山东省济南市市中区2024-2025学年九年级数学上学期期末试卷

2024-2025学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题4分,满分48分，每小题只有一个选项符合题意）

1.（4分）下列是一元二次方程的是（）

A.2户1=0B.，+x=lC.^-1=0I).—+y=l

x

2.（4分）如图所示的组合体，它的主视图是（）

3.（4分）已知@=口，那么下列式子中肯定成立的是（〉

34

A.40=3〃B.3ZP=4/7C.0=4〃D.mn=12

4.（4分）在正方形网格中，△月面的位置如图所示，则tan〃的值为（）

B.返C.V3D.亚

A.1

23

5.(4分)抛物线尸-1x-2)2-1的顶点坐标是()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(2,1)D.(2,-1)

6.（4分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果.随着试验次数的增加,

“钉尖向上”的频率总在某个数字旁边，显示出肯定的稳定性，可以估计“钉尖向上”

的概率是（）

共向上,的频率

0.620

0.618

0500100015002000250C30003500400045005000

A.0.620B.0.618C.0.610D.1000

7.（4分）已知点（3,-4）在反比例函数9=三的图象上，则下列各点也在该反比例函数

x

图象上的是（)

A.(3,4)B.(-3,-4)C.(-2,6)D.(2,6)

8.（4分）如图,是△力回的外接圆,/BOC=120°,则/物。的度数是（）

A.120°B.80°C.60°D.30°

9.（4分）在反比例函数y=-2图象上有三个点月（小，％）、B%）、C（必，期〕，若

x

汨＜0＜及＜的，则下列结论正确的是（）

A.73</2</1B.y\<yz<yiC.y2<y^<y\1).yz<y\<y2

1（）.（4分）如图，矩形蛾GO的两边在坐标轴上，点。为平面直角坐标系的原点，以y轴上

的某一点为位似中心，作位似图形/出6〃且点8尸的坐标分别为（・4,4）,（2,1）,

C.(0,2)D.(0,1.5)

11.（4分）若关于x的一元二次方程Af-6户9=0有两个不相等的实数根，则a的取值范

围（）

A.4V1且AW0B.〃工0C.k<\I).k>\

⑵（4分）如图，抛物线y=a（A--1）2U（c/＞0）经过点（-1,0）,顶点为M过点P（0,

＞4）作x轴的平行线/,/与抛物线及具对称轴分别交于点儿B、H.以下结论：①当x

2

=3.1时，y>0；②存在点P,使AP=PH,、③（BP-AP）是定值；④当a=2时，y=\a

A.①@<§）B.①@©C.①③④D.②③④

二、填空题（共6小题，每小题4分：满分分24分）

13.（4分）小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮

7厘米，此刻小红的影长星米.

14.（4分）某校去年对试验器材的投资为2万元，预料今明两年的投资总额为8万元，若

设该校这两年在试验器材投资上的平均增长率为x,则可列方程：.

15.（4分）在一个不透亮的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相

同，通过多次摸球试验后发觉，摸到红球的频率稳定在0.25旁边，则估计口袋中白球大

约有个.

16.（4分）如图，一扇形纸扇完仝打开后，外侧两竹条力夕和力C的夹角为120。，，仍长为

25c///,贴纸部分的宽微为15c/〃，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为.（结果保留

17.（4分）如图，在RI△4%中，ND=90°,〃是15的中点，过〃点作/厉的垂线交力。

于点£BC=6,sin/i=W,则应三

5

EA

3

识状况.

（1）若小明随意按下一个开关，则下列说法正确的是.

4小明打开的肯定是楼梯灯

田小明打开的可能是巨卜房灯

£小明打开的不行能是客厅灯

D.小明打开走廊灯的概率是工

3

（2）若随意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时

亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明.

24.（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙业V,某人利用旧墙和木栏围成

一个矩形菜园/仍切，其中力底,MV,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木

栏.

（1）若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；

（2）求矩形菜园力筋面积的最大值.

