专题05 一次函数（期末高频考点）（解析版）

专题05一次函数3大高频考点概览考点01函数的概念考点02正比例函数考点03一次函数地地城考点01函数的概念一、单选题1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（

）A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量【答案】A【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可．【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量故选：A．2．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，点P沿路线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能大致刻画y与x之间的关系图象的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查动点有关函数图象问题，矩形的性质，分析在不同边上的面积变化情况即可求解．【详解】解：由题得：当点在上时，不存在，当点在上时，的面积随的增大而增大，当点在上时，的面积等于矩形的一半，固定不变，当点在上时，的面积随的增大而减小，综上所述，只有D符合题意，故选：D．3．（24-25八年级下·湖北荆门·期末）如图1，正方形的边长为，E为边上一点，连接，点P从点D出发，沿以的速度匀速运动到点图2是的面积单位：随时间单位：的变化而变化的图象，其中，则b的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】由图象可得当时，的面积，此时点P与点E重合，由三角形的面积公式可求，可得，由勾股定理可求AE的长，即可求解．本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是本题的关键．【详解】解：由图象得：当时，的面积，此时点P与点E重合，，，，，，，故选：C．4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）小聪从家跑步到体育馆，在体育馆锻炼了一段时间后又跑步到书店去买书，然后步行回家（小聪的家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小聪离家的距离与时间之间的关系．则下列说法错误的是（）A．体育馆到书店的距离为千米B．小聪从家跑步到体育馆的速度为每小时千米C．小聪的家到书店的距离为千米D．小聪步行回家的速度为每小时千米【答案】C【分析】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．根据图象中特殊点的实际意义即可求出答案．【详解】解：由图象可知：A．体育馆到书店的距离为千米，故本选项不符合题意；B．小聪从家跑步到体育馆的速度为：（千米时），故本选项不符合题意；C．小聪的家到书店的距离为：（千米），故本选项符合题意；D．小聪步行回家的速度为：（千米时），故本选项不符合题意．故选：C．5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）函数自变量x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】B【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负．【详解】解：函数中，分母不能为0，即；二次根式的被开方数需满足，即，因此，自变量的取值范围是，故选：B．6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）函数中的自变量x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不能为零，确定自变量的取值范围．【详解】解：函数中，分母为．因为分式的分母不能为零，所以．因此，自变量的取值范围是“所有实数，且不等于0”，故选：D．7．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是（）A．单价 B．质量 C．金额 D．单价和质量【答案】A【分析】本题考查了常量与变量．根据常量与变量的定义作答即可．【详解】解：如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，常量是单价，变量是质量与金额，故选：A8．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）有一个皮球从高处下落，第一次落地后反弹起，以后每次落地后的反弹高度都减半．则表示反弹高度（单位：）与落地次数的对应关系的函数解析式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了列函数关系式．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依次可得表示反弹高度与落地次数的对应函数关系．【详解】解：根据题意得，表示反弹高度h（单位：）与落地次数n的对应关系的函数解析式：（n为正整数）．故选：D二、解答题9．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．输入x…01…输出y…m17…(1)______；(2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______；(3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式．【答案】(1)(2)1，2(3)【分析】（1）将代入对应函数关系式，求出对应y的值即可；（2）根据一次函数的特点，即当自变量均匀变化时，因变量也均匀变化判断即可；（3）利用待定系数法解答即可．本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的特点及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．【详解】（1）解：当时，，故答案为：（2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为故答案为：1，（3）将，和，分别代入，得，解得，当时，函数的表达为10．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行了一段时间后，突然想起要买圆规，于是又骑回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校（小明家、文具店、学校在同一直线上）．如图是他本次上学过程中离家距离（m）与所用时间（）之间的函数关系图象．请解答下列问题：(1)小明家到学校的距离是_________，小明在文具店停留了_________．(2)本次上学途中，小明骑车一共行驶了_________．(3)交通安全不容忽视．假设骑自行车的速度超过就超过了安全限度，则在整个上学途中，小明骑车最快时，他的速度_________安全限度之内．（填“在”或“不在”）【答案】(1)，(2)(3)不在【分析】本题考查从函数的图象中获取信息，解题的关键是利用数形结合的思想解答．（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在文具店停留的时间；（2）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；（3）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．【详解】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米，小明在文具店停留了（分钟），故答案为：1800，3；（2）解：本次上学途中，小明一共行驶了：（米），故答案为：3000；（3）解：当时间在分钟内时，速度为：（米/分），当时间在分钟内时，速度为：（米/分），当时间在分钟内时，速度为：（米/分），15千米/时米/分，∵，∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．