全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第31讲平面向量的概念及其线性运算【正文】听课手册

第五单元平面向量与复数第31讲平面向量的概念及其线性运算【课标要求】1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.

2.理解平面向量的几何表示和基本要素.

3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.

4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.

5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.1.向量的有关概念及表示名称定义表示向量既有又有的量

用a,b,c,…或AB,BC,…表示向量的长度(模)向量的称为向量的长度(或称模)

或

零向量长度为0的向量记作

单位向量长度等于的向量

用e表示,|e|=

相等向量相等且相同的向量

向量a和b相等,记作

两个向量平行(或共线)方向或的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量

两个向量a和b平行,记作,零向量与任意向量

2.向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律:a+b=b+a;②结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求两个向量差的运算三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb特别注意向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0;当a=0时,λa=0.实数和向量可以求积,但是不能求和、求差.3.向量共线的充要条件向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(口诀:数乘即得平行,平行必有数乘)常用结论1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则OP=12(OA+OB)2.若A,B,C是平面内不共线的三点,则PA+PB+PC=0⇔P为△ABC的重心,AP=13(AB+AC)3.已知OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.4.向量三角不等式①已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(当a与b反向共线时左边等号成立;当a与b同向共线时右边等号成立);②已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(当a与b同向共线时左边等号成立;当a与b反向共线时右边等号成立).题组一常识题1.[教材改编]给出下列各式:①AB+BC+CA=0;②AM+MB+BO+OM=AM;③AB+BC-AC=0;④AB-AD-DC=BC.其中化简结果正确的是.(填序号)

2.[教材改编]已知▱ABCD的对角线AC和BD交于点O,且OA=a,OB=b,则DC=,BC=.(用a,b表示)

3.[教材改编]已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,12a-32b共线,则实数t=题组二常错题◆索引:对向量的概念理解不清致误;对向量相等的隐含条件挖掘不全致误;忽视两向量的方向关系致误.4.已知平面向量a,b,则“a=b或a=-b”是“|a|=|b|”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

5.已知平面四边形ABCD中,满足AB=DC,则四边形ABCD是.

6.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=3,则|a+b|的取值范围为.

平面向量的基本概念例1(1)(多选题)下列说法中正确的有 ()A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反C.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同D.两个有公共终点的向量一定是共线向量(2)已知a,b都是非零向量,则下列四个选项中为“a|a|=b|bA.a=3b B.a∥bC.a=-b D.a∥b且|a|=|b|总结反思(1)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性.(2)不改变向量a的大小和方向,自由平移a,平移后的向量与a相等.(3)非零向量的平行具有传递性.(4)a|a|(a≠0)是与变式题(1)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中,相等向量有对.

(2)(多选题)下列说法正确的是 ()A.若a和b都是单位向量,则a=bB.相等的两个向量一定是共线向量C.若a∥b,c∥b,则a∥cD.两个非零向量的和可以是零向量平面向量的线性运算背景问题微点1平面向量的加、减运算的几何意义例2已知非零向量a,b,c,则“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件总结反思利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形(或三角形)或可能构造出平行四边形(或三角形)的问题,可考虑利用向量知识来求解.微点2平面向量的线性运算例3在平行四边形ABCD中,已知EC=BE,DF=2FC,则FE= ()A.-13AB+B.-13ABC.13AB+D.13AB总结反思向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.微点3利用向量的线性运算求参数例4[2025·湖北鄂南高级中学等三校4月联考]在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的点,BC=8EC,点F是线段DE的中点,若AF=λAB+μAD,则μ=.

总结反思解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB= ()A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n2.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC的形状为 ()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形3.(多选题)在△ABC中,记AB=a,AC=b,已知点D在直线BC上,且BD=3DC.若AD=ma+nb,则mn的值可能为 (A.-2 B.-1C.13 D.4.在△ABC中,已知BD=k(AC-AD),且AD=AB-45CB,则k=共线向量定理及应用例5(1)[2025·福建泉州模拟]已知向量e1,e2不共线,AB=λe1+e2,AC=2e1+μe2,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则2λ+μ的最小值为 ()A.5 B.4C.3 D.2(2)已知P是△ABC所在平面内的一点,若CB=λPA+PB,其中λ∈R,则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上总结反思利用共线向量定理解题的方法(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判定两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向.(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.(3)要证明A,B,C三点共线,只需证明AB与BC共线,即证AB=λBC(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有AB与BC共线,从而