全品高考备战2027年数学一轮学生用书06增分微课6与球有关的切、接问题【正文】听课手册

【知识链接】与球有关的切、接问题常见考法:一是求空间几何体的外接球,空间几何体可以为多面体,也可以为旋转体,可以求此球的表面积或体积,也可以求空间几何体的相关的量;二是求空间几何体的内切球,空间几何体可以为多面体,也可以为旋转体,若为多面体,多利用等体积法求解,若为旋转体,多利用轴截面求解;三是棱切球,多考查正方体或正四面体的棱切球问题;四是组合体切接问题与含动点切接问题,此时难度一般略有拔高,需针对所给的几何体的特征,合理地选择方法进行破解.【必记结论】与球接、切有关的几个结论1.设正方体的棱长为a,则:①该正方体的外接球的半径为3a2,内切球的半径为②若球与该正方体的各棱相切,则球的半径为2a2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a23.棱长为a的正四面体的外接球的半径为64a,内切球的半径为612a,外接球的半径与内切球的半径之比为4.圆柱的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线构成的线段的中点处,正棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球.5.圆锥的外接球的球心在顶点与底面圆的圆心连线所在的直线上,若棱锥的顶点在底面外接圆的圆心的垂线上,则该棱锥的外接球的球心在顶点与底面外接圆的圆心连线所在的直线上.6.圆台的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线所在的直线上,正棱台的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心连线所在的直线上.类型一外接球例1(1)[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ()A.100π B.128πC.144π D.192π(2)[2023·全国乙卷]已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=.

总结反思求解多面体的外接球的主要方法:(1)构造模型法:即寻找适合题意的长方体、正方体、圆柱等几何体,借助这些几何体迅速求得外接球半径;(2)建立直角梯形或直角三角形法:即先找到底面多边形的外心,作出外接球球心,借助题设中的条件得到多面体的高,构成直角梯形或直角三角形来求解.变式题(1)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,PA,PB,PC两两垂直,且该三棱锥的外接球的表面积为9π,则该三棱锥的体积为()A.24 B.32 C.3 D(2)已知正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4,若将此棱锥放在一球形容器内可任意转动,则该球形容器的表面积的最小值为.

(3)[2025·吉林三模]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱BC的中点为E,棱DD1的中点为F,则三棱锥A-D1EF的外接球的表面积为.

类型二内切球例2(1)[2025·山西运城部分学校联考]一个圆锥的侧面展开图是一个半径为23的半圆,在该圆锥内有一个体积为V的球,则该球的体积V的最大值为 ()A.π6 B.C.4π3 D.(2)[2025·全国二卷]一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为cm.

总结反思处理与内切球相关的问题:1.解题时常用以下结论确定球心和半径:①球心在过切点且与切面垂直的直线上;②球心到各面的距离相等.2.利用体积法求多面体内切球的半径,即r=3V变式题(1)[2025·河北唐山滦南期中]一个体积为43π的球在一个正三棱柱的内部,且球面与该正三棱柱的所有面都相切,则此正三棱柱的表面积为 ()A.543 B.54C.273 D.27(2)[2025·四川绵阳中学模拟]正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为6,12,该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切),则正三棱台的高为 ()A.6 B.26C.36 D.46类型三棱切球例3(1)[2025·广西南宁期末]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切,若点P在球O的表面上,且在正方体外部(含正方体表面)运动,则PA·PB的最大值为 ()A.74 B.C.34 D.(2)[2023·全国甲卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

总结反思1.如果一个球与一个多面体的所有棱都相切,那么这个球就被称为多面体的棱切球.例如,在正方体中,棱切球的直径等于正方体的面对角线长,且球的一部分位于正方体外部,与正方体的每个面都有接触点.2.解决棱切球问题的基本步骤:找切点、找球心,构造直角三角形解决问题.对于正四面体的棱切球,常补成正方体进行破解.变式题(1)[2025·河北衡水中学模拟]在正三棱锥P-ABC中,AB=23,PA=4,若半径为r的球O与三棱锥P-ABC的六条棱均相切,则r2= ()A.2-233 B.C.193-243 (2)[2026·浙江嘉兴期末]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,球O与棱AB,AD,AA1均相切,且与侧面BCC1B1也相切,则球O的半径为.

类型四组合体切接问题例4如图,这是某零件的结构模型,中间大球为正四面体的内切球,小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB=12,则该模型中一个小球的体积为.

总结反思解决组合体与球相切或外接问题,常常需要截面来剖析几个几何体之间的相互关系,然后将空间问题转化为平面问题来解决.注意对于多面体的内切球问题,常利用等体积法进行求解.变式题清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”,其可由两个正交的全等正四面体组合而成(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点).如图,若正四面体的棱长为2,则该组合体的表面积为;该组合体的外接球的体积与两正交四面体公共部分的内切球的体积的比值为.

类型五含动点切接问题(最值问题)例5(1)[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该正四棱锥体积的取值范围是 ()A.18,814 C.274,643 (2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为9,则球O的表面积的最小值是.

总结反思与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点,常见的求解方法主要有以下三种:(1)转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决.(2)转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用平面几何方法或三角函数来解决.(3)利用基本不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利用基本不等式求其最值.变式题(1)[2025·湖南娄底二检]已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的各