全品高考备战2027年数学一轮备用题库05第53讲椭圆01第1课时椭圆及其性质【答案】作业手册

第53讲椭圆第1课时椭圆及其性质1.B[解析]根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,±3).故选B.2.A[解析]∵椭圆的离心率为12,a>1,∴a2-1a=12,∴3.D[解析]因为方程x2k-4+y28-k=1表示的曲线是椭圆,所以k-4>0,8-k>0,k4.A[解析]设M(x,y),则P'(x,0),P(x,2y),因为P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+(2y)2=16(y>0),整理得点M的轨迹方程为x216+y24=1(y>0)5.ABD[解析]设椭圆C:x29+y24=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=5,所以C的焦距为25,故A正确;C的离心率为ca=53,故B正确;△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+25,故C错误;当点P位于椭圆C的上顶点或下顶点时,△F1PF2的面积最大,最大值为12×2×25=25,6.x2254+y24=1(答案不唯一)[解析]设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题得c=32,所以a2-b2=7.13[解析]设椭圆C的半焦距为c,由椭圆的几何性质知,|PF|max=a+c,|PF|min=a-c,依题意得a+c=2(a-c),解得a=3c,所以椭圆C的离心率e=ca=8.A[解析]连接MF,FO,由题意知,CD是线段MF的垂直平分线,∴|MP|=|PF|,∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),显然|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可知点P的轨迹是以F,O两点为焦点的椭圆.故选A.9.B[解析]椭圆E:x24+y23=1的右焦点为F(1,0),设P(x,y),由|PF|=3,得(x-1)2+y2=消去y得x2-8x+4=0,又-2≤x≤2,所以x=4-23,当x=4-23时,对应的y值有2个,所以E上满足|PF|=3的点P有2个.故选B.10.C[解析]椭圆的方程为x29+y24=1,则a=3,b=2,c=a2-b2=5.设椭圆的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则由椭圆的对称性可知|OA|=|OB|,|OF1|=|OF2|,其中O为坐标原点,可知四边形AF1BF2为平行四边形,则|BF2|=|AF1|,可得△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|,当A,B为椭圆短轴的两个端点时,|AB|取得最小值,最小值为2b=4,所以△ABF2的周长为2a+|AB|≥6+4=10,故△11.C[解析]方法一:设P(x0,y0),易知B(0,b),由x02a2+y02b2=1,得x02=a21-y02b2,则|PB|2=x02+(y0-b)2=x02+y02-2by0+b2=a21-y02b2+y02-2by0+b2=-c2b2y02-2by0+a2+b2,y0∈[-b,b].由题知,当y0=-b时,|PB|2取得最大值,所以由二次函数的图象知方法二:P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,B是椭圆C的上顶点,因为|PB|≤2b,所以以B为圆心,2b为半径的圆与椭圆至多有一个交点.由b2x2+a2y2=a2b2,x2+(y-b)2=4b2,消去x可得(a2-b2)y2+2b3y+3b4-a2b2=0,令Δ=4b6-4b2(a2-b2)(3b2-a2)=0,化简整理可得(a2-2b212.BD[解析]由y2+2y=x3-4x2+5x-3,得(y+1)2=x3-4x2+5x-2=(x-1)2(x-2).对于A,因为(x-2-1)2(x-2-2)≠(-x-1)2(-x-2),所以曲线W不关于直线x=-1对称,故A不正确.对于B,设点(x0,y0)在曲线W上,则y02+2y0=x03-4x02+5x0-3,因为(-2-y0)2+2(-2-y0)-(x03-4x02+5x0-3)=4+y02+4y0-4-2y0-y02-2y0=0,所以点(x0,-2-y0)在曲线W上,所以曲线W关于直线y=-1对称,故B正确.对于C,D,由(y+1)2≥0,得(x-1)2(x-2)≥0,解得13.-1+2[解析]由题得MF⊥x轴,不妨设点M在第一象限内,因为M在抛物线上,所以Mp2,p,又M在椭圆上,所以Mc,b2a,所以p2=c且p=b2a,所以2ac=b2=a2-c2,所以e2+2e-1=0,解得e=-1+2或e=-1-14.12,5-12[解析]由题意知A1(-c,0),A2(a,0).设P(acosθ,bsinθ),cosθ∈(0,1),则A1P=(acosθ+c,bsinθ),A2P=(acosθ-a,bsinθ),∵∠A1PA2=π2,∴A1P·A2P=(acosθ+c)(acosθ-a)+b2sin2θ=0,即a2cos2θ+accosθ-a2cosθ-ac+b2-b2cos2θ=0,即c2cos2θ+(ca-a2)cosθ+b2-ac=0,即(c2cosθ+ac-b2)(cosθ-1)=0,则cosθ=b2-acc2=a2-ac-c2c2或cosθ=1(舍去).令ca=t(t>0),则cosθ=15.解:(1)不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距为2c.在△F1PF|P(|P即4a2-所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=4b23.因为|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,所以3a2≥4(a2-c2),所以c(2)证明:由(1)可知|PF1|·|PF2|=43b2,所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sin60°=12×43b2×32=3316.C[解析]如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于A,由题意知OQ∥PF1,O为F1F2的中点,故A为PF2的中点.由PF1·PF2=0,得PF1⊥PF2,则∠QAP=π2,又∠QPA=π4,所以△AQP所以m=a+b,n=a-b,又m2+n2=4c2,所以(a+b)2+(a-b)2=4c2,即a2+b2=2c2,又b2=a2-c2,所以2a2=3c2,所以e17.13[解析]易知O1O2与EF相交,设O1O2∩EF=D,连接O1E,O2F,由题意得|O2D41032-42=43,|DF|=21032-22=23,所以2c=43+23=2,即c=1.设直线EF与圆锥侧面的一个交点为