M////////“//N

AD

BC

25.（10分）如图1,在平面直角坐标系x勿中，己知△力比；N/1回=90°,顶点力在第-

象限，B,C在x轴的正半轴上（C在〃的右侧），BC=2,科=2、乃，XADC与XABC关于

力。所在的直线对称.

（1）当勿=2时，求点〃的坐标；

（2）若点力和点〃在同一个反比例函数的图象上，求必的长；

（3）如图2,将（2）中的四边形465向右平移，记平移后的四边形为ABGB,过点

。的反比例函数y=K（4W0）的图象与物的延长线交于点尺间：在平移过程中，是

x

否存在这样的h使得以点R4,〃为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请干脆写

出全部符合题意的〃的值；若不存在，请说明理由.

5

26.（12分）如图，在正方形力比刀中，边长为4,/J协1-90°,将乙版V绕点〃旋转，其

中〃"边分别与射线切、直线〃’交于反。两点，〃A‘边与射线应'交于点长连接/方且

砥与直线4C交于点P.

（1）如图1,点£在线段/历上时，①求证：AE=CR②求证：〃「垂直平分跖

（2）当力E=1时，求闻的长.

27.（12分）如图，己知抛物线＞+c经过的三个顶点，其中点力（0,1）,点

3

8（-9,10）,力加x轴，点〃是直线力。下方抛物线上的动点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）过点尸且与y轴平行的直线/与直线月8月。分别交于点艮F,当四边形月郎的面

积最大时，求点夕的坐标；

（3）当点尸为抛物线的顶点时，在直线力C上是否存在点0,使得以。、只Q为顶点的三

角形与△力仇7相像，若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

6

2024-2025学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）

1.（4分）下列是一元二次方程的是（）

A.2产1=0B.V+x=lC./-1=0D.—+x=1

x

【分析】依据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方

程进行解答即可.

【解答】解：儿不是一元二次方程，故此选项错误；

以不是一元二次方程，故此选项错误；

a是一元二次方程，故此选项正确；

〃、不是一兀二次方程，故此选项错误：

故选：c.

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，推断一个方程是否是一元二次方程应留意

抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不

等于0"；“整式方程”.

（）

B.

【分析】找到从正面看所得到的图形即可.

7

【解答】解：这个组合体的主视图是

【点评】本题考查了三视图的学问，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.（4分）己知且=工，那么下列式子中肯定成立的是（）

34

A.4卬=3〃B.3/77=4/7C.m=/znD.mn=12

【分析】依据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案.

【解答】解：由且=工，得4R=3〃.

34

月、4m=3n,故力正确：

B、4m=3〃，故8错误;

C.m=—,故。错误;

4

D、4皿=3〃,故〃错误;

故选:A.

【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键.

4.（4分）在正方形网格中，的位置如图所示，则tan〃的值为（）

A.1B.返C.V3D.运

23

【分析】依据图形,可以得到以“6的值，本题得以解决.

【解答】解：由图可知，

tan^=—=1,

4

故选：A.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确正切值的定义.

5.（4分）抛物线y=-（x-2）2-1的顶点坐标是（）

8

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(2,1)I).(2,-1)

【分析】二次函数表达式中的顶点式是：y=a（%-Z）2+k且&h,4是常数）,

它的对称轴是才=方，顶点坐标是（力，k）.

【解答】解：抛物线尸・（公2）2・1的顶点坐标是（2,-1）.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的性质，要求驾驭顶点式中的对称轴及顶点坐标.

6.（4分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果.随着试验次数的增加,

“钉尖向上”的频率思在某个数字旁边，显示出肯定的稳定性，可以估计“钉尖向上”

【分析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反亚试验时，随机事务发生的频率渐

渐稳定在概率旁边，解答即可.

【解答】解：由图象可知随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618旁边摇摆,

显示出肯定的稳定性，可以估计''钉尖向上”的概率是0.618.

故选：B.

【点评】本题比较简洁，考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用

到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比.