11．（24-25八年级下·河南安阳·期末）郑州东到呼和浩特的高铁线于2025年1月5日开通，该线路开通后，郑州至呼和浩特的行程缩至6小时左右，河南“米”字形高铁网进一步扩容，贯通南北、承东启西的枢纽优势更加凸显．试运行期间，一列动车从郑州开往呼和浩特，一列普通列车以的平均速度从呼和浩特开往郑州，郑州与呼和浩特相距约，两车同时出发，3小时后相遇．设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：(1)求动车的平均速度；(2)动车行驶多长时间时与普通列车相距？【答案】(1)(2)或【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键：（1）设动车的平均速度为，根据图象可知，两车经过3小时相遇，列出方程进行求解即可；（2）分相遇前动车与普通列车相距以及相遇后动车与普通列车相距，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：设动车的平均速度为．根据题意，得．解得．答：动车的平均速度为．（2）①当相遇前动车与普通列车相距，根据题意得；②当相遇后动车与普通列车相距，当动车到达终点时用时．此时两车相距，即两车相距121千米是在动车到达终点之前．根据题意得．综上，动车行驶或时与普通列车相距．12．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图所示，在四边形中，，，，，，动点E以每秒个单位沿运动，动点F以每秒1个单位沿运动，E、F同时出发，到达终点后停止．设运动时间为x，的面积为，的面积为．(1)请直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)在平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出的一条函数性质．(3)结合函数图象，直接写出时x的值．（近似值保留1位小数，误差值小于0.2）【答案】(1)，(2)图见解析，随着的增大而减小(3)或【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，动点的函数图象问题，正确的求出函数解析式，画出函数图象，是解题的关键：（1）作，证明四边形为正方形，求出的长，利用三角形的面积公式，列出函数关系式，根据时间等于路程除以速度，求出x的取值范围即可；（2）列表，描点，连线画出函数图象，结合图形写出一条性质即可；（3）结合图象，求出的值即可；【详解】（1）解：作，∵，∴，∵，，∴四边形为矩形，∵，，，∴，为等腰直角三角形，∴四边形为正方形，∴，∴，∴点的移动时间为：秒，点移动的时间为秒，由题意，得：，，∴，∴，，故，；（2）列表如下：123212画出函数图象如图：由图可知：随着的增大而减小；（3），∴，解得：；或，解得；故或．地地城考点02正比例函数一、单选题1．（24-25八年级下·青海玉树·期末）下列各函数中，是的正比例函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正比例函数的定义，形如（k为常数且）的函数是正比例函数．据此逐一分析各选项即可．【详解】A．含常数项1，不符合的形式，故不是正比例函数．B．中x的次数为2，不符合的形式，故不是正比例函数．C．符合的形式，故是正比例函数D．中x在分母，不符合的形式，故不是正比例函数．故选：C2．（24-25八年级下·江西赣州·期末）关于函数，下列结论正确的是（

）A．函数图象过点B．函数图象经过第二、四象限C．随的增大而增大D．不论为何值，总有【答案】C【分析】此题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质，逐项分析判断．【详解】A．当时，，函数图象经过点，而非，故A错误；B．正比例函数中，，图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故B错误；C．因，随的增大而增大，故C正确；D．当时，（如时，时），故D错误．故选：C．3．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围．【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限，∴，解得．故选：C．4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点，则下列点也在该正比例函数图象上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查待定系数法确定函数表达式，先利用已知点求出正比例函数的比例系数，再验证各选项是否满足函数解析式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式是解决问题的关键．【详解】解：在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点，将点代入，得，解得，则函数解析式为，A、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意；B、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意；C、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意；D、对于，，点在该正比例函数图象上，选项符合题意；故选：D．5．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数．需逐一判断各选项是否符合条件．【详解】解：①：，符合的形式，其中，是正比例函数．②：，符合的形式，其中，是正比例函数．③：，含项，次数不为1，不符合正比例函数的定义．④：，无法整理为的形式，故不是正比例函数．故选B．6．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【答案】C【分析】根据正比例函数解析式判断增减性，再结合选项判断即可．【详解】解：∵正比例函数中，比例系数，∴随的增大而增大，选项A、B未给出与的大小关系，无法判断与的大小，因此A、B错误；当时，根据函数增减性可得，因此C正确，D错误．7．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解．【详解】解：在中，随的增大而减小，，函数图象在二、四象限，，，函数的图象在一、三象限，故选：B．二、填空题8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是__________．【答案】/【分析】本题求正比例函数解析式，设，将和代入，求出k的值即可．【详解】解：设，将和代入，得：，解得，所以与的函数关系式是，故答案为：．9．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如果正比例函数的图象经过第一、三象限，则实数的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数即可）【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据题意，可得，即可求解．【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，，则实数的值可以是答案不唯一．故答案为：答案不唯一．10．（24-25八年级下·广东汕头·期末）正比例函数的图象经过点，则___________．【答案】/【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题关键．根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解．