2023年上海市普陀区高考数学二模试卷

2023年上海市普陀区高考数学二模试卷

一、填空题（其中第2题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）

1.（4分）设全集U=R,若集合A={x||x|>l,xeR）,贝ij月三

2.（4分）函数y=cos、-$i/Qx的段小正周期是

3.（4分）现有一组数1,】，2,2,3,5,6,7,9,9,则该组数的第25百分位数为,

4.（4分）设3i（i为虚数单位）是关于x的方程；犬+„1=（）（由€/?））的根,则111=.

5.（4分）函数y:户手的定义域为.

6.（4分）若兀<8<g且sin6=—刍则tan（8—彳）=

7.（5分）现有一个底面半径为2cm、高为9cm的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为cm2（（损耗

忽略不计）.

8.（5分）设△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=7:5:3,且SABC=150,则此三角形最长的边长为.

9.（5分）“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位kw・h）与气温x（单位：C）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的

气温，这两者之间的对应关系见下表：

气温X181310-1

用电量y24-43864

若上表中的数据可用回归方程y=-2x+b（b£Rj来预测，则当气温为-4℃时该小区相应的用电量约为kwh.

10.（5分）设八、F送J双曲线I吗-?=16>0）左、右焦点，且IT的离心率为瓜若点M在I的右支上，直线FM与I的左支相交

于点N,且\MF2\=\MN\,则\FtN\=.

SI天/共l3天

11.（5分）设a〉0且aHl,若在平面直角坐标系xOy中，函数y=log^ax+2）与y=log。廿一的图像于直线1对称，则1与这两个函数图像

的公共点的顺标为

12.（5分）设x、yWR,若向量彳工［满足：=G，l））=（2，y）,；=（1，1）,且向量1—X与c互相平行，则同+2向的最小厄为

二、选择题

1.（4分）设a、b为实数，则%>b>0,的一个充分非必要条件是（）

22

A.>/a-1>V6-1B.a>bC.7b>-aD.a-b>b-a

2.（4分）设H、b表示空间的两条直线，a表示平面，给出下列结论：

⑴若allb且bua,则alla

⑵若a|Ia且bua.Mallb

（3）若8|||）且2||（1,贝佃|（1

⑷若lala且b||a,则a||b

其中不正确的个数是（）

A.1D.2个C.3个D.4个

3.（5分）设P为曲线（C:y=4x上的任意一点，记P到C的准线的距离为d.若关于点集A=WMM=d^B={&y）|（x-

1）2+防1）2=3}给出如下结论:

①任意re（0,+8）,ACB中总有2个元素；

②存在r£（0,+8）,使得AnB=0.

其中正确的是（）

A.①成立，②成立B.①不成立,②成立C.①成立，②不成立D.①不成立，②不成立

4.（5分）设3>0,若在区间［1,2"）上存在a,b且Xb,使得sin（3a）+cos（3b）=2,则下列所纶的值中3只可能是（）

三、解答题

朔2页/共13贝

1.（14分）如图，在直三棱柱48C-4B1cl中，4C=4,BC=3,AB=5.

（D求证：AC1FCi；

⑵设AC,与底面ARC所成角的大小为（60。,，求三技雄C-48cl的体枳.

2.（14分）已知（a>6均为不是1的正实数,设函数y=/（x））的表达式为./(x)=a-fex(xGR).

⑴设a>b且/（x）4ba。求x的取值范围；

⑵设a=5,b=4,记函=^^人日•二人办现将数列aEl中捌除加的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为制,求£i=1q的值.

第3人/共13页

3.(16分)现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球：第三个盒子装有3个白球、2个黑球.现

任取一个盒亍，从中任取3个球.

(1)求取到的白球数不少于2个的概率：

(2)设X为所取到的白理数，求取到的白球数的期望.

4.(16分)在xOy平而上设椭圆.「：二+y2=梯形ABCD的四个顶点均在F上，且ABCD.设直线AB的方程为y=kx(k€/?)

nt4

"名>•

(2)设爪=企,直线CD经过点P(0,2),求

第1贝/共13页

(3)设6=、②团8|=2|CD|,AD与BC的延长线相交于点M,当k变化时,3M/18的面积是否为定位?若是，求出该定值：若不是,

请说明埋由.

