2019-2020学年海南省高三年级第一次模拟考试数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页海南省2019-2020学年高三年级第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知双曲线：，则“”是“直线是的一条渐近线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（

）A． B． C． D．5．在中，，，，分别是斜边上的两个三等分点，则（

）A．6 B．8 C．9 D．106．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．7．等比数列中，，.则的前9项之和为（

）A．18 B．42 C．45 D．18或428．已知函数的导函数为，且对任意，，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，则（

）A． B． C． D．10．已知函数的最小正周期为.将该函数的图象向左平移了个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则（

）A． B．是的图象的对称中心C．在上单调通增 D．在上的值域为11．如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（）A．与垂直B．与平行C．点到点，，，的距离相等D．与平面，与平面所成的角可能相等12．对于定义在上的函数和定义在上的函数，若直线同时满足：①，，②，，则称直线为与的“隔离直线”.若，，则下列为与的隔离直线的是（

）A． B． C． D．三、填空题13．已知向量，，若与共线，则实数.14．已知，则.15．已知，为正数，且，则的最小值是.四、双空题16．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为.五、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的通项公式；否则，说明理由.问题：数列的各项均为正数，其前项和为，是否存在正数使得，且？注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.18．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，且的面积为.（1）求；（2）求的值.19．为了解国内不同年龄段的民众旅游消费的基本情况.某旅游网站从其数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额数据如下表所示；旅游消费（千元）年轻人（人）958570506535中老年人（人）609511513011585把一年旅游消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.（1）从这些客户中随机选一人.求该客户是高消费的中老年人的概率；（2）估计低消费的年轻人的平均消费；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式：，其中0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82820．如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面.（1）若点是线段的中点，求证：平面；（2）点在线段出上且满足，求与平面所成角的正弦值.21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.（1）求椭圆的方程（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.22．已知函数在上单调递减.（1）求实数的取值范围；（2）若存在非零实数，满足，，依次成等差数列.求证：.

