2026年苏州高三数学高考三模冲刺卷：概率统计与实际应用建模（冲刺讲评版第4套）含参考答案、逐题解析与评分细则

2026年苏州高三数学高考三模冲刺卷（冲刺讲评版第4套）2026年苏州高三数学高考三模冲刺卷：概率统计与实际应用建模（冲刺讲评版第4套）含参考答案、逐题解析与评分细则地区或学校簇：苏州/冲刺讲评版考试节点：2026届高考三模冲刺科目：数学专题重点：概率统计与实际应用建模；兼顾函数与导数、圆锥曲线、立体几何、数列三角及压轴题评分细则。学校：____________班级：____________姓名：____________准考证号：____________满分：150分考试时间：120分钟注意事项1.本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。请在指定位置填写学校、班级、姓名和准考证号。2.单项选择题每题只有一个正确选项；多项选择题每题有两个或两个以上正确选项，全部选对得满分，少选且无错选得部分分，错选或多选不得分。3.填空题只写最终答案；解答题须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。答案写在本卷对应作答区内，书写要规范。4.本套卷用于2026年苏州高三数学高考三模冲刺讲评，题目难度按临考查漏补缺与课堂讲评需要设置。题型与分值题型题号每题分值小计单项选择题1—85分40分多项选择题9—116分18分填空题12—155分20分解答题16—22见题干72分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.复数的虚部为（）A.B.C.D.3.已知向量，，且。若，则（）A.B.C.D.4.函数在定义域内的零点个数为（）A.B.C.D.5.若随机变量，则（）A.B.C.D.6.在三角形中，已知，，，则边（）A.B.C.D.7.椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.某校用正态模型描述高三学生一次限时训练的完成时间（单位：分钟），若，且约有的学生完成时间落在，则的估计值为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每题全部选对得6分，少选且无错选得3分，错选或多选得0分。9.某学习小组5名同学一次小测成绩为，下列说法正确的是（）A.平均数为B.中位数为C.方差为D.每个数据都加后，标准差不变10.已知函数，下列判断正确的是（）A.B.在上单调递增C.是的极大值点D.方程有三个不同实根11.袋中有6个蓝球和4个红球，从中不放回地随机取2个，设取到红球个数为。下列结论正确的是（）A.B.C.D.选择题答题栏1234567891011三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案写在题中横线上。12.等差数列中，，，则前10项和__________。13.随机变量的分布列为，，则常数__________。14.已知函数在处的切线与直线平行，则__________。15.某区三所学校高三人数之比为，采用分层抽样抽取120人参加三模冲刺问卷，则第三所学校应抽取__________人。四、解答题：本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分10分）某校高三数学备课组对50名学生一次概率统计专项训练的得分进行整理，得到如下频数表。分数区间频数6141812（1）用组中值估计这50名学生的平均得分；（2）从得分低于70分的学生和得分不低于90分的学生中各按原人数放入同一名单，共18人。若从该名单中随机抽取2人，求两人都来自不低于90分组的概率。解答区：17.（本小题满分10分）已知数列满足，。（1）求的通项公式；（2）设，求。解答区：18.（本小题满分10分）如图形关系用文字描述：四棱锥的底面为矩形，，，，。取的中点。（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正切值。解答区：19.（本小题满分10分）已知函数，。（1）当时，求的单调区间和最大值；（2）求实数的取值范围，使方程在上恰有一个实数根。解答区：20.（本小题满分10分）已知椭圆，右焦点为。（1）求椭圆在点处的切线方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，设弦的中点为，求点的轨迹方程。解答区：21.（本小题满分11分）苏州某商圈统计5个相邻工作日“气温等级”与某饮品门店销量指数，数据如下表。1234579101212（1）求与的线性回归方程；（2）当气温等级为6时，估计销量指数；（3）若备货安全线为14，结合模型说明是否需要额外增加临时备货，并指出该线性模型在临考建模题中的一个使用限制。解答区：22.（本小题满分11分）某文创店在三模后开展活动，单日盲盒需求量的分布列如下。每盒进价18元，售价30元，未售出可按10元回收；若缺货，每少供应1盒记4元顾客体验成本。店主可订货盒。012340.050.150.300.300.20（1）求；（2）写出利润函数并计算的期望利润，确定最优订货量；（3）若售价改为元，其余条件不变，求使不劣于其他订货量的的取值范围。解答区：草稿与检查区本区可用于第19—22题的参数讨论、圆锥曲线消参、回归计算和期望利润比较。正式得分以各题解答区为准。解答区：