5.(18分)已知a、设函数y=/(x)的表达式为/(x)=a•x?一打.加工(其中x>0).

(1)设a=l,b=0,当时，求x的取值范围:

⑵设a=2,b>4,集合。=(0，1],记g(》)=2cx-2(ce/?),若y=g(x)在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s,I,均有

f(s)Ng(t)成立,求c的取值范围：

(3)当a=0,bV0,x>1时,记AG)=[/CO]"+次jp其中n为正整数.求证:[/iiW]n+2>/i0(x)+2n.

第5页/共I3天

2023年上海市普陀区高考数学二模试卷（答案&解析）

一、填空题（其中第2题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）

1.解：全集U=R，集合A={x21,x£R}={x|xWT或x£R},二力=x|-1<xV

l,xeR.

故答案为：{x|-l<x〈l,xSR}.

【解析】求解绝对值的不等式化简A,再由补集运算的定义得答案.

2.解:y=cos2x—sin2x=cos2x,

TIn2n

—=nr.

.­T=—3=2

•••故答案为：n.

【解析】根据已知条件，结合三角函数的二倍为公式，以及周期公式，即可求解.

3.解由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则10X25%=2.5,所以该组数的第25百

分位数为第三个数2.

故答案为：2.

【解析】根据已知数据集，应用百分数的求法求第25百分位数即可.

4,解：•；3i（i为虚数单位）是关于x的方程；Y+m=o（m€R）的根，

•••（3i）2+m=0,即m=9.

故答案为：9.

【解析】由已知直接把x=3i代入方程求解m的值.

5.解：要使原函数布.意义，则3—二30,即上工0,解得

XX

x<0或x

，函数y=JT］的定义域为（一8,0）U卜+8）.

故答案为：（一8,0）U［；，+CO

【解析】由根式内部的代数武大于等于0,求解分式不等式得答案.

第6贝/共I3贝

=

6,解：n<0<^rsin0

cusO=-2•td【M=*

..(cn\tand-tan7；T1

则tsttan(0--J=-------------=^=

\4/i4.un0tan-4i+j7

故答案为:-J.

【解析】由同角三角函数的关系，求出cos。.进而可得tan0,再利用两用差的正切公式计算求解即可.

7.解：由圆柱和球的体积相等价：7rx22x9=^/?3=>/?=3,

/.该纲球的表面枳为：4nR2=36ncm2.

故答案为：36x.

【解析】利用圆柱的体积与球的体枳相等，列出方程求解即可.

8.解：由即意可设(a=7k,b=5k,c=3k,k>d,则cosA=

M-—25由9d-4标_1

-2bc~一—2x5Acx3*~~

VAe(C,n),

4=g,

SABC=15>^,

••W・5A•3k・?=1573,蚱褥k2=4,解得k=2,

.,.a=14,b=10,c=6.

故最长的边长为】4.

故答案为：14.

【解析】根据已知条件，设山边长，结合余弦定理，求出角R,再结合三角形的面积公式，即可求解.

9.解:根据题盘X=JQ-L3mP_L=10歹=2七出产力=40,

4704

则将(1C,40)代入回归方程可得,40=-20+b,得b=60

则回归直镂方程为y=-2x4«0,

当x=T时，用电量约为68kw・h,

故答案为：6&

【解析】根据回归直观方程的性质，计算出((x>y)„将其代入到回归方程可蚱b,再令x=-4“即可好.

鼐71/共I3取

10.解:由I的离心率为正可得。=合符=向解得a=1

因为所以由双曲线的定义，

可得IMFJ-|MF2|=|MN|+|WFi|-|MF3|=川八|=2a=3.

故答案为：3.

【解析】由双曲线的赢心率公式计算可得a,再在双曲线的定义计算可得所求位.

11.解：y=log-^―=-log(2x+a)=logi(2x+a),

x(xI十aao

因为函数y=log式ax+2)与y=bgi(2x+a)的底数互为倒数，

.

