）在区间上无最值C．函数f（x）的最大值一定是4D．函数f（x）在区间上单调递增12.已知数列{an}满足：0＜a1＜1，．则下列说法正确的是（

）A．数列{an}先增后减 B．数列{an}为单调递增数列C．an＜3 D．三、填空题（本大题共4小题）13.已知f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，则不等式，f（3x-1）＞f（2）的解集是．14.二项式的二项展开式中的常数项是．15.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则截面与BCC1B1的交线段长为．16.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点D，若F是AD的中点，则|FB|＝．四、解答题（本大题共6小题）17.从①a＝3，②，③3sinB＝2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，3ccosB＝3a＋2b，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．18.已知等差数列的前项和为，，，且，，成等比数列．（1）求和；（2）设，数列的前项和为，求证：．19.如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．20.为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．21.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k1，k2．（1）证明：k1·k2为定值；（2）过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求|AB|．22.已知a＞0，函数．（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）

参考答案1.【答案】C【详解】先解出集合，然后计算.【详解】解不等式得，，即，所以.故选：C．2.【答案】B【详解】可得，即得.【详解】由，得a＝1.故选：B．3.【答案】D【详解】根据与垂直，由求解.【详解】因为向量，向量，所以，，，又与垂直，所以，，所以，故选：D．4.【答案】C【详解】根据和即可得到答案.【详解】因为渐近线方程为，所以．又因为，所以．又，故离心率，故选：C．5.【答案】C【详解】根据全称命题的否定是特称命题，命题的否定只否定结论，全称命题的否定是特称命题，即可解题.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：C6.【答案】A【分析】先求出2035年对应的年份代号的值代入回归方程可得2035年底国内生产总值，再除以人口数量14.4亿即可求解.【详解】根据题意可得2035年底对应的，将代入可得：万亿元，所以我国在2035年底人均国内生产总值约为万元，故选：A.7.【答案】D【详解】将三棱锥A-BCD可放在长方体中确定直径AD，计算即得结果.【详解】依题意，三棱锥A-BCD可放在长方体中，如图所示易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则，故三棱锥A-BCD的外接球的半径，所以．故选：D.8.【答案】B【详解】根据题意，求出函数的导数，分析函数的单调性，可以得到的草图，结合函数图象变化的规律分析四个函数对应的图象，即可得答案．【详解】根据题意，函数，其导数，在区间上，，为增函数，且，在区间上，，为减函数，且（3），其简图如图：对于①，有，其图象全部在轴上和轴上方，对应图象丙，②，其图象与的图象关于轴对称，对应图象甲，③，有，为偶函数，对应图象丁，④，其图象与的图象关于原点对称，对应图象乙，故选：．9.【答案】AC【详解】根据题中列联表分析数据并计算，对选项逐一判断即可.【详解】因为男女比例为4000︰5000，故A正确．满意的频率为，所以该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值约为0.667，所以B错误．由列联表，故有99％的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系，所以C正确，D错误．故选：AC.10.【答案】CD【详解】根据对数函数的单调性，判定的大致范围，即可求解.【详解】因为0＜logπ3＜1＜log3π0＜b＜1＜a，又，所以ac＜bc＜0，，所以C正确，B错误．因为ab＝log3π×logπ3＝1，a＋b＝log3π＋logπ3＞1，所以D正确，A错误．故选：CD11.【答案】ACD【详解】结合辅助角公式和正弦型函数的对称轴可得，从而解得的值，得的解析式，由，判断选项A；取可判断选项B和C；令，解之可判断选项D.【详解】由题意，得，θ为辅助角，因为对称轴为，所以，即，解得．所以；故，所以A正确；又当（k∈Z），即当（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值4，所以B错误，C正确；（k∈Z）（k∈Z），所以D正确；故选：ACD.12.【答案】BCD【详解】利用相邻项关系构造函数，研究单调性，得an＜3，，再判断，利用单调性判断，即得结果.【详解】由得．设函数，由，可得f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，4）上单调递减．