江苏省2023年中职职教高考文化统考数学试卷答案

江苏省2023年中职职教高考文化统考数学试卷一、选择题1.已知集合，则集合B中的元素个数为（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】【分析】根据题意求出集合中的元素即可得解.【详解】集合，当时，；时，；时，；时，；时，，所以集合，元素个数为个，故选：.2.若复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的代数运算化简，再根据复数的几何意义即可得结果.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于在第二象限.故选：B3.已知数组，且，则的值是（）A. B. C.4 D.9【答案】A【解析】【分析】根据数组的线性运算可得结果.【详解】由题可知，，所以，即.故选：A4.若向量满足，且，则向量的模是（）A. B.2 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算法则以及垂直的性质求解即可.【详解】.因为，所以.所以，进而.故选：C.5.如图所示的直角梯形绕所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为（）A.96 B.128 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得出旋转后的几何体，结合圆锥与圆柱的体积公式即可得解.【详解】根据题意，旋转后得到的几何体是底面半径为，高为的圆锥，与底面半径为，高为的圆柱的组合体，则体积为，故选：.6.函数的部分图像，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图像可知最值和周期由此确定的值，再将点代入解析式确定的值即可.【详解】由图像可知，最大值为，最小值为，因为，所以，且，，所以，则，将点代入得，即，解得，因为，所以，，故选：A.7.高三年级学生准备了4个演讲类、3个配音类节目，参加学校红色教育表演活动，考虑到演出效果，同类节目不能排在一起，则这7个节目的不同编排种数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用插空法结合排列数计算即可.【详解】先排配音类节目有种排法，个节目形成了四个空，再将4个演讲类节目放入4个空，有种排法，共有种排法，故选：A.8.某项工程的网络图（单位：天），若完成该工程的最短总工期是15天，则的值是（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】由工程网络图，确定关键路径并结合最短工期，求出的值，据此可得解.【详解】第一种方案：，工期为天；第二种方案：，工期为天；第三种方案：，工期为天；第四种方案：，工期为天；第五种方案：，工期为天；第六种方案：，工期为天；因为，且最短总工期为15天，所以关键路径为，即，所以，.故选：D9.小明将一张坐标纸折叠一次，发现点与点重合，则折痕所在的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中点坐标公式求出点与点的中点，再有直线的斜率公式求出，再由直线的垂直的条件，和点斜式方程即可解答.【详解】已知将一张坐标纸折叠一次，发现点与点重合，则折痕为点与点垂直平分线，中点为，即，且，设折痕所在的直线斜率为，则，解得，所以折痕所在的直线为，即，故选：D.10.已知函数，当时，函数有（）A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值0【答案】C【解析】【分析】运用基本不等式求最值即可.【详解】已知，则，令，则，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以，则函数有最大值，故选：C.二、填空题11.一个程序框图，执行该程序框图，则输出的值为______【答案】##【解析】【分析】利用流程图计算运行结果即可得解.【详解】，第一次循环，，，第二次循环，，，第三次循环，，，第四次循环，，，循环结束，输出，故答案为：.12.正项等比数列的前项和为，若，则______【答案】【解析】【分析】首先由等比数列的通项公式求出公比，再由等比数列的前项和求值即可.【详解】设公比为，由题意，由，得，因为，所以，即，解得或（舍去），，，所以，故答案为：.13.已知，则______【答案】【解析】【分析】由二倍角的余弦公式和同角三角函数的商数关系化简求值即可.【详解】已知，，故答案为：.14.经过圆的圆心的抛物线标准方程是______【答案】或.【解析】【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，分类讨论抛物线焦点在轴正半轴和在轴正半轴时，设出抛物线方程将圆心代入方程中即可得解.【详解】圆的圆心坐标为，因为抛物线过点，则当抛物线焦点在轴时，设抛物线方程为，则，解得，此时抛物线方程为；当抛物线焦点在轴时，设抛物线方程为，则，解得，此时抛物线方程为，故答案为：或.15.对于任意实数，定义，设函数，则函数的最小值是______【答案】【解析】【分析】根据一次函数的单调性，指数函数的单调性结合图象即可解答.【详解】已知为单调递增的一次函数，为单调递减的指数函数，如图所示，，当时，，当时，，当时，，所以，因为单调递减，所以时，，因为单调递增，所以当时，，所以当时，，故答案为：三、解答题16.