全品高考备战2027年数学一轮学生用书06增分微练6与球有关的切、接问题【答案】作业手册

增分微练6与球有关的切、接问题1.C[解析]由题意知,圆柱O1O2的底面半径r=1,母线长l=2,所以圆柱O1O2的表面积S=2πr2+2πrl=2π+4π=6π.故选C.2.C[解析]正四面体的内切球与其外接球球心重合,如图,正四面体ABCD的内切球与外接球球心O在其高AO1上,则OO1是正四面体ABCD的内切球的半径,OA是正四面体ABCD的外接球的半径.由正四面体ABCD的内切球的表面积为4π,得OO1=1,令AB=a,则BO1=32a·23=33a,AO1=AB2-BO12=63a,则BO=AO=63a-1,在Rt△BOO1中,63a-12-3.A[解析]在△ABC中,∠BAC=30°,BC=1,利用正弦定理可得△ABC的外接圆的半径r=12×BCsin∠BAC=12×1sin30°=1,又AA1=23,所以直三棱柱A1B1C1-ABC的外接球的半径R=124.D[解析]如图,△ABC为圆锥的轴截面,其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O.因为AM=32-12=22,所以S△ABC=12×2×22=22.设内切圆的半径为r,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r=12×(3+3+2)×r=22,解得r=22,故圆锥内半径最大的球的体积V=5.D[解析]依题意,得正六棱柱的高h=2×23=43,底面正六边形的内切圆半径为23.如图,正六边形外心和内心是同一点,则底面正六边形的外接圆半径r=23sin60°=4,所以该正六棱柱外接球的半径R=r2+h22=42+(6.A[解析]设正方体为ABCD-A1B1C1D1,球O1,O2的半径分别为r1,r2,作出对角线A1C及球心O1,O2所在的截面ACC1A1,如图.∵正方体的棱长为3+3,∴A1C=3(3+3)2=3+33,在Rt△ACA1中,sin∠ACA1=AA1A1C=3+33+33=33,∴sin∠ACA1=r2CO2=2CO2,sin∠ACA1=r1A1O1,∴CO2=23,A1O1=r133=3r1.∵A1C=A1O17.ABD[解析]因为AB=6,BC=8,AB⊥BC,所以AC=10,又AA1=3,所以三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为(6+8+10)×3+2×12×6×8=120,故A正确;△BC1E的周长为BC1+BE+EC1,将平面BAA1B1沿A1A展开到平面ACC1A1中,展开图为矩形MCC1N,如图,则BE+EC1≥MC1=162+32=265(当且仅当M,E,C1三点共线时取等号),又BC1=82+32=73,所以△BC1E周长的最小值为265+73,故B正确;因为AB=6,BC=8,AB⊥BC,AC=10,所以△ABC的内切圆半径r=2S△ABCAB+BC+AC=2×12×6×86+8+10=2,因为AA1=3<2r=4,所以球O的最大半径为AA12=38.96[解析]如图所示,设P在底面的射影为G,易知正四棱锥P-ABCD的外接球球心在PG上,由题意得球O的半径为PO=AO=5,OG=8-5=3,所以AG=52-32=4,PA=82+42=45,则AB=8×22=42.在△PAB中,边BA上的高为(49.283[解析]如图,作出过正四棱台上下底边中点(在对面棱上)的截面,设上底面边长为2x,则下底面边长为4x,则CM=CF=x,BM=BE=2x,∠CIM=12∠MIF,∠BIM=12∠MIE,故∠CIB=∠CIM+∠BIM=12(∠MIE+∠MIF)=90°.在Rt△CIB中,IM⊥CB,则由射影定理,得IM2=CM·BM,即2x2=1,可得x=22,于是棱台的上底面面积为(2x)2=2,下底面面积为(4x)2=8,高为2,故该正四棱台的体积V=110.解:(1)设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,因为S△ABC=12×3×2=3,所以h=VABC-A1(2)VC-AEF=VF-ACE=13·S△ACE·AF=13×12S△ABC×12AA1=112VABC(3)如图,设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为b,上底面的中心为O1,下底面的中心为G,连接O1G,则球O的球心O为O1G的中点,球O切棱AA1于点F,切棱BC于点E,连接OF,OE.由题意知VABC-A1B1C1=34a2b=46①,因为OF=AG=a2sinπ3=33a,GE=36a,OG=b2,所以OE=OG2+GE2=b24+a212,所以33a=b24+a21211.C[解析]设球心O到平面ABCD的距离为h,球O的半径为r,由题意可知,当点P到平面ABCD的距离为r+h时,四棱锥P-ABCD的体积最大,所以13×(6)2×(r+h)=6,解得r+h=3,因为A,B,C,D在球面上,设它们所在的小圆的圆心为O1,所以O1A=3,则OA2=r2=h2+(3)2,即r2=(3-r)2+(3)2,解得r=2,故球O的表面积为4πr2=16π.