由f（x）＜f（3）＝3可得an＜3．所以，即，故数列{an}为单调递增数列．又0＜a1＜1，所以，，，所以，故选：BCD．13.【答案】【详解】根据函数的奇偶性，可知函数在上递减，即可求解.【详解】因为f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，所以函数在上递减，因为f（3x-1）＞f（2），所以所以即-2＜3x-1＜2，解得．故答案为：14.【答案】15【详解】根据二项展开式公式，由的展开式的通项是，令，即可得解.【详解】因为的展开式的通项是，当时，r＝2，所以展开式中的常数项是．故答案为：15.15.【答案】【详解】首先通过线面之间的平行关系，画出过点A，E，F和正方体的截面，如图，可得到截面与BCC1B1的交线段，即可得解.【详解】如图，过点F作FH∥AE交A1D1于H，易知D1H＝1，所以点H为A1D1的4等分点，连接AH，过点E作EP∥AH交CC1于点P，所以，解得，故截面与BCC1B1交线段长．故答案为：.16.【答案】【详解】做出图像，根据焦准距为4，F是AD的中点，可求得AM的长度，利用抛物线定义，可得AF的长度，即可求出，在中，利用定义可得FB＝BN，即可求得答案.【详解】如图所示：过点A，B，F分别向准线引垂线，交准线于点M，N，E，由题意得FE＝2，且F是AD的中点，则EF为的中位线，所以AM＝4，则AF=DF＝4，所以，即,又由抛物线定义可得：FB＝BN，且BD＝2BN，所以3BF=DF=4，即，故答案为：17.【答案】答案见解析.【详解】先利用已知条件计算，再利用所选条件结合余弦定理、面积公式、正弦定理，逐一计算求b即可.【详解】解法1：由正弦定理，得3sinCcosB＝3sin[π-（B＋C）]＋2sinB，整理得3sinBcosC＋2sinB＝0．因为sinB≠0，所以．解法2：由3ccosB＝3a＋2b，得3accosB＝3a2＋2ab，由余弦定理，得3（a2＋c2-b2）＝6a2＋4ab，整理得3（-a2＋c2-b2）＝4ab，即3abcosC＋2ab＝0．所以．选①a＝3．由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcos，所以b2＋4b-12＝0，解得b＝2或b＝-6（舍去），所以问题中的三角形存在．选②．，故ab＝9，由余弦定理可得c2＋a2＋b2-2abcosC，又a2＋b2≥2ab，所以，与ab＝9矛盾，所以问题中的三角形不存在．选③3sinB＝2sinA．由正弦定理得，3sinB＝2sinA3b＝2a，由余弦定理可得c2＝a2＋b2-2abcosC，所以b＝2或b＝-2（舍去），所以问题中的三角形存在．18.【答案】（1），；（2）证明见解析.【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，由求出，即可求解；（2）由，可得，利用裂项相消求和求出，再利用不等式的性质和数列的单调性即可求证.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，首项为，由，得，则所以解得，，所以，．（2）因为．所以．因为单调递增．所以，综上，．19.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）设的中点为，与的交点为，连接，，，根据线面垂直的判定定理，可得平面；再证明，得到平面，推出，，从而可得线面垂直；（2）先由（1）可得，，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面和的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：设的中点为，与的交点为，连接，，，如图所示．由为的中点可得，又平面平面，平面平面，故平面．又为的中点．所以且．又且，所以且，因此四边形为平行四边形，所以且，所以平面，故，又四边形为菱形，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，设为平面的一个法向量，则即可取，由（1）可知，为平面的一个法向量，所以．所以二面角的余弦值为．20.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【详解】解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，则，则随机变量的取值为．，，，所以X的分布列为所以随机变量的数学期望为．21.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）设P（m，n），M（x，y），则Q（-m，-n），则可表示出，进而可得的表达式，又根据点P，M在椭圆上，利用点差法，即可得证；（2）设直线l的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理，可得的表达式，根据，可得的关系，即可求出，代入弦长公式，即可求得结果.【详解】（1）证明：设P（m，n），M（x，y），则Q（-m，-n），则，，则，又，，故，所以为定值．（2）设直线l的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去x，得（3t2＋4）y2＋6ty-9＝0，则有，．又，所以-y1＝2y2，故，解得，所以．22.【答案】（1）0＜a≤1；（2）证明见解析.【详解】（1）根据题意