7.（4分）已知点（3,-4）在反比例函数p=K的图象上，则下列各点也在该反比例函数

x

图象上的是（）

A.（3,4）B.（-3,-4）C.（-2,6）D.（2,6）

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行推断.

【解答】解：•・•点（3,-4）在反比例函数尸四的图象上，

x

・・・A=3X（-4）=-12,

W3X4=-3X（-4）=2X6=12,-2X6=-12,

・••点（・2,6）在该反比例函数图象上.

故选：仁

9

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数尸k（A为常数，k

x

#0）的图象是双曲线，图象上的点（x,y）的横纵义标的积是定值匕即孙=忆

8.（4分）如图，。〃是△力比、的外接圆，/以心=120°,则/胆。的度数是（）

A.120°B.80°C.60°D.30°

【分析】由。。是△/1次的外接圆，/BOC=120。，依据圆周角定理可求得/胡C的度数.

【解答】解：是△月仇?的外接圆，4BOC=120：

：.ZBAC=1-ZBOC=^X120°=60°.

22

故诜：C.

【点评】此题考查了圆周角定理与三角形外接圆的学问.此题比较简洁，留意驾驭数形

结合思想的应用.

9.（4分）在反比例函数尸-2图象上有三个点A（小，％）、B（照，％）、C（刖，总〕，若

X

则下列结论正确的是（）

A.y；1Vy2VMB.y\<y-s<y2C.度V^VyD.y-i<y\<y2

【分析】依据反比例函数图象上点的坐标特征解答.

【解答】解：•・•力（汨，y.）在反比例函数尸-2图象上，击<0,

x

对于反比例函数y=-2,在其次象限，y随x的增大而增大，

x

V0<x2<^,

/.72</3<0»

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，驾驭反比例函数的性质、反比

例函数的增减性是解题的关键.

10.（4分）如图，矩形球G2的两边在坐标轴上，点。为平面直角坐标系的原点，以y轴上

的某一点为位似中心，作位似图形/1以,〃，且点Hb的坐标分别为（・4,4）,（2,1）,

10

则位似中心的坐标为（）

A.(0,3)B.(0,2.5)C.(0,2)D.(0,1.5)

【分析】连接跖交y轴于R依据题意求出CG,依据相像三角形的性质求出GR求出点

〃的坐标.

【解答】解：如图，连接跖交y轴于巴

•・•四边形力戈力和四边形加切是矩形，点、B,尸的坐标分别为（-4,4）,（2,1）,

・••点C的坐标为（0,4）,点G的坐标为（0,1）,

:,CG=3,

■:BCHGF,

・GP=GF=I

**PCBC~2

・・・GP=1,PC=2,

・•・点尸的坐标为（0,2）,

故选：C.

【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，驾驭假如两个图形不仅是相

像图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边相互平行，那么这样的两个图形叫做

位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键.

11.（4分）若关于x的一元二次方程6户9=0有两个不相等的实数根，则衣的取值范

围（）

A.女<1且攵WOB.k^OC.k<]D.k>\

【分析】依据根的判别式和一元二次方程的定义，令△>（）且二次项系数不为0即可.

II

【解答】解：•・•关于汗的一元二次方程左丁-6肝9=（）有两个不相等的实数根，

即（-6）2-4X9A>0,

解得，"VI,

•・•为一元二次方程，

・••底0,

Ak<\且狂0.

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：方程有两

个不相等的实数根；

（2）△=（）0方程有两个相等的实数根；（3）ZWOo方程没有实数根.

12.（4分）加图，抛物线y=a（x-1）2U（^?>0）经过点（-1,0）,顶点为1/,过点P（0,

a+4）作x轴的平行线八/与抛物线及其对称轴分别交于点力、B、〃以下结论：①当x

=3.1时，y>0；②存在点P,使AP=P/h③（BP-AP）是定值；④当a=2时，尸|a

（x・1）2+用的图象与直线/有四个交点，其中正确的是（）

A.①@<§）B.①@©C.①③④D.②③④

【分析】依据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3,0）,且抛

物线开口向上，可对①作推断：依据图形中与/轴交点坐标（・1,0）和对称轴与/轴

交点（1,0）可对②作推断；

依据对称性得：AIHBH,依据线段的和与差可对③作推断；

依据二次函数图象的性质可对④作推断.