函数y=log”(ax+2)Vy=logi(2x+a)的图像关于直线1对称，

a

所以函数y=loga(ax+2)与y=log±(2x+a))的图像关于x轴对称，

a

即直线1为X轴，

所以ax+2=2x+a,所以a=2,

则两个函数分别为y=log(2r+2),y=logi(2x+2),

22

令log2(2x+2)=0,logl(2x+2)=0,得:2x+2=l,解得：*=心此时产。，

2

所以】与这两个函数图像的公共点的坐标为(

故答案为：(0>.

2

【解析】根据两函数的图象关于直线1对称，再会合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称，可求得a,可得出答案.

12.解：a-b=(x-2»1-y)且役一办与C互相平行，

.,.x-2-(i-y)=O,

:.y=3-x,

二值十2»=(x+4,7—2x),

(|a|+2|b|)>(a+2b)2=(x+4)2+(7-2x)2=Sx2-20x+65=5(x-2)2+45>

45

\a+2|d|>3V5,

二闷+2向的最小值为36

故答案为：3次.

【解析】可求出a-h=(x-2>l-y],根据之一3c平行可得出y=3-x,从而得出G+2月=(%+4,7—2x),

根据(|a|+2山|)2皂G+加2进行数量积的坐冰运算即可求出最小值

二、选择题

茶8人/共13人

1.解:由孤一1>“一1,得［"［I：”］：可得a>b21,可推出a〉b〉O,反向韭不出，满足；由a?〉/,则|a|〉|b|,推

不出a)b〉O,反向可推出，不满足；

由->则a>b>0或b>O>a或0>a>b,推不出a>b>0,反向可推出，不满足：

ba

由a-b)b-a,则a>b,推不出a>b〉O,反向可推出，不满足.

故选：A.

【解析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与条件“a>b>0”推出关系即可.

2.解：根据题意，依次分析4个结论：

⑴若z|b且buQ,则8||&或&<=Q,⑴错误;

⑵若上I。且bua,则a|b或a与b异面，⑵错误；

⑶若zlbfialIa,RlJbla或bua,(3)错误；

⑷若N|。且blIa,则a与b平行、相交或异面，⑷错误；

其中有4个结论不正确.

故选：D.

【解析】根据题意，由直线与直线平行、直线与平面平行的性质分析4个结论是否正碓，即可得答案.

3.解:曲线C:y2=4x的焦点F(l,O),则|4=d,

由|MP|=d得，点M的轨迹是以P为圆心，d为半径的圆,

6-1)2+。-1)2=/2的圈心打1,1),

当点P在原点处时,P(0,0),此时d=L

此时点M的轨迹方程为：x2+y2=1,

因为1+1=2>1,所以点N(l,D在圆必+丫2=1外，

则存在rw(0,+8),使得两圆相离，即ACBW,

故①错误，②正确，

故选：B.

【解析】根据题意可得点M的轨迹是以P为圆心，d为半径的圆，当点P在原点时，点N(l,1)在点M的轨迹圆外，即可得出结论.

第9贝/转13负

sineua=1

且3〉。,

{COS3b=1

(l+4m)rr

n=.’

b=­

、a

又a,be[n,2")且@。,

则屋堂〈乎2…CZ.

✓1+4m

n<G）<-----

所以J且叫n6Z,

n>m+-

4

所以nr。.Ml（或n为其它大于1的整数）不涧足;

m=l,"2时，2<w

m=2,n=3H,t»3VsS,

所以里满足要求，其它不符合.

3

故选：D.

l+4m

sina）a=1n<&><-----

,且3>0,结合已知可得以:且m,nWZ,分类讨论求3范围，即可得答案.

（COSCdD=1n>m+-

三、解答题

1.解：⑴证明：由AC=4,BC=3,AB=5,得AB2=AC2+CB2,

ZACB=90",AACIBC,

在直三棱柱ABC-AiB£i中，可得（Cl1BC.BCnC,C=C,

.••AC1平面CBB1cl,•••BCiU平面CBBR,

.".AC1BC,：

（2）由C£_L平面ABC,可得AC为A3在底面ABC内的射影，

知/CM即为AC,与平面ABC所成的角，二/CMC=60。,

又V△（；/（：为直角三角形,且.AC=4,GC=4V3,

C£为三棱锥C「ABC的高,

Vj/BCi=Ct-ABC~~,SABC*C】C=-x6x4V3=8y[i

三极锥C-ABg的体积88V3.

