2019-2020学年广东省肇庆市高三第三次统一检测数学(理)试题

第页，共页广东省肇庆市2019-2020学年高三第三次统一检测数学（理）试题一、单选题（本大题共12小题）1.已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，则∁R（A∪B）＝（

）A．[﹣2，1] B．[1，4] C．（﹣2，1） D．（﹣∞，4）2.复数z的共轭复数满足，则z＝（

）A．2+i B．2﹣i C．l+2i D．1﹣2i3.在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S8﹣S3＝45，则a6的值是（

）A．3 B．5 C．7 D．94.在中，，，，则在方向上的投影是（

）A．4 B．3 C．-4 D．-35.设，满足约束条件，则的最大值是A．0 B．3 C．4 D．56.命题p：曲线y＝x2的焦点为；命题q：曲线的渐近线方程为y＝±2x；下列为真命题的是（

）A．p∧q B．￢p∧q C．p∨（￢q） D．（￢p）∧（￢q）7.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（

）A．该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B．该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C．该企业2018年其它费用是2017年工资金额的D．该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．9.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（）A． B．C． D．10.已知角θ的终边经过点（2，﹣3），将角θ的终边顺时针旋转后，角θ的终边与单位圆交点的横坐标为（

）A． B． C． D．11.已知a＝2log2，c＝5log5，则（

）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题）13.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，天后两只老鼠打穿城墙．14.展开式中的系数为．15.已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是.16.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．①当时，三棱锥A﹣BCD的体积为；②当面ABD⊥面BCD时，AB⊥CD；③三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．以上命题正确的是．三、解答题（本大题共7小题）17.已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，.（1）求A；（2）若b＝4，c＝6，求sinB的值.18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，且CA＝CB1．（1）证明：面CBA1⊥面CB1A；（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值．19.已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴．（1）求椭圆的方程：（2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：（小时）频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的列联表：男女合计不超过6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求的概率分布列及期望；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．参考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421.设函数，e为自然对数的底数．（1）求f（x）的单调区间：（2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立，求正实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，P的极坐标为，直线l过点P.（1）若直线l与OP垂直，求直线l的直角标方程：（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角.23.设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0.（1）当a＝1，b＝1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值.