【解答】解：①由题意得：a>0,开口向上，

•・•抛物线对称轴是4=1，且经过点（-1,0）,

・•・抛物线过x轴另一个点为（3,0）,

12

・••当x=3.1时，y>0；

故①正确；

②当P在。点时，AP=PH,

Va>0,

不行能与。重合，

故②不正确；

（腓%）

③BP-AP=-AP=A/^P//-AP=2P//=2t

故③正确；

④当a=2时，a+4=6,P（0,6）,如图所示，

故④正确.

所以正确的有：④，

故诜：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对•称的点的特点，利用

数形结合的思想解决问题是关键，并娴熟驾驭二次函数的性质.

二、填空题（共6小题，每小题4分：满分分24分）

13.（4分）小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮

7厘米，此刻小红的影长是一1.92米.

【分析】在同时刻物面和影K成正比，即在同时刻的两个物体，影了，经过物体顶

部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相像.

【解答】解：依据题意知，小红的身高为175-7=168（厘米），

设小红的影长为万厘米

则些=举，

200x

解得：x=192,

13

・・・小红的影长为1.92米,

故答案为：1.92.

【点评】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相像三角形中，利用相像三角形

的相像比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想.

14.(4分)某校去年对试验器材的投资为2万元，预料今明两年的投资总额为8万元，若

设该校这两年在试验器材投资上的平均增长率为x,则可列方程：2(1+x)+2(1+x)]

=8.

【分析】关键描述语是：“预料今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投

资的总额+明年的投资总额=8,把相关数值代入即可.

【解答】解：•・•去年对试验器材的投资为2万元，该校这两年在试验器材投资上的平均

增长率为必

・•・今年的投资点、额为2(1+x)：明年的投资总额为2(1+x)2：

•・•预料今明两年的投资总额为8万元，

：,2(1+x)+2(1+x)2=8.

【点评】解决本题的关键是找到相关量的等量关系，留意预料明年的投资总额是在今年

的投资总额的基础上增加的.

15.(4分)在••个不透亮的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相

同，通过多次摸球试验后发觉，摸到红球的频率稳定在0.25旁边，则估计口袋中白球大

约有15个.

【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25旁边得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白

球个数即可.

【解答】解：设白球个数为：X个，

•・•摸到红色球的频率稳定在0.25左右，

・•・口袋中得到红色球的概率为0.25,

・5=1

••南T

解得：x=15,

即白球的个数为15个，

故答案为：15.

【点评】此题主要考杳了利用频率估计概率，依据大量反复试验下频率稳定值即概率得

14

出是解题关键.

16.（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条/出和力。的夹角为120°,AB氏为

25cm贴纸部分的宽切为15c加，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350nc症.（结

A

【分析】求出49,先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可.

【解答】解：长为25面，贴纸部分的宽〃〃为15。/〃，

AI）=10c川,

・•・贴纸的面积为S=2X（S品形S扇形必=120兀X252_120兀义1。2）=350Tl（.）,

360360

故答案为：350JIC/.

【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键.

17.（4分）如图，在Rt△/仍。中，乙仅5=90°,〃是四的中点，过〃点作/山的垂线交/1C

于点E,BC=6,sin/l=—,则DE=工2.

【分析】在中，先求出/反力。继而得出力〃，再由△月〃/:'sZ\/fC7A利用对应边成

比例可求出DE.

【解答】解：•・・8C=6,sin1=W,

5

A/li?=10,

・97T?^=8,

•・•〃是/历的中点，

，/lD=LlB=5,

2

■:丛ADEs丛ACB,

15

•DE_AD即DE_5

••瓦一记'

解得：DE=①.

4

故答案为：匹.

4

【点评】本题考查了解直角三角形的学问，解答本题的关键是娴熟驾驭三角函数的定义

及勾股定理的表达式.

