全品高考备战2027年数学一轮备用题库05第9讲函数的四性质的应用【答案】作业手册

第9讲函数的四性质的应用1.D[解析]对于A选项,由二次函数的性质可知y=x2不是周期函数,A错误.对于B选项,由指数函数的性质可知y=2x不是周期函数,B错误.对于C选项,由一次函数的性质可知y=xcosx不是周期函数,C错误.对于D选项,由正弦函数的性质可知y=sinx是周期函数,D正确.故选D.2.D[解析]∵f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=4x2-2,-2≤x≤0,x,0<x<1,∴f3.C[解析]当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1);当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上,当x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|,故选C.4.D[解析]由题得f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的函数,所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(-2+3)=-f(-2)=-2-2+sin-2π3=-15.ABD[解析]因为y=f(x-1)为奇函数,所以y=f(x-1)的图象关于原点对称,故D正确;f(x-1)+f(-x-1)=0,故B正确,C错误;由f(x-1)+f(-x-1)=0可知函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,故A正确.故选ABD.6.4[解析]由f(x+2)=-1f(x),得f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以f(2025)=f(47.7[解析]因为f(x)满足f12+x=2-f12-x,所以当x=38时,f78+f18=2,当x=28时,f68+f28=2,即f34+f14=2,当x=18时,f58+f38=2,当x=0时,f12+f12=2,即f128.A[解析]由题意可知,函数f(x)的定义域为R,因为f(1+x)+f(1-x)=f(x),所以f(1-x)+f(1+x)=f(-x),可得f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数.由f(1+x)+f(1-x)=f(x)可得f(2+x)+f(-x)=f(x+1),即f(2+x)+f(x)=f(x+1),整理得f(2+x)+f(1-x)=0,可得f(3+x)+f(-x)=f(3+x)+f(x)=0,则f(6+x)+f(3+x)=0,可得f(6+x)=f(x),所以6为f(x)的周期.由f(1+x)+f(1-x)=f(x),f(0)=2,令x=0,可得f(1)+f(1)=f(0)=2,可得f(1)=1,令x=1,可得f(2)+f(0)=f(1)=1,可得f(2)=-1,所以f(20)+f(24)=f(2)+f(0)=-1+2=1.故选A.9.A[解析]对于A,由题意知x∈(0,1),若x=mn是有理数,且m,n(m<n)是互质的正整数,则n-m,n也是互质的正整数,所以fmn=1n=fn-mn=f1-mn,若x为无理数,则1-x也为无理数,所以f(x)=f(1-x)=1,所以f(x)的图象关于直线x=12对称,故A正确;对于B,f12-24=1,f12+24=1,显然f(x)的图象不关于点12,12对称,故B错误;对于C,f12=12,f23=13,所以f(x)在(0,1)上不单调递增,故C错误;对于D,若x为有理数mn(m,n(m<n)是互质的正整数),则f(x)10.AC[解析]因为y=f(x-1)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),又f(x)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=f(x),故A正确;因为y=f(x-1)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,故B错误,C正确;假设y=f(x+2)是R上的偶函数,则f(x+2)=f(2-x)=f(x),由f(x)=f(x+2),可得f(2-x)=f(-x),所以f(x)=f(-x),所以函数f(x)是偶函数,与已知条件矛盾,故D错误.故选AC.11.AD[解析]由函数f(x)为奇函数,且定义域为R,得f(0)=0,A选项正确;因为f(x)=f(2-x),所以f(x+1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,B选项错误;因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以由f(x)=f(2-x)可得-f(-x)=f(2-x),则-f(x)=f(2+x),所以-f(x+2)=f(x+4),可得f(x)=f(4+x),函数f(x)的一个周期为4,C选项错误,D选项正确.故选AD.12.BD[解析]f(x)=e2sinx-π4+e-2sinx-π4.对于B,fx+π4=e2sinx+e-2sinx=f-x+π4,则f(x)的图象关于直线x=π4对称,故B正确.对于C,f(x+π)=e2sinπ+x-π4+e-2sinπ+x-π4=e-2sinx-π4+e2sinx-π4=f(x),所以π为函数f(x)的一个周期,故C错误.对于D,令t=2sinx-π4∈[-2,2],g(t)=et+e-t,易知g(t)为偶函数,则只需考虑t∈[0,2]时g(t)的最值.g'(t)=et-e-t,当t>0时,g'(t)>0,g(t)单调递增,则当t∈[0,2]时,2=g(0)≤g(t)≤g(2)=e2+e-2,故D正确.对于A,因为fx-π4=e-2cosx+e2cosx=f-x-π4,所以函数f(x)的图象关于直线x=-π4对称,由上分析知函数f(x)的图象关于直线x=π4对称,因为t=2sinx-π4在-π4,π4上单调递增,且当x∈-π4,π4时,t=2sinx-π4∈[-2,0],函数g(t)=et+e13.6[解析]因为y=g(x+1)是偶函数,g(x+1)=xf(x+1),其中y=x为奇函数,所以y=f(x+1)必为奇函数,则有f(1-x)=-f(1+x),可得f(-x)=-f(x+2),又因为f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)的周期为4.由y=g(x+1)是偶函数,可得g(-x+1)=g(x+1),所以g(-x)=g(x+2),所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=1.5f(-2.5)=1.5f(-2.5+4×2)=1.5f(5.5)=6.14.(-1,0)∪(2,+∞)[解析]函数y=f(x)的图象可由y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到,因为y=f(x+1)是偶函数,即其图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,1]上单调递减,又f(0)=0,所以f(2)=0.当x+1>0,即x>-1时,由(x+1)f(x)>0得f(x)>0,可得-1<x<0或x>2;当x+1<0,即x<-1时,由(x+1)f(x)>0得f(x)<0,无解.综上,不等式(x+1)f(x)>0的解集为(-1,0)∪(2,+∞).15.解:(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=x2+2x.当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.(3)易得f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,因为函数f(x)的周期为4,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)+f(2025)=f(0)+f(1)=1.16.解:(1)证明:根据题意,f(x)=21+21-x,令g(x)=f(x+1)-1=21+2-x-1,因为g(x)+g(-x)=21+2-x-1+21+2所以函数g(x)=21+2-x-1是奇函数,即y=f(x+1)则函数f(x)的图象关于点(1,1)对称.(2)根据题意,f(x)=21+21-x,函数y=1+21-x在R上为减函数,且y=1+21则f(x)=21+21-由(1)知函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,故有f(x)+f(2-x)=2,即2-f(x)=f(2-x),所以2-f(5-2a)=f[2-(5-2a)]=f(2a-3),因为f(-a2)+f(5-2a)>2,所以f(-a2)>f(2a-3).因为f(x)=21+21-x是R上的增函数,所以-a2>2a-3,即a2+2a-3<0,解得-3<a<1,所以实数a17.B[解析]由题可知函数g(x)的图象可由f(x)的图象向左平移一个单位长度得到,则f(x)的图象与两坐标轴围成的图形的面积即为g(x)的图象与直线x=-1,y=0所围成的图形的面积.g(x)=log32-xx+2-x+2,由2-xx+2>0得(x-2)(x+2)<0,解得-2<x<2,所以g(x)的定义域为(-2,2