小学数学奥数提高训练题集

小学数学奥数提高训练题集即2×(100A+10B+C)=100B+10C+A展开得：200A+20B+2C=100B+10C+A移项整理：199A=80B+8C进一步简化：199A=8×(10B+C)这说明199A必须能被8整除。199除以8商24余7，所以7A必须能被8整除（因为199A=8×24A+7A）。A是一个数字，只能是1-9（因为是三位数的首位）。7A能被8整除，A只能是8（7×8=56，56能被8整除）。所以A=8。代入199×8=8×(10B+C)→199=10B+C。10B+C就是“数学”这个两位数，等于199？这不可能，一个两位数最大是99。说明我们之前哪里错了？哦！两个三位数相加，和可能是四位数，但题目中和是三位数“数学爱”，所以百位相加没有进位，即A+A<10，所以A<5。刚才我们忽略了这个前提，直接设了方程。A<5，所以A只能是1,2,3,4。那么我们重新从个位开始分析。个位：C+C=A或者C+C=A+10（进位）。十位：B+B+个位进位（0或1）=C或者B+B+个位进位=C+10（进位）。百位：A+A+十位进位（0或1）=B。因为A+A+十位进位=B，且A至少是1，所以B至少是2A（如果十位没进位）。我们尝试A=1：百位：1+1+十位进位=B→B=2+十位进位（0或1），所以B可能是2或3。个位：C+C=1或11。C是整数，C+C=1不可能，所以C+C=11，C=5.5，不是整数。所以A=1不对。A=2：百位：2+2+十位进位=B→B=4+十位进位（0或1），B可能是4或5。个位：C+C=2或12。如果C+C=2→C=1。此时个位无进位。十位：B+B+0=C=1→2B=1→B=0.5，不可能。如果C+C=12→C=6。此时个位向十位进1。十位：B+B+1=C=6→2B=5→B=2.5，不可能。所以A=2不对。A=3：百位：3+3+十位进位=B→B=6+十位进位（0或1），B可能是6或7。个位：C+C=3或13。C+C=3不可能，C+C=13→C=6.5，不对。所以A=3不对。A=4：百位：4+4+十位进位=B→B=8+十位进位（0或1），B可能是8或9。个位：C+C=4或14。如果C+C=4→C=2。个位无进位。十位：B+B+0=C=2→2B=2→B=1。但B=1，与百位B=8或9矛盾。如果C+C=14→C=7。个位向十位进1。十位：B+B+1=C=7→2B=6→B=3。此时百位：B=8+十位进位。十位计算B=3，那么十位是否有进位给百位呢？十位B+B+1=3+3+1=7=C，没有进位（7<10）。所以百位B=4+4+0=8。但我们算出来B=3，与B=8矛盾。不对啊？哦！十位：B+B+个位进位（1）=C或者=C+10。我们刚才只考虑了等于C的情况，没考虑等于C+10并向百位进位的情况。再试A=4，个位C=7（C+C=14），个位进1。十位：B+B+1=C+10k，k是0或1（进位）。C=7，所以B+B+1=7+10k。k=0时，B+B=6→B=3。此时十位无进位。百位：A+A+0=4+4=8=B。但B=3≠8，矛盾。k=1时，B+B+1=17→B+B=16→B=8。此时十位向百位进1。百位：A+A+1=4+4+1=9=B。B=8，9≠8，还是矛盾。A=3时，个位C+C=13，C=6.5不行。A=2，A=1都不行。难道题目错了？还是我哪里又错了？哦！我们之前假设“数学爱”是三位数，所以百位是B，十位是C，个位是A。两个“爱数学”相加，即ABC+ABC=BCA。2ABC=BCA。ABC是一个三位数，BCA也是一个三位数。所以2ABC=BCA<1000→ABC<500，所以A<5，这点没错。我们换个方式，2*(100A+10B+C)=100B+10C+A→200A+20B+2C=100B+10C+A→199A=80B+8C→199A=8*(10B+C)。这个等式是对的。所以199A必须等于8乘以一个两位数（10B+C）。199是个质数（我记得199是质数）。所以A必须是8的倍数，因为199和8互质。A是1-4之间的数字，又是8的倍数，A只能是0，但A是首位不能为0。