18.（4分）如图，在Rta/1a'中，Zf=90°,AC=2,BC=4t力加x轴，力、8两点在反比

例函数尸K（x>0）的图象上，延长。交y轴于点〃，AD=\.将△4?，绕点8顺时针

x

旋转得到△曲；使点C落在x轴上的点尸处，点A的对应点为反则点£的坐标是

【分析】作〃ML*轴于M回门轴于此如图，依据旋转的性质得利=比=4,蛾="

=2,4BFE=/BCA=90°,NC筋等于旋转角，再计算出〃g2,则在Rl△用肥

中，利用三角函数可求出N劭即=60°,肺=加笈仁2加，于是得到旋转角为120。，然

后证明RtZ\8妒sRt△项匹利用相像比求出处坏口EN,从而可得到E点坐标.

【解答】解：作笈归_x轴于M轴于M如图，

•・•△/」/绕点8顺时针旋转得到△原冗

:・BF=BC=4,EF=AC=2,4BFE=4BCA=9G0,/皈等于旋转角，

•・•//C_LA■轴，A（1,6）,

:・BSf=CM・BC=6-4=2,

在Rt△用彼中，VcosZMBF=M=2L=-L,

BF42

:.NMBF=60°,后=/网=2册,

・•・/烟'=180°・NJ步尸=120°,

工旋转角为120。；

,:NBF粗/显BF=90°,,

16

・•・/MBF=4EFN,

:.RSBMFSRSFNE,

叩

.BM=MF=BF2=26=4

**FNENEF*?N-NF~2

:.FN=\,EN=®

:.0^=0舱时F+FN=3+2在+1=4+2%,

・•・£点坐标为（4+2必，勺行），

故答案为：（4+2石，73）.

【点评】考查了旋转的性质.解决本题的关键是作8Hx轴于加以CLx轴于此构建Rt

△4监SRt△⑶瓦

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.）

19.（6分）计算：（3-n）o+V8-8sin450

【分析】干脆利用特别角的三角函数值以及零指数新的性质分别化简得舟答案.

【解答】解：原式=1十2正-8X返

2

=1+272-472

=1-272.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关犍.

20.（6分）解方程：/-4^-5=0.

【分析】因式分解法求解可得.

【解答】解：（产1）（x-5）=0,

则升1=0或x・5=0,

/.x=-1或x=5.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的实力，娴熟驾驭解一元二次方程的几种常用方

法：干脆开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键

17

21.（6分）某路口设立了交通路况显示牌（如图）.已知立杆力〃高度是3/〃，从侧面〃点测

得显示牌顶端。点和底端8点的仰角分别是60°和45°,求路况显示牌比'的长度.（结

果保留根号）

/高掷江

/绕道慢行

忌；1I

【分析】在Rt△用初中，知道了己知角的对边，可用正切函数求出邻边力〃的长；同理在

RIA4/%'中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边〃'的长；进而由伙"〃'-/）«

得解.

【解答】解：•・•在RtA]〃8中，NBDA=45",/步=3勿，

:.DA=3m,

在RtZvlZT中，N如=60°,

/.tan60°

AD

:.CA=班加

：,BC=CA-BA=（3代-3）米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，解决此类问题要了解角之间的关

系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高

或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要擅长读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

22.（8分）如图，应'是。的直径，点力和点〃是。。上的两点，过点力作。。的切线交班'

延长线F点C.

（1）若N4应2=5°,求NC的度数；

（2）若月仁4,CE=2,求。。半径的长.

18

【分析】（1）连接力，依据圆周角定理求出N/1况'，，衣据切线的性质求出依据三

角形内角和定理求出即可；

力庞=25°,

・•・由圆周角定理得：ZAOC=2ZADE=50°,

,・3C切00于4,

・・・/力。=90°,

：.ZC=\80°-ZA0C-Z0AC=180°-50°-90°=40°；

（2）设0/1=OE=r,

在Rt△如。中，由勾股定理得：面+/d="，

即r+42=（z+2）:

解得：？=3,

答：。。半径的长是3.