【解析】（I）由已知可得4（*JLRCC'CJLAC,进而可证Ar_L平面「RRGi,可证结论：

⑵由已知可得4\AC即为AJ与平面ABC所成的角，可得C\C=40进而可求三棱徒Cf8cM体枳.

2.解：（1）由a>b且./（x）Wb・a\可得。•b*Wb•又a>b,

且a,b均为不是1的正实数.可得（I、）<-,

第10贝/共I3贞

由0<2<1,可得xNl,即x的取值范围是［1,+8）：

a

（2）由aS=logzab"=log2a+nlog2b=2n—4,

M=cbn=4-2,

而｛an｝£勺前100项中有-2,0,4,6,8,-,194,196,

其中属于｛bn｝的有4,16,64,

所以卜川的前100项是｛an）的前103项去掉4,16,64三个元素，

则£鲁q=皿？2。6-，）_4-16-64=10216.

【解析】（1）由指数函数的小调性和不等式的性质，可得所求取值范国；

（2）分别求得an,bn,运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的通项公式，计算可行祈求和.

3.解：⑴设取到的白球数为X,则X的可能值为：0,1,23,

取到2个白球的概率，则P（X=2）=；X^+：X^=《=2，

3v；3C93Ulv

取到3个白球的概率，f（x=3）=ix^=l

则取到的白球数不少于2个的概率：P（X>2）=^+^=1;

（2）P（X=0）=-x^+-X3=-='

3ci3306

'"3Cg3cg3Q302，

P（X=2）=Lx岑+^x华=2=二，

'，3Q343010

P（x=3）=-x^=~,

''3U30

所以取到的白球数的期望：E（x）=0xi+lxl+2x^+3xi=5

【解析】（D用乘法公式和全概率公式.分别算出取到2个白球和3个白球的概率即可：

⑵分别计算出取到的白球数的概率，计算期望即可

4.解：（1）因为AB为I的长轴，ABCD的高为-,ABZ/CD,

2

1x21

所以点（:的纵坐标为-,代入椭圆方程得-+-=1,

2m24

可得X=等，又因为C在AB上的射影为I的焦点.

:,c=-1m2-4=iyi,解得“X,,.,（«>1,.'.BF2.

（2）由题意，精圆I7':9+严=1,直线00的方程为广|0£+24仁1?）,

设C（xwJ.D（x>y-,则j2+y=1,

\y=kx+2

化简得（2k2+1）/+8kx+6=0,A=64k2-24（2k2+1）>0.

二xxkx2+必)+

OC*OD=xlx2+yiy2=i2+(i+2)(/CX2+2)=(k+l)x1x2+2k(xx4

第i1页/共l3费

8*^=-2^10=__U_

2kJ*l2fc2+12火Jl2火Jl2fc2+i

•.f••.・1<-1+就<孑

.,・瓦•丽的取值范围为(一1'3；

⑶设直线CD的方程为y=kx+t,C(xvyt),。(心丫白,

A(xjyj),B(x<,y.,),联立■2+y-A化简得(2fcz+l)x2+4ktx+2t2-2=0,

、y=kx+t

22

4=16Pe-4(2^+l)(2t-2)>0,.-.X|+x2=前,与电=黑，

,|叫=V/m?-\/(瑞)21畸工=v/ITP•”6霆产8

W2=_2

Z

联立~A化简得(2k?+l)x-2=0,x3+x4=0,X3X4=-7",

.y=kx

,iE7•启=一等苧

•.♦|AB|=2|CD|,所以24Tp.吟券"=vrm•2"歌，),

化简得4*=6d+3,即同=罕，又AB的高为h=鼻

ix|AB|xh=1.v/TTP・建甲•/

将用=罕代人化简得，S.=在密逛=瓜

故AYAB的面积为定值&.

【解析】(1)由题意可得点C的姒坐标,代入椭例方程，可得m：(2)设直线CD的方程为：y=fcr+2(〃WR),联立方方程.写出书达定

理，并结合k?的范围即可求：

(3)分别将直线CD,AB的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式代入|48|=2|CO|列式化简得关于k的关系式,从而

可得△"加的面枳，代入k的关系式化简计算即可求出定值.

5.螭:(1)由题设/(*)=X2,则即J-!=L2>o,故