【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，∴，解得：，故答案为：．11．（24-25八年级下·重庆大足·期末）若与成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝______．【答案】【分析】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．由正比例函数的定义可设，把，，代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式即可．【详解】解：∵与成正比例，∴设，∵当时，，∴，解得，∴，即，故答案为：．12．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点在第______象限，它的横坐标为______【答案】一【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，正比例函数的性质．分别计算、、、、、、、的横坐标，发现规律的横坐标为，按照规律解答即可．【详解】解：∵，点在直线上，∴，∵轴，∴点的纵坐标为，∵点在直线，∴，解得：，∴，即点的横坐标为，且在第二象限，同理：点的横坐标为，且在第三象限，点的横坐标为，且在第四象限，点的横坐标为，且在第一象限，点的横坐标为，且在第二象限，点的横坐标为，且在第三象限，点的横坐标为，且在第四象限，点的横坐标为，且在第一象限，，∴点的横坐标为，令，∴，∴点的横坐标为，且在第一象限，故答案为：一；．三、解答题13．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若是正比例函数，求的值．【答案】1【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如的函数关系式的称为y关于x的正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义，即可求解．【详解】解：∵是正比例函数，，解得：，∴．14．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）若y与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若点在该函数的图象上，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式、求自变量的值：（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；（2）把点代入（1）所求解析式中进行求解即可．【详解】（1）解：∵y与成正比例，∴设，

∵当时，，则，∴，

∴函数的表达式．（2）解：∵点在函数的图象上，∴，解得：，∴m的值为．15．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限．(1)求k的取值范围；(2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小．【答案】(1)(2)【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解答关键是熟练掌握正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限．（1）根据正比例函数的图象与性质解即可；（2）根据正比例函数图象的增减性作答即可．【详解】（1）解：正比例函数的图象经过第二、四象限，解得；（2）解：由（1）知，，则正比例函数中y的值随x的增大而减小，点，是该正比例函数图象上的两点，，．16．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）某初中数学小组开展综合实践活动，对某食品工厂所生产、销售的某种食品进行调研．A小组调研获知：工厂每月生产成本（元）与产量x（千克）之间是一次函数，且部分对应数据如下表．51015101510301045B小组通过调研获知：该食品每月的销售收入（元）与产量x（千克）之间满足如图所示的函数关系．

根据以上信息回答(1)分别求出，与x的函数关系式（不用写定义域）；(2)请测算一下，当产量满足什么条件时，该厂开始盈利?【答案】(1)，(2)产量时，该厂开始盈利．【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求正比例函数解析式，一元一次不等式的运用，解题的关键在于求出，与x的函数关系式．（1）分别设与x的函数关系式为，与x的函数关系式，结合表格与图象中数据，利用待定系数法求解，即可解题；（2）根据要使该厂开始盈利，即每月的销售收入大于每月生产成本，据此建立不等式求解，即可解题．【详解】（1）解：设与x的函数关系式为，由表格数据可知，解得，与x的函数关系式为；设与x的函数关系式，由图象可知过点，，解得，与x的函数关系式；（2）解：要使该厂开始盈利，即每月的销售收入大于每月生产成本，当时，得，解得，∴产量时，该厂开始盈利．地地城考点03一次函数一、单选题1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意；B、，是一次函数，故该选项符合题意；C、，不是一次函数，故该选项不符合题意；D、，不是一次函数，故该选项不符合题意．2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键．根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案．【详解】解：∵一次函数解析式为，，∴该函数y随x的增大而减小，∴当时，时取得最大值，此时，故选：D．3．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若是关于x的一次函数，则m的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可．【详解】解：∵是关于x的一次函数，∴且，解得，故选：A．4．（24-25八年级下·广东广州·期末）下面的三个问题中都有两个变量：①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y；②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本题考查了一次函数，分别求出每个情境中变量y与x的函数关系式，判断是否为一次函数即可．【详解】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为㡳×高，代入底长3，得，即，是正比例函数（一次函数），符合条件；②：泳池匀速放水，剩余水量与时间的关系为（为初始水量，为放水速度），属于一次函数，符合条件；③：铺设总长度固定时，每日铺设长度与天数满足（为总长度），不符合一次函数．综上，满足一次函数关系的是①和②，故选∶A．5．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知一次函数的图像如图所示，那么下列说法错误的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【答案】C【分析】通过观察函数图象经过的坐标点以及图象的升降趋势，结合一次函数中、的几何意义进行判断即可．【详解】解：由图象可知，直线经过点和，且随的增大而减小，，故A选项说法正确；图象与轴交于点，，故B选项说法正确；观察图象可知，当时，图象位于轴下方，即，故C选项说法错误；当时，图象位于轴左侧，即，故D选项说法正确．6．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用“上加下减”的平移规则即可求解，向下平移不改变一次项系数，只改变常数项．【详解】解：将直线向下平移4个单位长度后，所得解析式为．整理得．7．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可．【详解】解：∵直线中，，∴y随着x的增大而减小．∵，∴．故选：B．8．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质．