【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等学问点，能求出N6MC和/力3

的度数是解此题的关键.

23.（8分）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别限制着力（楼梯）、9（客厅）、C（走

廊）三盏电灯，按下随意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新居不久，不熟

识状况.

（1）若小明随意按下一个开关，则下列说法正确的是〃.

19

力.小明打开的肯定是楼梯灯

反小明打开的可能是自卜房灯

C小明打开的不行能是客厅灯

〃.小明打开走廊灯的概率是工

3

（2）若随意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时

亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明.

【分析】（1）由小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别限制着力（楼梯）、8（客厅）、

C（走廊）三盏电灯，干脆利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果与正好客厅灯和走

廊灯同时亮的状况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）•・•小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别限制着力（楼梯）、8（客

厅）、。（走廊）三盏电灯，

・•・小明随意按下一个开关，打开走廊灯的概率是工，

3

故选：D.

（2）画树状图得:

•・•共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种状况，

・•・正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是2=工.

63

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的学问点为：概率=所求状

况数与总状况数之比.熟记求随机事务的概率公式是解题的关键.

24.（1（）分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙就V,某人利用旧墙和木栏围成

20

一个矩形菜园力比〃其中力以网。已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木

栏.

(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙/”的长：

(2)求矩形菜园/颇面积的最大值.

M////，//////“x

AD

BC

【分析】(1)设AB=xn则底(100-2x)/，利月矩形的面积公式得到>(100-2>)

=450,解方程得汨=5,照=45,然后计算100・2x后与20进行大小比较即可得到/I。

的长；

(2)设AD=xm,利用矩形面积得到S'=-i-,Y(100-,丫)，配方得到S=--(x-50)'+1250,

22

探讨：当&250时，依据二次函数的性质得S的最大值为1250序；当0VaV50时，则当

OVxWa时，依据二次函数的性质得S的最大值为50^-la2.

2

【解答】解：(1)设AB=x/n,则8C=(100-2x)勿，

依据题意得x(100-2x)=450,解得汨=5,及=45,

当x=5时，100-2k90>20,不合题意舍去；

当x=45时，100-2%=1(),

答：力〃的长为10他

(2)设力〃=初，

・・・S=Lx(100・x)=-1(A--50)2+1250,

22

当a250时，则x=50时，S的最大值为1250：

当0Ca<50时，则当JC/Wa时，S随/的增大而增大，当/=a时，S的最大值为50a

12

-上a,

2

综上所述，当&250时，S的最大值为1250届当0VaV50时，S的最大值为(50a-工才)

2

m.

【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数

的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此

21

在求二次函数的最值时，肯定要留意自变量X的取值范围.

25.（10分）如图1,在平面直角坐标系才勿中，已知Z/l&C=90°,顶点力在第一

象限，B,C在x轴的正半轴上（C在8的右侧），BC=2,AB=2贬,XADC%AABC关于

力。所在的直线对称.

（1）当如=2时，求点〃的坐标；

（2）若点力和点〃在同一个反比例函数的图象上，求如的长；

（3）如图2,将（2）中的四边形力及力向右平移，记平移后的四边形为过点

〃的反比例函数y=K（R#0）的图象与力的延长线交于点尺问：在平移过程中，是

x

否存在这样的A,使得以点P,4,〃为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请干脆写

出全部符合题意的〃论值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）如图1中，作施_L*轴于反解直角三角形清晰施，应即可解决问题；

（2）'设OB=a,则点力的坐标（a,2%），由题意小=1.〃£=加，可得〃（3+a,立），

点儿〃在同一反比例函数图象上，可得2加》=无（3+a）,清晰a即可；

（3）分两种情形：①如图2中，当点4在线段⑦的延长线上，且幺〃曲时，NPA,D

=90°.

