全品高考备战2027年数学一轮学生用书01第31讲平面向量的概念及其线性运算【答案】听课手册

第五单元平面向量与复数第31讲平面向量的概念及其线性运算●课前基础巩固【知识聚焦】1.大小方向大小|a||AB|01个单位长度1长度方向a=b相同相反a∥b平行【对点演练】1.①②③[解析]AB+BC+CA=AC+CA=0,①正确;AM+MB+BO+OM=AB+BM=AM,②正确;AB+BC-AC=AC-AC=0,③正确;AB-AD-DC=DB-DC=CB,④错误.故填①②③.2.b-a-a-b[解析]如图,DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC-OB=-OA-OB=-a-b.3.13[解析]由a,b不共线,易知向量12a-32b为非零向量.由向量b-ta,12a-32b共线,可知存在实数λ,使得b-ta=λ12a-32b,即t+12λa=32λ+14.充分不必要[解析]若a=b或a=-b,则|a|=|b|;反之,若|a|=|b|,因为两个向量的方向不确定,所以不能推出a=b或a=-b.所以“a=b或a=-b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.5.平行四边形[解析]在平面四边形ABCD中,因为AB=DC,所以AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形.6.[1,5][解析]当a与b方向相同时,|a+b|=5;当a与b方向相反时,|a+b|=1;当a与b不共线时,1<|a+|<5.所以|a+b|的取值范围为[1,5].●课堂考点探究例1[思路点拨](1)根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,判断正误即可.(2)a|a|,b|b|分别表示与a,b方向相同的单位向量,因此a|a(1)AC(2)A[解析](1)对于A,向量AB的长度与向量BA的长度相等,方向相反,故A正确;对于B,当向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足a与b的方向相同或相反,故B错误;对于C,两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C正确;对于D,两个有公共终点的向量不一定是共线向量,故D错误.故选AC.(2)a|a|=b|b|等价于a与b同向,当a=3b变式题(1)2(2)BD[解析](1)由AB∥CD可知,△OCD∽△OAB,所以OCOA=ODOB,所以OCAC=ODBD.因为MN∥AB,所以OCAC=ONAB,ODBD=OMAB,所以ONAB=OMAB,所以OM=ON.又M,O,N(2)对于A,a,b都是单位向量只能得出|a|=|b|,a,b的方向不一定相同,得不出a=b,故A错误;对于B,相等的两个向量一定是共线向量,故B正确;对于C,若a∥b,c∥b,则当b=0时,得不出a∥c,故C错误;对于D,两个非零向量的和还是向量,当两个向量的长度相等且方向相反时,和为零向量,故D正确.故选BD.例2[思路点拨]根据充分性、必要性的定义,结合向量减法的几何意义判断条件间的推出关系,即可得到答案.A[解析]如图,由|a-b|≤1,|b-c|≤2,得|a-c|≤|a-b|+|b-c|≤3,充分性成立;当|a-c|≤3时,不一定有|a-b|≤1,|b-c|≤2,必要性不成立.综上,“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的充分不必要条件.故选A.例3[思路点拨]思路一:在△AEF,△ABE,△ADF中分别利用向量加法的三角形法则表示FE,AE,AF,再线性运算表示出FE.思路二:在△CEF中利用向量加法的三角形法则表示FE,再根据向量相等即可表示出FE.D[解析]在平行四边形ABCD中,有AB=DC,AD=BC.方法一:FE=AE-AF=(AB+BE)-(AD+DF)=AB+12BC-AD+23DC=方法二:FE=FC+CE=13DC+12CB=13例4[思路点拨]由AF=12(AD+AE)及AE=AB+781516[解析]因为点F是线段DE的中点,所以AF=12(AD+AE),又AE=AB+BE=AB+78BC=AB+78AD,所以AF=12(AD+AE)=12AD+1【应用演练】1.B[解析]因为点D在边AB上,BD=2DA,所以BD=2DA,所以CD-CB=2(CA-CD),所以CB=-2CA+3CD=-2m+3n.2.B[解析]OB+OC-2OA=(OB-OA)+(OC-OA)=AB+AC,OB-OC=CB=AB-AC,∴|AB+AC|=|AB-AC|,故A,B,C为矩形的三个顶点,∴△ABC为直角三角形.故选B.3.BC[解析]当点D在线段BC上时,如图①,AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC=14a+34b,此时mn=1434=13.当点D在线段BC的延长线上时,如图②,AD=AB+BD=AB+32BC=AB+32(AC-AB)=-1 4.4[解析]将BD=AD-AB,AC=AB+BC代入BD=k(AC-AD),得AD-AB=k(AB+BC-AD),整理得AD=AB+kk+1BC=AB-kk+1CB,又AD=AB-45CB例5[思路点拨](1)由平面向量的共线定理可得λμ=2,再结合基本不等式即可求得答案.(2)将CB=λPA+PB化为CP=λPA,根据共线向量定理可判定.(1)B(2)B[解析](1)因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使AB=kAC,即λe1+e2=k(2e1+μe2),又向量e1,e2不共线,所以λ=2k,1=μk,整理得λμ=2.因为λ>0,μ>0,所以2λ+μ≥22λμ=4,当且仅当2λ=μ=2时取等号,所以2(2)由CB=λPA+PB,得CB-PB=λPA,即CP=λPA,则CP,PA为共线向量,又CP,PA有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在AC边所在直线上.故选B.变式题(1)A(2)34[解析](1)由2OA=3OB+λOC,得OA=32OB+λ2OC,因为点A,B,C是直线l上相异的三