参考答案1．【答案】B【详解】直接利用交集的定义求解即可【详解】解：因为，，所以.故选：B2．【答案】D【详解】由复数的除法运算法则计算．【详解】解：.故选：D．3．【答案】A【详解】利用充分条件和必要条件的定义结合双曲线的有关性质进行判断即可【详解】解：当时，双曲线方程为，以渐近线方程为，满足充分性；反之，双曲线的一条渐近线方程为时，任意的均可，不满足必要性.故选：A4．【答案】A【详解】求出的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积，相减可得结论．【详解】解析由已知可得，的外接圆半径为1.由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为.故选：A．5．【答案】D【详解】以点为原点建立直角坐标系，写出向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.【详解】如图所示，以点为原点建立直角坐标系，则可设点，，所以，，所以.故选：D.6．【答案】C【详解】由函数的定义域排除A，奇偶性排除B，由函数值的大小（用基本不等式确定）排除D．【详解】解：因为函数在处没有意义一，排除A，且函数为偶函数，所以其图象关于轴对称，排除B，又，排除D，.故选：C．7．【答案】D【详解】利用等比数列的通项公式求出等比，从而求出，进而求出前9项之和.【详解】解析设公比为，则，即，所以，所以，所以或18.故选：D8．【答案】B【详解】构造函数，得出函数单调递减，原不等式等价于，进而可得结果.【详解】构造函数，则.∵，∴函数在上单调递减，∴，∴.故选：B.9．【答案】CD【详解】根据不等式的性质判断，结合指数函数性质判断D．【详解】命题意图本题考查不等式的性质.∵，∴，∴，A错误；，B错误；，C正确，，D正确．故选：CD.10．【答案】BCD【详解】由周期求得，利用平移后图象对应函数是奇函数求出，然后结合正弦函数的性质判断各选项．【详解】解：由，可得，函数的图象向左平移个位长度后，得到的图象，∵为奇函数，∴，∵，∴，，∴A错误.∵当时，∴，∴B正确.当时，，∴在上单调递增，C正确.当时，，，D正确.故选：BCD．11．【答案】AC【详解】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.因为，所以，所以平面，所以，从而A正确；由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B错误；点是的外心，所以到，，的距离相等，根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C正确；与平面所成的角即，与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D错误.故选：AC12．【答案】AB【详解】根据隔离直线的定义，函数的图象总在隔离直线的下方，的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.【详解】根据隔离直线的定义，函数的图象总在隔离直线的下方，的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，，此时函数的点处的切线方程为，且函数的图象在直线的下方；又由函数，可得，单调递增，因为，所以函数在点处的切线方程为，即，此时函数的图象在直线的上方，根据上述特征可以画出和的大致图象，如图所示，直线和分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A，B都符合；设过原点的直线与函数相切于点，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为，又由斜，可得，解得，所以，可得切线方程为，又由直线与曲相交，故C不符合；由直线过点，斜率为，曲线在点处的切线斜率为1，明显不满足，排除D.故选：AB.13．【答案】4【详解】求出两向量与的坐标，由平行的坐标表示计算，可得参数值．【详解】解：，，因为与共线，所以，解得.故答案为：4．14．【答案】1【详解】根据题中条件，由诱导公式，二倍角公式，以及弦化切，即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.15．【答案】4【详解】先由对数的运算法则计算可得，再由基本不等式求最小值即可得解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时取等号，此时，，故的最小值为4.故答案为：4.16．【答案】；【详解】由题意可知正四棱锥内有内切球，利用分割法及等体积法可求出球的半径，即可求解.【详解】每个侧面三角形的面积均为，底面正方形的面积为，所以四棱锥的表面积为；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面都相切，正四棱锥的高为，设球的半径为，所以四棱锥的体积，故，.故答案为：；17．【答案】答案不唯一，具体见解析【详解】由，得到，两式相减，是公差为的等差数列，进而得到，选择条件①，利用通项公式和前n项和求解，选择条件②分别求得求解，选择条件③，利用前n项和求解.【详解】由题意，，两式相减并整理，得，因为，所以，于是是公差为的等差数列.又，解得（舍去），所以.选择条件①：因为，所以，故.选择条件②：因为，，而，所以，与条件矛盾，故不存在满足条件的.选择条件③：因为，所以，故.18．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，得，又，可知.（2）结合（1）及余弦定理得，求出，再利用正弦定理可求得.【详解】（1），，又，得，又，所以.（2）由余弦定理得，即，解得.由正弦定理可得，故.19．【答案】（1）；（2）（千元）；（3）填表见解析；有.【详解】（1）根据样本中总客户数为1000，其中高消费的中老年人有200人,利用古典概型的概率求法求解.（2）利用频率分布表的平均数公式求解.（3）根据频率分布表完成2×2列联表，再利用公式求得，与临界值表对照下结论.【详解】（1）样本中总客户数为1000，其中高消费的中老年人有200人，随机选一人，则该客户是高消费的中老年人的概率为.（2）样本中低消费的年轻人的平均消费为（千元）.（3）2×2列联表如下：低消费高消费合计年轻人300100400中老年人400200600合计7003001000，因为，所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.20．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）根据和都为等边三角形，再由为的中点，得到，，然后由线面垂直的判定定理证明.（2）取的中点，连接，，由，，两两垂直.建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，设与平面所成角为，由求解.【详解】（1）因为和都为等边三角形，且有公共边，所以.因为为的中点，所以，，又因为，所以平面.（2）取的中点，连接，，由条件可得，，两两垂直.以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设，则，则点，，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，令，可得.设与平面所成角为，则.21．【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）解方程.①，②即得解；（2）设直线的方程为，联立方程组得，得到韦达定理，再利用韦达定理化简即得证.【详解】（1）当点与椭圆的上顶点重合时，有，所以.①又因为离心率，②由①②解得，，所以的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，联立方程组得，设