故选C12.C[解析]如图①,将圆台补成圆锥PO1,则AB=3,AO2∶BO1=1∶2,则PB=6,设∠PBO1=θ,则PO1=6sinθ,BO1=6cosθ,则圆台体积为78×13×π×(6cosθ)2×6sinθ=7×63π24cos2θsinθ.令f(θ)=cos2θsinθ=(1-sin2θ)sinθ=sinθ-sin3θ.记g(x)=x-x3,x∈(0,1),则g'(x)=1-3x2,当x∈0,33时,g'(x)>0,当x∈33,1时,g'(x)<0,所以g(x)max=g33,即g(x)取得最大值时,x=33,即sinθ=33,则圆台的体积最大时,PO1=23,BO1=26,O1O2=3,AO2=6.如图②,在圆台的轴截面内,以O1为原点,建立平面直角坐标系,则A(-6,3),B(-26,0).由对称性,可设圆台外接球的球心为O(0,t),由OA=OB得6+(3-t)2=24+t2,解得t=-513.A[解析]如图所示,设A在底面BCD的射影为F,连接DF并延长,交BC于点E,易知E为BC的中点.设正四面体ABCD的棱长为a,则由正四面体的特征知ED=BD2-BE2=32a,DF=33a=2EF,正四面体ABCD的高为AF=63a.当正四面体ABCD内接于球O,即OA=6时,a最小,此时33a2+63a-62=6,可得a=4.当球O与正四面体ABCD的每条棱都相切,即OE=6时,a最大,因为球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等,所以当球O与正四面体ABCD的每条棱都相切时,借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点,且球心O到正四面体ABCD的顶点的距离为63a-612a=64a,利用勾股定理可得14.ABD[解析]对于A,正方体内切球的直径为1m,故A正确;对于B,如图①,在正方体中作出正四面体A1BDC1,该正四面体的棱长为BA1=2m,而2>1.4,故B正确;对于C,圆柱体的底面直径为0.01m,可以忽略不计,正方体的体对角线的长为3m,而1.8>3,故C不正确;对于D,圆柱体的高为0.01m,可忽略不计,如图②,取E,F,G,H,I,J分别为所在棱的中点,并顺次连接,所得六边形EFGHIJ为正六边形,其边长为22m,连接FH,易知FH为正六边形EFGHIJ的内切圆直径,因为∠GFH=∠GHF=30°,所以FH=3FG=3GH=62m,而622=64>1.22=115.ACD[解析]对于A,易得正四棱锥M-ABCD的高为22,正三角形ABM的高为32,设内切球的半径为r,则由等面积法可得8×13×12×1×32r=2×13×1×1×22,解得r=66,所以内切球的表面积为4πr2=2π3,故A正确;对于B,正八面体的体积为2×13×1×1×22=23,故B错误;对于C,取MA的中点H,连接PH,则PM·PA=(PH+HM)·(PH+HA)=PH2-HA2=PH2-14,易知内切球的球心O到点H的距离为12,所以PH的最小值为12-r,最大值为12+r,又r=66,所以PM·PA的取值范围是1-66,1+66,故C正确;对于D,由球的几何性质可知,当PA与球O相切时,∠PAC最大,此时∠PAC为锐角,易知AC=2,OA=12AC=2216.3π[解析]方法一:由题意得,球为正四棱锥的内切球.如图①所示,设底面中心为O,过点P作与AC垂直的平面,则该平面与球的交线为圆,过点A作与PC垂直的平面,该平面与球的交线也为圆,球上两圆的交点即为点Q.因为两圆都关于平面PAC对称,且两圆有且只有一个交点,故点Q也在平面PAC上,即点Q在PO上.取M,N分别为AD,BC的中点,分别作平面PAC,平面PMN截正四棱锥的截面,如图②③所示.设球的半径为R,球心为O1,则OQ=2R.在图②中,因为AC·PQ=AQ·PC=0,所以∠QAO+∠C=90°,∠CPO+∠C=90°,所以∠QAO=∠CPO,又∠POA=∠POC=90°,所以△AOQ∽△POC,所以AOOQ=POOC,即3222R=PO322,解得PO=94R.在图③中,tan∠PMO=POOM=32R,tan∠O1MO=O1OOM=2R3,因为tan∠PMO·tan∠O1MO=1,所以∠PMO+∠O1MO=90°,因为球O1与MN,PM均相切,所以∠PMO1=∠O1MO,所以∠PMO=2∠O1MO,所以3∠O1MO=90°,则∠O1方法二:连接BD,设AC∩BD=O,连接OP,如图,建立以O为原点的空间直角坐标系.因为底面边长为3,所以A322,0,0,C-322,0,0,设P(0,0,t),Q(x,y,z),则PQ=(x,y,z-t),AC=(-32,0,0),AQ=x-322,y,z