②如图3中，当/月％=90°时.分别求解；

【解答】解：（1）如国1中，作〃/江才轴于反

VZABC=9O0,

22

，tanN月⑦=~^=/，

BC

••・N4C9=60°,

依据对称性可知：DC=BC=2,/月。9=/月6=6（）°,

・•・/〃龙=60°,

:・/CDE=900-60°=30°,

/.CE=1,DE=^,

：,OE=OByBC+CE=5,

・•・点〃坐标为（5,V3）.

（2）设OB=a,则点月的坐标（a,2加），

由题意6F=1.DE=®可得〃（3+a,无），

•・•点力、〃在同一反比例函数图象上，

.•・2技=（3+a），

.*.a=3,

・••如=3.

(3)存在.理由如下：

①如图2中，当点力在线段切的延长线上，且〃力〃时，/PA\D=90；

在中，VZZZU=30°,AD=2代

：.AAs=—义寸=4,

cos30

在Rt△4%中，・.・/4%=60°,

23

：.PA=^H,

3

:.PB=2®

3

由（2）可知P（3,3叵）,

3

・•・4=10%.

②如图3中，当/如产90°时.作〃归_力〃于M4ALM交.跖的延长线于A：

:.AAKPs

・吟PK

.•而KA1

KA

.PK^1*：AAKD=APKAy,

**AK~W

:.△KAD^AKPA、,

・・・NA7%=NA?b9=30°

:.PD=®\D,

•・•四边形/次必是矩形.

...4，%—4"一立，

•・•△加"△%也

:.内=氏DN,设DN=m,则

."（3,立+心），IX（9+/，近），

■:P,4在同一反比例函数图象上，

A3（“+小）=近（9+勿），

解得777=3,

24

：,P(3,4%)，

:・k=\2近

【点评】本题考查反比例函数综合题、相像三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直

角三角形、待定系数法等学问，解题的关键是学会用分类探讨的思想思索问题，学会了

可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

26.(12分)如图，在正方形力及刀中，边长为4,4的390°,将NMZV绕点〃旋转，其

中〃"边分别与射线班、直线交于公。两点，边与射线灯、交于点凡连接例且

杼、与直线力。交于点P.

(1)如图1,点£在线段仍上时，①求证：AE=CF；②求证：〃垂直平分跖；

(2)当AE=1时，求A0的长.

【分析】(1)①只要证明△力膜即可解决问题；

②利用相像三角形的性质证明NPDQ=45°即可解决问题：

(2)①当点£在线段.48上时，作。〃于〃，仇;，熊于6.由△力QM△仅叫可知月Q

・PQ=帅EQ,想方法求出力。，EQ,〃。即可解决问题；②当点〃在班的延长线上时，作

QHLAD于H,QG1AB千G,方法类似.

【解答】(1)①证明：•・•四边形仍切是正方形，

：,DA=DC,4ADC=4DAE=4DCF=90°,

:.乙ADC=々MDN=90",

:・/ADE=/CDF,

:./\AD恒XCDE(ASA')t

：,AE=CF.

②:△/M匡△W(力M),

，［比=D3vz«v-yo0,

25

:・/DEF=45°,

'：ADAC=^°,

/.ZDAQ=APEQ,,:乙AQD=4EQP,

:.△AQMXEQP,

・AQ=DQ

**QEPQ'

.•.迪=典，'：4AQE=/PQD,

DQPQ

・•・△/*△〃/，

:・/QDP=/QAE=45°,

・•・/)£=90°,

:・DPLEF,,:DE=DF,

:.PE=PF,

・•・〃户垂直平分线段加

(2)解：①当点E在线段/应上时，作QHLAD于H,8L1B于G.

22=>

在口△/«放中，^-7AD+AE^

•:/QAH=NQAG=45°,

：.HO=QE=AH=EQ,设Q/=x,

,.•JLX4XAH--X1XX=J^X1X4,

222

2

.,.40=亲历DH+HQ

<△AQMXEQP,

:"①PQ=D6EQ,

4A/17V17

・“。=可=幽

二2L10

5

②当点E在刃的延长线上时，作Q//LI。于〃，宛L伤于G.

22=,

在中，^=7AD+AE^

•:4QAH=4QAG=45°,