2019-2020学年广东省肇庆市高三二模数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页广东省肇庆市2019-2020学年高三二模数学试题一、单选题1．图中阴影部分所对应的集合是（

）A． B．C． D．2．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（）A． B． C． D．3．已知函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．14．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在《格古要论·珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”.现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点，在内球表面上有一点，连接线段.若线段不穿过小球内部，则线段长度的最大值是（

）A．cm B．9cm C．3cm D．2cm5．二项式的展开式的常数项为60，则的值为（

）A．2 B． C． D．6．曲线在处的切线方程为（

）A． B． C． D．7．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与以为圆心的单位圆相交于点.若的横坐标为，则（

）A． B． C． D．8．已知，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线存在点，使得，设的面积为.若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（

）A． B．长度落在区间内的个数为35C．长度的众数一定落在区间内 D．长度的中位数一定落在区间内10．函数（）的部分图象如图所示，则（

）A． B．C． D．11．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示（

）参考数据：若，则，A． B．C． D．对于任意的正数，有12．在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（

）A．平面B．与平面所成角的正切值的最大值是C．的最小值为D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是三、填空题13．写出一个与向量共线的向量：.14．设函数，若，则.15．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为.16．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第项.四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，求的面积.18．已知数列的前项和为，，.（1）求证：是等差数列；（2）求数列中最接近2020的数.19．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是.（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明6：2的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望.20．如图，在四边形中，，，，.沿将翻折到的位置，使得.（1）作出平面与平面的交线，并证明平面；（2）点是棱于异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积.21．已知椭圆：（）的离心率为，的长轴是圆：的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值.22．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设是函数的导函数，讨论函数在上的零点个数.