分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可．【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意；B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意；C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意；D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意；故选：D．二、填空题9．（24-25八年级下·重庆大足·期末）若与成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为y＝______．【答案】【分析】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．由正比例函数的定义可设，把，，代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式即可．【详解】解：∵与成正比例，∴设，∵当时，，∴，解得，∴，即，故答案为：．10．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知一次函数的函数值随的增大而减小，那么对应的函数图像不经过第______象限．【答案】三【分析】根据一次函数的函数值随的增大而减小，得到，得到，从而得到，从而得到图象分布第二，一，四象限，解答即可．本题考查了一次函数的性质及其图象分布，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：根据一次函数的函数值随的增大而减小，得到，得到，从而得到，从而得到图象分布第二，一，四象限，故图象不经过第三象限．故答案为：三．11．（24-25八年级下·河北唐山·期末）已知一次函数的图象图象经过第一、二、四象限，则k满足的条件是______．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．一次函数的图象经过第一、二、四象限时，需满足斜率（使函数从左到右下降）且截距（使图象与轴正半轴相交），分别分析给定函数的斜率和截距的条件即可．【详解】一次函数的图象图象经过第一、二、四象限，且，解得．故答案为：．12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）函数的图象与轴的交点坐标是________，将该函数图象向上平移3个单位长度得到的函数解析式为________．【答案】【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的平移，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．令求出x的值，从而可得与x轴的交点坐标，再结合平移的规律可得平移后的解析式．【详解】解：∵函数为，∴令，则，即．∴函数的图象与x轴的交点坐标是．又∵该函数图象向上平移3个单位长度，∴，即．故答案为：，．13．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知是一次函数的图象上的两个点，则_______（填“”或“”或“”）．【答案】【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．根据一次函数的增减性即可得．【详解】解：一次函数中的，随的增大而增大，、是一次函数的图象上的两点，且，，故答案为：．14．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________．【答案】【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可．【详解】解：将坐标代入，得，解得，反射光线的函数关系式为，当时，，解得，，根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上，设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且），将坐标和分别代入，得，解得，入射光线的函数关系式为．15．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知一次函数（，是常数，），正比例函数（是常数，），下列四个结论，其中正确的是__________（填序号）．①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则；②若，则一次函数的图象经过第一、二、四象限；③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为；④若，当时，总是小于，则．【答案】①③④【分析】根据一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系解答即可．本题考查了一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则本结论正确；②若，且时，则一次函数的图象经过第一、三、四象限；故本结论错误；③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，得整理，得函数解析式为；故本结论正确；④若，，，当时，，，∴经过定点，当时，总是小于，∴，∴．故本结论正确，故答案为：①③④．16．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为__________．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，则点纵坐标为1，，将代入，求得，即可得到的坐标．【详解】解：在中，当时，得，．以为边在轴右侧作等边三角形，在线段的垂直平分线上，∴点纵坐标为1，∵将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，∴点纵坐标为1，将代入，得，解得．∴的坐标是．故答案为：．三、解答题17．（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知与成正比，且时，．(1)求关于的函数表达式；(2)当时，求的值；(3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式．【答案】(1)关于的函数表达式为；(2)；(3)平移后图象的表达式为．【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，（1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）把代入一次函数解析式可求得；（3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式．【详解】（1）解：依题意设∵时，，∴，解得∴关于的函数表达式为；（2）解：当时，；（3）解：将函数平移的表达式设为因为平移后的函数的图象经过点，所以，解得因此，平移后图象的表达式为．18．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)点在直线上，直线轴，交直线于点，若，求点的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为或【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．（1）把点P的坐标代入，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．【详解】（1）解：∵直线与直线交于点，∴，∴，设直线的解析式为，∵直线过点和，∴，解得，，∴直线的解析式为；（2）解：在中，令，则，得，∴，∵，∴，设，∵轴，∴∴即或，解得：或，∴点的坐标为或19．（24-25八年级下·四川攀枝