参考答案1.【答案】C【分析】根据已知求出A，B，再求A∪B，进而求其补集．【详解】∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}={x|x≤﹣2或x≥4}，∴A∪B={x|x≤﹣2或x≥1}，则∁R(A∪B)=(﹣2,1).故选：C．2.【答案】A【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭复数的概念得答案.【详解】由5，得，∴z＝2+i.故选：A.3.【答案】D【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解.【详解】因为S8﹣S3＝a4+a5+a6+a7+a8＝45，由等差数列的性质可得，5a6＝45，则a6＝9.故选：D.4.【答案】D【详解】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.详解：如图所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5.【答案】D【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．【详解】解：作出，满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中，1，，为坐标原点设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值2，．故选：．6.【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得到选项.【详解】曲线y＝x2的焦点为（0，），所以P是假命题；是真命题，曲线的渐近线方程为y＝±2x，q是真命题，所以是真命题.故选：B.7.【答案】B【详解】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t.对于选项A，该企业2018年原材料费用为0.3×2t＝0.6t，2017年工资金额与研发费用的和为0.2t+0.1t＝0.3t，故A错误；对于选项B，该企业2018年研发费用为0.25×2t＝0.5t，2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t+0.15t+0.15t＝0.5t，故B正确；对于选项C，该企业2018年其它费用是0.05×2t＝0.1t，2017年工资金额是0.2t，故C错误；对于选项D，该企业2018年设备费用是0.2×2t＝0.4t，2017年原材料的费用是0.15t，故D错误.故选：.8.【答案】B【详解】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案.【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径，所以外接球的表面积.故选：B9.【答案】C【详解】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.10.【答案】B【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出sinθ，cosθ，设角θ的终边顺时针旋转后得到的角为角α，则cosα＝cos，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．【详解】∵角θ的终边经过点(2,﹣3)，∴，，设角θ的终边顺时针旋转后得到的角为角α，∴cosα＝cos(cosθ+sinθ)，∴终边与单位圆交点的横坐标为.故选：B．11.【答案】D【分析】把a，b，c化为，，，比较大小，则c>a>b，即可得解.【详解】∵a＝2log2，c＝5log5，∴，，，∵，，∴,又，，∴，∴c＞a＞b.故选：D．12.【答案】A【详解】求导，由题意可得恒成立，即为，设，即，分，，三种情况，分别求得范围，可得实数的取值范围.【详解】由函数得，由题意可得恒成立，即为，设，即，当时，不等式显然成立；当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，综上可得实数的取值范围是，故选：A.13.【答案】6【详解】大老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为的等比数列．所以距离之和所以这两只老鼠相逢所需天数为6天.14.【答案】-320【分析】先求展开式的通项公式，再求的展开式中含的项，最后求展开式中的系数.【详解】易知展开式的通项公式为，所以的展开式中含的项为与，所以展开式中的系数为.故答案为：-32015.【答案】【分析】根据题意得，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义求解离心率.【详解】由题：双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，O是的中点，所以渐近线与平行，所以，，所以，又所以，所以，离心率.故答案为：16.【答案】③【分析】在①中，由题意可得平面ACD，利用即能求出三棱锥A﹣BCD的体积；在②中，过点A作AE⊥平面BCD，交BD于E，则AE⊥CD，即可得AB与CD不垂直；在③中，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径为，从而三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．【详解】∵在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∴AC=BD，△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．在①中，当时,，，∴，，又，∴平面ACD，∴，故①错误；在②中，当面ABD⊥面BCD时，过点A作AE⊥平面BCD，交BD于E，则AE⊥CD，又CD与平面ABD不垂直，故AB与CD不垂直，故②错误；在③中，取BD的中点O，连接OA、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径为，∴三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值，故③正确．故答案为：③．17.【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围0＜A＜π，0＜B＜π即可解得A的值.（2）由余弦定理可得a的值，由正弦定理可求sinB的值.【详解】（1）由asinB及正弦定理可得，因为A+B+C＝π，所以，又，所以，因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以，所以，因此，即.（2）由余弦定理可得，所以，由正弦定理得，得.18.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）设AB1与A1B交于O，连接OC，先证明AB1⊥平面CA1B，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，故OC⊥平面ABB1A1，以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面CA1B1和平面C1A1B1的法向量，利用夹角公式求出即可．【详解】（1）证明：设AB1与A1B交于O，连接OC，如图，因为侧面ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，又CA＝CB1，所以OC⊥AB1，又A1B∩CO＝O，故AB1⊥平面CA1B，又AB1⊂平面CAB1，故平面CBA1⊥平面CB1A；（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，故OC⊥平面ABB1A1，以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设A1C＝BC＝BA1＝2，则OC，则，，A1(0,﹣1,0)，B(0,1,0)，由，得，所以，，，设平面CA1B1的一个法向量为，由，得，设平面C1A1B1的一个法向量为，由，得，故cos，又二面角C﹣A1B1﹣C1为锐角，故二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值为．19.【答案】（1）y2＝1；（2）∠AOB为定值【分析】（1）由PF1⊥x轴，及点P的坐标可得F1的坐标，即c的值，将P的坐标代入，由a，b，c之间的关系的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l的方程，代入椭圆中求出A，B的坐标，进而可得数量积的值为0，可得∠AOB；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积的表达式，可得恒为0，即∠AOB恒为定值【详解】（1）因为PF1⊥x轴，又在椭圆上，可得F1(﹣1，0)，所以c=1，1，a2=c2+b2，解得a2=2，b2=1，所以椭圆的方程为：y2=1；（2）当直线l的斜率不存在时，由原点O到直线l的距离为，可得直线l的方程为：x，代入椭圆可得A(,)，B(,)或A(,)，B(,)，可得，所以∠AOB；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l的距离为，可得，可得3m2＝2(1+k2)，①直线与椭圆联立，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0，将①代入中可得=16m2+8>0，x1+x2，x1x2，y1y2＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2，所以，将①代入可得0，所以∠AOB；综上所述∠AOB恒成立．20.【答案】（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i）分布列见解析，；（ii）【详解】（1）先根据频数分布表填写列联表,再将数据代入公式求解即可；（2）（i）的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,则,进而求得概率即可【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时,则列联表如下：男女合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上表数据代入公式可得所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关（2）（i）由题意知：的可取值为5,8,11,15,19,30,则所以的分布列为：5811151930∴（ii）由题意得,所以,所以21.【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为，；（2）0＜a．【分析】（1）求导得，求得、的解集即可得解；（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立⇔x﹣lnx，由（1）可得当x＝1时，函数y取得极大值，令g（x）＝x﹣lnx,(x>0)，利用导数研究其单调性即可得出x﹣lnx≥1．进而得出a的取值范围．【详解】（1）函数，e为自然对数的底数，则，令可得，，∴当，时，，单调递减；当时，，单调递增；∴的单调增区间为，单调减区间为，；（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立⇔x﹣lnx，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y取得极大值，令g(x)=x﹣lnx,(x>0)，g′(x)=1，可得x=1时，函数g(