山东省青岛市城阳区2026届高三上学期期中考试数学试题 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市城阳区2026届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是小于9的正整数，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，又，所以，故选：A.2.已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（）A.41 B.42 C.43 D.44【答案】D【解析】由于与是方程的两根，故，即，得，因此，故选：D.3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则，由题意得，，解得，∴，∴圆锥的体积为.故选：B.4.设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】根据题意，直角距离，令，则，，线段长度，由，得，代入得：，当时，取最小值为，此时，即，满足条件.故选：A.5.将函数图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的对称轴方程为：，，.由函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于对称，所以函数的一条对称轴为.由，.因为，所以时，.故选：C.6.棱长为2的正四面体在水平面上正投影的面积最大为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】不妨将正四面体的棱平移到平面内，因为正四面体的对棱互相垂直，当时，此时投影是对角线长为2的正方形如图1，正投影面积.当与平面不平行时，此时正投影是四边形或三角形，如图2，当正投影是四边形时，因为，易得，此时，又，所以；如图3，当正投影是三角形时，此时正投影的面积，综上，正四面体在平面上正投影的面积的最大值为2.故选：B.7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即，，整理可得：，，，，由得：或，又，.故选：C.8.已知函数满足，其中表示，中最大的数，表示，中最小的数.则（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】由函数满足，取，则，因此，，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.为奇函数B.在上单调递增C.的极小值为D.直线与曲线仅有2个交点【答案】AC【解析】的定义域为，关于原点对称，且，故奇函数，A正确，，当在上单调递减，故B错误，当在上单调递增，当在上单调递减，当在上单调递增，故在时，取到极小值，C正确，令，则，记，则，令，则（负值舍去），故存在两个互为相反数的，满足，不妨设，故当因此在，上单调递减，在，上单调递增，，且当，因此有4个零点，故D错误，故选：AC.10.已知正方体的棱长为4，点在棱上，若正方体的一个截面经过点，，，且将正方体分成体积比为的两部分，则（）A.该截面为梯形B.C.点到该截面的距离为D.点，，，都在同一个球面上，且该球的表面积为【答案】ACD【解析】若与重合，则截面为三角形，又，不符合题意，所以与不重合，同理可得不与重合；对于A：设平面与线段交于点，连接、、，又平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以，则，所以，所以截面为等腰梯形，故A正确；对于B：设，则，所以三棱台的体积，依题意，解得或（舍去），所以，故B错误；对于C：如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以点到该截面的距离，故C正确；对于D：因为为等腰三角形，则，，所以外接圆的半径，又平面，所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确.故选：ACD.11.记数列的前项和为，若，，则（）A.B.C.数列的前项和小于2D.数列的前项和为【答案】ABC【解析】，则，两个式子相减，化简得（），即（），又，所以.综上，可知是首项，公比为2的等比数列，故的通项公式为，A正确；，故，B正确；，当且仅当时取到等号，故的前项和满足，故C正确；设的前项和，则，可得，所以，所以，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12._________.【答案】【解析】；故答案为：.13.记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知∙，则_________.【答案】【解析】因为，且，，所以，则，因为，所以．故答案：．14.在矩形中，，为边上的两个点，，当在线段上运动时，记，，则的最大值为_________.【答案】【解析】设，作于H，由对称性，不妨设，设，，则有，，则，，①当H在上时，；②当H在上时，；故.所以（令）（令），当且仅当，即时等号成立，故.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面.为的中点，，.（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面夹角的大小.（1）证明：因为四边形是正方形，故,又平面平面，且平面平面,所以平面，平面，故,又为的中点，，所以,由勾股定理可得所以，故平面，故平面,平面,则，又,故，又，平面，故平面，平面，故平面平面；（2）解：以射线分别为非负轴建立空间直角坐标系，设,则，由（1）知是平面一个法向量，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面和平面夹角为，则，故，即平面和平面夹角为.16.在中，为的中点，为线段上一点，，.（1）求，；（2）若，的面积为，求的最小值.解：（1）因为为的中点，所以,又三点共线，所以，又，解得.（2）由（1）可得，又所以，故,因为，当且仅当时等号成立，故，故的最小值为.17.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数.例如：（1，3与4互质）.（1）求，，；（2）若，证明：.（1）解：根据题意，1与2互质，所以，与8互质，所以，与16互质，所以；（2）证明：因为不超过正整数，且与互质的正整数为不超过的奇数，所以，则，则，所以是等比数列，且，则，所以.18.已知函数，直线为曲线在点处的切线.（1）当时，求的方程；（2）若与曲线相交于点，且，求的取值范围.解：（1）因为，则，当时，则，，此时直线的方程为，即.（2）由（1）可知，，所以直线的方程为，即，因为直线与曲线相交于点，且，所以关于的方程在有解，令，则，，则，令，则，①当时，由，得，由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，因为，所以存在唯一实数，使，当时，，则，所以在区间上单调递增，当时，，则，所以在区间上单调递减，所以，因为，所以存在唯一实数，使，所以符合题意；②当时，在区间恒有由，所以在区间上单调递减，所以，所以在区间上单调递增，所以，所以在区间上无零点，所以不符合题意，综上，即实数的取值范围为.19.已知表示不超过实数的最大整数.例如：.（1）设，求的值；（2）解关于的方程：；（3）若，，，.证明：＞.（1）解：因为，所以，故，即