全品高考备战2027年数学一轮学生用书07增分微课10利用数列递推关系解决概率问题【答案】听课手册

增分微课10利用数列递推关系解决概率问题例1解:(1)记该顾客第i(i∈N*)次摸球抽中奖品为事件.依题意知P1=27,P2=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=27×13+1当n≥2时,P(An|An-1)=13,P(An|An-1)=12,Pn=且P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P(An-1)P(An|An-1),即Pn=13Pn-1+12(1-Pn-1)=-1所以Pn-37=-16Pn-1-37(n≥2),又因为P1-3所以Pn=37-1(2)当n为奇数时,Pn=37-17×6n-1<37.当n为偶数时,Pn=37+17×6n-1,此时Pn变式题解:(1)由题知,三次传递所有的传递方法有A→B→A→B,A→B→A→C,A→B→C→A,A→B→C→B,A→C→A→B,A→C→A→C,A→C→B→A,A→C→B→C,共8种,其中第三次传递后,信息在A元件中的传递方法有2种,所以第三次传递后,信息在A元件中的概率为28=1即一组随机连接检测成功的概率为14(2)若第1次从乙开始进行连接检测,则第n(n≥2)次由乙操作有两种情况:(i)第n-1次由乙操作,第n次继续由乙操作,其概率为Pn1=14Pn-1((ii)第n-1次由甲操作,第n次由乙操作,其概率为Pn2=1-14(1-Pn-1)=34-34所以Pn=Pn1+Pn2=-12Pn-1+34(n≥2),所以Pn-12=-12所以数列Pn-12是以所以Pn-12=12×-12n-1,所以例2解:(1)X的可能取值为1,2,且P(X=1)=12×14+12×1P(X=2)=1-14=34,所以X12P13E(X)=1×14+2×34=(2)(i)证明:当n=1时,P(B1)=P(C1)=12.当n≥2时,P(Bn)=12P(An-1)+14P(Cn-1P(Cn)=12P(An-1)+14P(Bn-1)①-②得P(Bn)-P(Cn)=-14[P(Bn-1)-P(Cn-1)](n又P(B1)-P(C1)=12-12=0,所以P(Bn)-P(Cn)=0(即P(Bn)=P(Cn)(n≥2).综上所述,P(Bn)=P(Cn).(ii)当n≥2时,P(An)=34P(Bn-1)+34P(Cn-1)③,①+②得P(Bn)+P(Cn)=P(An-1)+14[P(Bn-1)+P(Cn-1)](n≥2),由③知P(Bn-1)+P(Cn-1)=43P(A所以1-P(An)=P(Bn)+P(Cn)=P(An-1)+13P(An)(n所以P(An)-37=-34P(An-1)-37(n≥2),又P(A1)=0,P(A1)-37=-37,所以数列P(An)-37是以-37为首项,-34为公比的等比数列,可得P(A变式题解:(1)用1表示参赛者某轮猜中,用-1表示参赛者某轮猜不中,则4轮比赛后积分为3分的情况为1,1,1,-1或1,1,-1,1或1,-1,1,1,故参赛者参与4轮比赛后积分为3分的概率P=3×123×12(2)(i)当n=0时,参赛者一定不能获得奖品,因此P(0)=0.当n=10时,参赛者一定能获得奖品,因此P(10)=1.当1≤n≤9,n∈N时,P(n)=12P(n-1)+12P(所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n),所以{P(n)}(0≤n≤10,n∈N)是一个等差数列.设公差为d,则P(10)-P(0)=10d,解得d=110,所以P(n)=P(0)+n10=(ii)因为参赛者的初始积分为1分,所以参赛者最终获得奖品的概率为P(1)=110例3[思路点拨](1)依题意,先得到X的所有可能取值,再依次求得对应的概率,即可得解;(2)利用分步乘法计数原理,结合累乘法与古典概型的概率计算公式即可得解.解:(1)由题知,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=C41·P(X=2)=C31·2CP(X=3)=1C62所以X的分布列为X123P821所以E(X)=1×815+2×25+3×115(2)证明:不妨令绳头的编号分别为1,2,3,4,…,2n,则可以与绳头1打结围成1个圈的绳头除了1,2外有2n-2种可能,假设绳头1与绳头3打结,那么相当于对剩下n-1根绳子进行打结.设n(n≥2)根绳子打结后可围成1个圈的方法种数为an,那么经过一次打结后,剩下n-1根绳子打结后可围成1个圈的方法种数为an-1,由此可得an=(2n-2)an-1,n≥2,所以当n≥2时,anan-1=2n-2,a所以ana1=(2n-2)×(2n-4)×…×2=2n-1·(n显然a1=1,满足上式,故an=2n-1·(n-1)!;另一方面,对2n个绳头进行任意2个绳头打结,总共有N=C22n×(2n-1)×(2n-变式题35275005[解析]从2n(n≥2)张卡片中选取3张卡片的选法有C2n3种,选取的3张卡片中含有2张相同标号卡片的选法有n(2n-2)种,故从2n张卡片中选取3张,其中有2张相同标号卡片的概率为n(2n-2)C2n3=32n-1.将2张相同标号的卡片拿走以后,相当于从n-1(n≥2)对