参考答案与详解本部分按题号给出答案、关键解析与评分细则。客观题解析突出关键知识点和常见误判；解答题按步骤列出采分点，便于学生订正和教师讲评。一、客观题答案速查题号1234567答案AABBBAB题号891011121314答案DABDACDABC145215.答案：50。二、单项选择题解析与评分口径1.答案A。；由得，所以。B将端点3误判为闭，C未取交集，D忽略对数不等式。答对得5分。2.答案A。，虚部为。B混淆实部，C、D符号错误。答对得5分。3.答案B。由得，即。又，故。答对得5分。4.答案B。，函数在上增、在上减，且；当或时，，故有两个零点。答对得5分。5.答案B。。A漏乘组合数，C指数位置错误，D把成功概率与失败概率混用。答对得5分。6.答案A。余弦定理：，所以。答对得5分。7.答案B。椭圆中，，，离心率。答对得5分。8.答案D。正态分布中约的数据落在均值左右一个标准差内，即，，故。答对得5分。三、多项选择题解析与评分口径9.答案ABD。平均数为，中位数为10；方差按计算为，故C错误；整体平移不改变离散程度，标准差不变。全对6分，少选且无错选3分。10.答案ACD。，A正确；在上，函数递减，B错误；处导数由正变负，是极大值点，C正确；极大值，极小值，结合两端趋势可知有三个不同实根，D正确。全对6分，少选且无错选3分。11.答案ABC。，A正确；，B正确；超几何分布期望，C正确；方差，D错误。全对6分，少选且无错选3分。四、填空题解析与评分口径12.答案145。设公差为，由、得，，故。答案正确得5分；只算出可酌情给2分。13.答案。由分布列概率和为1，得，即，故。答案正确得5分。14.答案2。，切线与平行，斜率为3，所以，得。答案正确得5分。15.答案50。总比例为，第三所学校抽样人数为。答案正确得5分。五、解答题逐题解析与评分细则16.解析（1）用组中值估计平均分：。（2）低于70分有6人，不低于90分有12人，共18人。从18人中取2人共有种等可能取法，两人都来自不低于90分组共有种，所以概率为。评分细则：第（1）问5分，其中写出组中值2分，列出加权平均式2分，结果82.2分1分；第（2）问5分，其中确定人数6与12各1分，列出组合概率2分，化简为得1分。讲评提示：本题强调频数分布表的“组中值估计”与古典概型的样本空间一致性，抽样名单人数必须先从题干读出，不能把全班50人直接作为总数。17.解析（1）由递推式，累加得。（2）由第（1）问，，所以。因此。评分细则：第（1）问5分，写出累加式2分，求和化简2分，通项1分；第（2）问5分，利用化简2分，写成裂项2分，得1分。讲评提示：递推累加题应先观察差分项，再把后续求和设计成可裂项结构；若通项错误，后续求和通常会整体失分。18.解析（1）因为底面是矩形，所以；又，而，故。由于与是平面内相交直线，且同时垂直于二者，所以。（2）直线在平面上的射影为，因此直线与平面所成角为。在矩形中，取坐标，，，则，，故。又，在直角三角形中，。评分细则：第（1）问5分，指出1分，指出2分，使用线面垂直判定2分；第（2）问5分，确定射影与所成角2分，求出2分，求得1分。讲评提示：没有图形时要把矩形、垂直、中点关系转化为可计算的线段或坐标，所成角必须落到直角三角形中。19.解析（1）当时，。所以在上单调递增，在上单调递减；最大值为。（2）当时，，函数严格递增，且时、时，故恰有一个根。当时，，恰有一个根。当时，函数在处取最大值；若，最大值大于0，有两个根；若，最大值为0，有一个根；若，最大值小于0，无根。综上，或。评分细则：第（1）问4分，导数1分，单调区间2分，最大值1分；第（2）问6分，讨论2分，讨论并求最大值2分，根的个数分类1分，结论或1分。讲评提示：参数导数题的临界点是否存在取决于参数符号，三模冲刺中常见失分点是只讨论而遗漏。20.解析（1）椭圆在点处的切线为。这里，，，切线方程为，即。（2）设过的直线为。与椭圆联立得。设交点横坐标为，中点，则，又。消去得，即，其中。评分细则：第（1）问4分，写出切线公式2分，代入并化简2分；第（2）问6分，设直线并联立2分，利用韦达定理求中点坐标2分，消去参数并写出轨迹方程2分。漏写范围但方程正确，扣1分。讲评提示：圆锥曲线中点轨迹优先用“设线、联立、韦达、中点、消参”五步闭环，最后不要忘记实际取值范围。21.解析（1），。，，所以回归方程为。（2）当时，。（3）预测值13.9接近安全线14，若考虑实际客流波动、天气预报误差和活动叠加效应，建议小幅增加临时备货，但不宜按远高于14的数值盲目扩张。限制：样本量只有5，且线性关系只在相近气温等级附近较可靠，不能随意外推到极端天气。评分细则：第（1）问6分，求均值2分，求斜率2分，求截距并写方程2分；第（2）问2分，代入正确1分，结果13.9分1分；第（3）问3分，能结合安全线给出备货判断2分，能指出样本量或外推限制1分。讲评提示：实际应用建模题不是只算回归直线，还要把预测值放回情境解释，并说明模型适用边界，这是三模讲评的提分点。22.解析（1）。（2）利润函数可写为。逐项计算期望利润：，，，。因此最优订货量为。（3）售价为时，，，，。使不劣于其他订货量，需同时满足，，，解得，，，综合为。评分细则：第（1）问2分，列式1分，结果1分；第（2）问5分，写出利润函数2分，计算四个期望利润2分，选出1分；第（3）问4分，写出四个关于的期望式2分，列不等式1分，求得1分。讲评提示：订货决策题要分清销售收入、回收收入、进货成本和缺货损失，最后的区间结论必须同时比较全部备选订货量。冲刺讲评订正清单题号核心考点订正时必须补齐的关键点常见失分提醒1集合与对数不等式先求定义域，再求交集端点把3写成闭端点2复数运算分母实数化后区分实部与虚部虚部不是整个虚数项3向量垂直用点积或模长关系得到方程漏掉4函数零点导数判断单调与最大值只看图像直觉不看端点趋势5二项分布写出组合数、成功概率和失败概率漏乘6余弦定理角C对应边c，代入余弦定理边角对应关系混乱