参考答案1．【答案】C【分析】根据图中阴影部分和集合的运算可得答案.【详解】图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即，故选：C2．【答案】D【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.【详解】因为，所以，所以复数所对应的点的坐标为.故选:D.3．【答案】D【分析】由于函数是奇函数，所以其定义域关于原点对称，可求出，再把代入函数中验证即可【详解】解：函数的定义域为且因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，则，所以，因为，满足为奇函数，故选：D.4．【答案】C【分析】本题首先可根据题意确定外球的半径以及内球的半径，然后以外球表面上一点、内球表面上有一点以及球心作截面，根据线段不穿过小球内部得出线段与内球相切时线段的长度最大，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为外球的表面积为，内球的表面积为，所以外球的半径为，内球的半径为，如图，以外球表面上一点、内球表面上有一点以及球心作截面，因为线段不穿过小球内部，所以当线段与内球相切时线段的长度最大，则线段最长为，故选：C.5．【答案】C【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项，由常数项为60，列方程可求出的值【详解】，令，所以.令，解得，故选：C.6．【答案】A【分析】求出导函数，计算出为切线斜率，再求得，由点斜式写出直线方程，并整理．【详解】，，，故切线方程为，即.故选：A.7．【答案】B【分析】根据三角函数的定义求得，再由二倍角公式求得，然后由同角关系得后判断各选项．【详解】由三角函数的定义，可知，，则，、均有两解故选：B.8．【答案】A【分析】由，得，再利用勾股定理和结合已知条件及双曲线的定义可得，从而可求出双曲线的离心率【详解】由，得.设，.由，得，即.又，即，所以，所以，故选：A.9．【答案】ABD【分析】按照频率分布直方图含义依次判断.【详解】对于A，由频率和为1，得，解得，所以A正确.对于B，长度落在区间内的个数为，所以B正确.对于C，频率分布直方图上不能判断长度众数所在区间，不一定落在区间内，所以C错误.对于D，有个数，内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间内，所以D正确.故选:ABD.10．【答案】BC【分析】先求出，再根据图像得出周期，进而算出，最后代入点算出.【详解】根据图象，可得，设的最小正周期为则，解得，所以.将最低点的坐标代入中得，则（）解得（），所以.令，则故选：BC.11．【答案】ABD【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可.【详解】对于A，，A选项正确；对于B，由正态分布密度曲线，可知，所以，B选项正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知，所以，C选项错误；对于D，对于任意的正数，由图像知表示的面积始终大于表示的面积，所以，D选项正确故选：ABD.12．【答案】ACD【分析】证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断A选项的正误；求出的最小值，利用线面角的定义可判断B选项的正误；将沿翻折与在同一平面，利用余弦定理可判断C选项的正误；设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，求出的长，判断出点的轨迹，可判断D选项的正误.【详解】对于A，在长方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A选项正确；对于B，平面，所以，与平面所成角为，，所以，当时，与平面所成角的正切值的最大，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，的最大值为，B选项错误；对于C，将沿翻折与在同一平面，如下图所示：在中，为直角，，，在中，，，由余弦定理可得，则为锐角，可得，，由余弦定理可得，此时，因此，的最小值为，C选项正确；对于D，设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，由于平面，平面，，，所以交线为以为圆心，为半径的四分之一圆周，所以交线长是，D选项正确.故选：ACD.13．【答案】（答案不唯一，满足即可）【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得结果.【详解】与向量共线的向量为（写出其中一个即可）.取，可得出一个与向量共线的向量为.故答案为：（答案不唯一，满足即可）.14．【答案】【分析】先求出，再分和两种情况，把代入函数中列方程可求出的值【详解】∵，∴.当时，即时，，则，与相矛盾，应舍去.当，即时，，则，即，满足时.故答案为：.15．【答案】【分析】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可得，再根据三角形的性质：即可求解.【详解】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，则.依抛物线的定义，知点到该抛物线的准线的距离为，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和.故答案为：.16．【答案】2022【分析】把1改为，然后根据递推关系变形求解．【详解】依题意，得，故答案为：202217．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，所以，，所以；（2）由（1），，而，所以，．18．【答案】（1）证明见解析；（2）1980.【分析】（1）根据等差数列的定义证明；（2）由（1）得，然后由由求得，由在上是增函数，计算和后可得．【详解】（1）证明：.由，得.因为，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）解：由（1），得，即，则（）当时，也成立.所以（），则.在上是增函数，当时，；当时，.所以数列中最接近2020的数是1980.19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了7局小明获胜和恰好打了7局小亮获胜，再概率相加即可.（2）的可能取值为2，3，4，5，利用二项分布，分别求出其相应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）恰好打了7局小明获胜的概率是，恰好打了7局小亮获胜的概率为，∴比赛结束时恰好打了7局的概率为.（2）的可能取值为2，3，4，5，，，，或.∴的分布列如下：2345.20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）延长，相交于，连接，则为平面与平面的交线，由勾股定理可得，结合可得平面，在判断出平面即可证明；（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由二面角的余弦值为建立向量关系，求出即可求出体积.【详解】（1）如图，延长，相交于，连接，则为平面与平面的交线.证明：在中，，，，则，所以.由，，，得平面.又，所以平面，所以.由，，，得.所以，所以.又因为，所以平面，即平面.（2）由（1）知，，，.以点A为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.易得，，，，，则.设（），则，则.设是平面的一个法向量，则，令，则.是平面的一个法向量.由，解得.所以点是的中点.所以.21．【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）根据的长轴是圆：的直径，可得a，再由离心率，求得b即可.（2）由（1）可得，分过点的直线的斜率不存在，斜率为0，的直线的斜率存在且不为0时，分别求得弦长，，根据两直线垂直，由求解.【详解】（1）由，得.由，得，所以.所以椭圆的方程为.（2）由（1）可得.①当过点的直线的斜率不存在时，，，这时.②当过点的直线的斜率为0时，，，这时.③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，.由，整理可得.，.所以.直线的方程为，坐标原点到的距离，所以，所以.由，得，即.综上所述，四边形的面积的最小值为2.22．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）先求函数定义域，再出导函数，令，求出，由的正负确定的单调性与最值，得在上恒成立，从而得单调区间；（2）根据的零点与区间的关系（，，）分类讨论，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】解：（1）的定义域为.，令，则.当时，.令，解得，在上，在上，所以在单调递减，在上单调递增，且，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增.（2）①当时，即时，当