若实数满足不等式（1）求实数的值（2）解关于的不等式【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（）解一元二次不等式即可得解.（）根据题意结合对数函数的单调性列出不等式即可得解.【小问1详解】，则，解得.【小问2详解】因为，则函数在定义域上为增函数，因为恒成立，且，则，解得，所以解集为.17.已知二次函数是定义在内的偶函数，且（1）求得解析式（2）若方程有两个相等得实数解，求实数的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据偶函数的相关性质列方程求解即可.（2）由方程的解的个数得出，由此列方程求解即可.【小问1详解】由函数是偶函数，可得，解得，所以，由，得，解得，所以.【小问2详解】由（1）可知，，则，由方程有两个相等得实数解，则有两个相等得实数解，即，其中，解得.18.已知集合（1）从集合中任取一个整数，从集合中任取一个整数，求事件{关于的幂函数是奇函数}的概率（2）从集合中任取一个实数，从集合中任取一个实数，求事件{双曲线的离心率}的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列举出的值，根据计数原理，可得基本事件的总数，再根据幂函数的概念和性质，可得事件A所包含的基本事件的个数，利用古典概型计算公式可求解；（2）根据离心率的范围，可得，，再利用几何概型可求解.【小问1详解】由题意得，，从集合中任取一个整数，从集合中任取一个整数，基本事件的总数为个，要使关于的幂函数是奇函数，则或或，共个基本事件，所以；【小问2详解】因为双曲线的离心率，则，解得，，作出满足的条件的可行域，如图所示：可得，由题意得集合P，Q表示的图形范围为正方形的边界及内部，其面积为25，而，所以.19.设的内角的对边分别为.（1）若，证明为等腰三角形；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）结合已知条件由正弦定理边化角，再根据正弦的和差角公式，可推出，得证.（2）结合已知条件与正弦定理，可得，代入，即可求解c，并利用余弦定理，可得，再求，再由得解.【小问1详解】，由正弦定理可得，，又，，即，，，，为等腰三角形；【小问2详解】，由正弦定理得，，，，，，即，，，，或（舍），，，又，，的面积.20.为响应国家乡村振兴战略，某地政府鼓励大学生返乡创业，启动甲、乙两个农业小微项目.甲项目的收益与投入金额成正比，乙项目的收益与投入金额的算术平方根成正比.已知甲、乙两个项目各1万元，获得的收益分别是0.2万元和0.4万元（1）分别将甲、乙两个项目的收益表示为投入金额的函数关系式（2）大学生小王筹集到资金3万元，全部投入到甲、乙两个项目，问如何分配投入金额，小王才能获得最大收益？并求最大收益【答案】（1），（2）甲项目的资金万元，投入乙项目的资金万元，小王获得最大收益万元【解析】【分析】（1)设甲、乙两个项目的收益的函数关系式分别为，，由，可求解；（2）设投入乙项目的资金万元，投入甲项目的资金万元，总收益为万元，可得，，令，换元转化为二次函数可求解.【小问1详解】设甲、乙两个项目的收益的函数关系式分别为，，则，，所以，；【小问2详解】设投入乙项目的资金万元，投入甲项目的资金万元，总收益为万元，则，，令，则，，由于二次函数的对称轴为，且开口向下，所以当,即时，，即投入甲项目的资金万元，投入乙项目的资金万元，小王才能获得最大收益，最大收益万元.21.已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式（2）设，数列的前项和.（i）证明：；（ii）求数列的前项和.【答案】（1）.（2）（i）证明过程见详解.（ii）.【解析】【分析】（）先由时求出，再利用推到递推关系，判断数列类型后求通项公式即可得解.（）（i）先求出的表达式，确定数列为等差数列，计算及即可得解.（ii）先表示，利用错位相减法即可得解.【小问1详解】当时，，代入a11+Sn=2因为，则，解得，当时，，，两式相减得，则，所以数列为首项为，公比为的等比数列，所以，综上所述，数列的通项公式为.【小问2详解】（i）数列的通项公式为，则，an+12所以，，，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，T2n+1bn所以.（ii）因为，，则，Rn2RRn-2则Rn=22.某蛋糕店制作两种不同规格的蛋糕，已知制作一个A种规格的蛋糕需要面粉千克，耗费工时小时，制作一个B种规格的蛋糕需要面粉千克，耗费工时小时，出售一个A种规格的蛋糕可获得利润元，出售一个B种规格的蛋糕可获得利润元.蛋糕店现有面粉千克.若总工时不超过小时，且所有蛋糕都能全部售出，问两种规格的蛋糕各制作多少个时，才能使得总利润最大？并求最大利润【答案】A种规格的蛋糕制作个，B种规格的蛋糕制作个，总利润最大，最大利润为元.【解析】【分析】设A种规格的蛋糕制作个，B种规格的蛋糕个，总利润为元，由题意列出约束条件，得出目标函数，然后求解即可.【详解】设A种规格的蛋糕制作个，B种规格的蛋糕个，总利润为元，则，由题意得，即，可行域如图所示，由，解得，所以当时，总利润最大，最大为，则A种规格的蛋糕制作个，B种规格的蛋糕制作个，总利润最大，最大利润为元.23.已知椭圆的四个顶点围成的四边形周长为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程（2）不垂直于轴的直线过椭圆的上焦点，且与椭圆交于两点，点的坐标为，