广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第二阶段质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第二阶段质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=3−4i的模长是(

)A.5 B.6 C.7 D.82.已知平面向量a=(6,−4)，b=(1,λ+1)，若a⊥b，则A.−52 B.12 C.13.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=5，b=6，cosB=79，则c=(

)A.7 B.119 C.8 D.4.已知正四棱锥的底面边长为32，侧棱长为5，则它的体积为(

)A.18 B.21 C.24 D.275.已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α是空间中某平面，下列命题正确的是(

)A.若l⊥m，m//n，则l⊥n B.若l//α，m⊥l，则m⊥α

C.若l⊥m，m⊥n，则l//n D.若l//m，m⊂α，则l//α6.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.30∘ B.45° C.60° 7.已知向量a与b的夹角为π6,a=2,b=1，则向量aA.b B.3b C.a 8.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=6,AB⋅AD=6，动点P在边BC上，则PAA.[−6,−2] B.[−2,10] C.[−2,6] D.[−6,10]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=3−i2+i，则下列结论中错误的是(

)A.z的实部为−1 B.z的虚部为−i

C.z=2 D.z的共轭复数为10.如图所示，在正方体ABCD--A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1A.直线AM与CC1是异面直线 B.直线MN与BD1是共面直线

C.直线BN与MB1是异面直线 D.11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，且2c−b=2acosBA.A=π6 B.△ABC外接圆的面积为π

C.△ABC面积的最大值为334三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b的夹角为60∘，且a=b=1，则a13.已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2，侧面积是32π，则该圆台的体积为

14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bc=b2+c2−a2．

(1)求角A的大小；16.(本小题15分)(1)已知a=(4,2)，求与a(2)已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，当λ为何值时，a+λ(3)已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a17.(本小题15分)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a=2(1)求a，b；(2)求a与b的夹角．18.(本小题17分)如图，P为圆锥顶点，O为底面圆心，A，B，C均在底面圆周上，且▵ABC为等边三角形．(1)求证：平面POA⊥平面PBC；(2)若圆锥的底面半径为r=2，高为h=22，求点A到平面(3)在(2)的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由．19.(本小题17分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1

中，AB=8,AC=6,∠BAC=90∘

(1)求直三棱柱ABC−A1(2)求证：A1C//

面A(3)一只小虫从点A1

沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．

参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.A

6.B

7.B

8.D

9.ABC

10.AC

11.BCD

12.313.7π314.π615.解：(1)由余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc=2bc2bc=22，

∵A∈(0,π)，16.解：(1)设与a垂直的单位向量为e=(x,y)则x2+y2所以e=5(2)因为a=(1,0)，b=(1,1)，所以因为a+λb与a垂直，所以所以(1+λ,λ)⋅(1,0)=0，即1+λ=0，所以λ=−1．(3)a+kb与a即a2因为a2=32=9解得k=±34.也就是说，当k=±34

17.解：(1)因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为则|e1|=1，|又a2所以|a同理b2所以|b(2)由题得，a⋅设a与b的夹角为θ，则cos θ=因为θ∈[0,π]，所以θ=2π则向量a与b的夹角为2π3

18.解：(1)证明：延长AO，交BC于点M，由▵ABC为等边三角形，得O是▵ABC的中心，则AO⊥BC，易知PO⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PO⊥BC，又PO∩AO=O，PO，AO⊂平面POA，所以BC⊥平面POA，又BC⊂平面PBC，所以平面POA⊥平面PBC．(2)连接PM，作AH⊥PM于H，由(1)知BC⊥平面POA，因为AH⊂平面POA，所以BC⊥AH，因为BC∩PM=M，BC，PM⊂平面PBC，所以AH⊥平面PBC，故A到平面PBC的距离为AH的长．易知AM=32AO=3又PO=22，所以所以PM=AM，又∠AMH=∠PMO，所以Rt▵AMH≌Rt▵PMO，故AH=PO=2所以点A到平面PBC的距离为2(3)存在外接球，设球心为Q，由对称性可知球心在直线PO上，由球心定义可知Q是直线PO和线段PA中垂线交点，下面为截面示意图：设球半径为R，在直角三角形OAQ中，由勾股定理知R2则R2=(2所以球表面积S=4πR

19.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1

中，由由AB=8,AC=6,∠BAC=90∘

，得BC=10

，S所以直三棱柱ABC−A1B1C(2)连接A1B∩AB1=E

，连接DE

，

由矩形ABB1A1

，得E则DE//A1C

，又A1C不在

平面AB1D上所以A1C//

平面A

(3)当小虫从点A1

沿▵A1B1C1

爬到点D，把矩形BCC连接A1D

，过A1

作A1F⊥BC

于F

，交B由BC//B1C1

，得A1O⊥B1OC1=A1因此A1D=当小虫从点A1

沿正方形ACC1A1

爬到点D，

把正方形AC或把正方形ACC1A1

在左图中，取AB

中点G

，连DG

，显然B,A,A1

共线，

则DG//AC,DG=12AC=3而A1G=AA1+AG=10在右图中，AD=AC+CD=11

，A1D