这就陷入了困境。这说明我们最初的假设“个位C+C=A或A+10”可能忽略了一种情况，即C+C=A+20？不可能，C最大是9，9+9=18，最多进1。所以，唯一的可能是题目中的“爱数学”是一个三位数，和“数学爱”也是三位数，但我们之前的推导得出A必须是8，此时10B+C=199，这不可能。这说明，我们之前“忽略了和是四位数，但题目把千位省略了？”但题目明确写的是“数学爱”三位数。看来，我必须重新审视。或者，我哪里算错了？199A=8*(10B+C)，当A=8时，199*8=1592=8*(10B+C)→10B+C=1592/8=199。10B+C=199，这意味着B=19，C=9，这不可能，B和C都是一位数。所以A=8这条路也走不通。难道这道题无解？不可能。肯定是我哪里考虑不周。我们再从竖式直观地看：ABC+ABC--------BCA个位：C+C→末位是A。十位：B+B+个位进位→末位是C。百位：A+A+十位进位→末位是B。我们假设个位有进位（C≥5），则C+C=10+A→A=2C-10。十位：B+B+1→末位是C。即2B+1=10m+C(m是0或1，因为2B+1最大是2*9+1=19)。百位：A+A+m→末位是B。即2A+m=10n+B(n是0或1，因为2A+m最大是2*9+1=19，但A=2C-10，C最大是9，A最大是8，所以2*8+1=17，n是0或1)。因为A=2C-10≥1（A是首位），所以2C≥11→C≥6（C=6时A=2，C=7→A=4，C=8→A=6，C=9→A=8）。现在我们对C取值：C=6→A=2*6-10=2。十位：2B+1=10m+6→2B=10m+5。10m+5是奇数，2B是偶数，不可能。C=7→A=4。十位：2B+1=10m+7→2B=10m+6→B=5m+3。m=0→B=3。百位：2A+m=2*4+0=8=10n+B=10n+3→10n=5→n=0.5不行。m=1→B=5*1+3=8。百位：2*4+1=9=10n+8→10n=1→n=0.1不行。C=8→A=6。但A=6，A+A=12，百位上A+A=12，再加上十位可能的进位m（0或1），B=12+m或13+m，B至少12，不可能是个位数。所以A=6太大了（A<5之前的结论是对的，因为A+A+m=B，B是一位数，所以A+A≤9→A≤4）。所以C=8、9导致A=6、8，都太大，A≥5，A+A≥10，百位和B至少是10，矛盾。C=5→A=0（2*5-10=0），A=0不是三位数首位。C=4→A=2*4-10=-2，不可能。所以，个位无进位的情况呢？C+C=A(A=2C)，此时C≤4（因为A=2C<10，C<5）。百位：A+A+十位进位=B→B=2A+十位进位=4C+十位进位(0或1)。十位：B+B+0(个位无进位)=C或C+10。即2B=C或2B=C+10。因为B=4C+k(k=0或1)，C≤4。C=1→A=2。B=4*1+k=4+k(k=0→4,k=1→5)。2B=C=1→B=0.5不可能。2B=1+10=11→B=5.5不可能。C=2→A=4。B=8+k(k=0→8,k=1→9)。2B=2→B=1与B=8或9矛盾。2B=2+10=12→B=6也矛盾。C=3→A=6(A=2*3=6>5，A+A=12>10，百位B=12+k≥12，矛盾)。C=4→A=8>5，同上，矛盾。C=0→A=0，矛盾。天啊，这道题到底怎么回事？难道真的无解？还是我今天脑子不好使了？不，肯定有解。我记得这类题是经典题。哦！我知道了！“爱数学”是一个三位数，“数学爱”也是一个三位数，两个三位数相加，和是三位数，那么百位上A+A必须等于B，不可能有进位，因为A+A+1=B的话，B就会比2A大1，但A至少1，B至少3。但刚才A=2时，我们漏了什么？再试A=1：个位C+C=1→不可能。C+C=11→C=5.5→不行。A=3：个位C+C=3→不行。C+C=13→C=6.5→不行。A=4：个位C+C=4→C=2。无进位。十位B+B+0=C=2→B=1。百位A+A+0=4+4=8=B。B=1≠8。如果十位B+B+0=C+10→2B=2+10=1