2019-2020学年山东省泰安市肥城市肥城高中高三下3月月考数学试卷

肥城XX中2017级高三一轮复习验收模拟测试二数学试题时间：120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项是符合要求的.1.若集合A＝{x|0＜x＜6}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则A∪B＝（）A.{x|1＜x＜6} B.{x|x＜﹣2或x＞0} C.{x|2＜x＜6} D.{x|x＜﹣2或x＞1}【答案】B【解析】【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．【详解】∵B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A＝{x|0＜x＜6}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞0}．故选B．【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可．【详解】由复数的运算法则有：,复数为纯虚数，则，即.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.3.设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4.设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．5.已知，则“”是“对恒成立”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到答案.【详解】不等式可化为，解之得：，对恒成立等价于或，解之得：，充分性：，充分性不成立；必要性：，必要性不成立；显然“”是“对恒成立”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.6.设函数，若，，，则（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据对数函数的性质及指数函数的性质，比较、、的大小，再根据正切函数的性质即可得解；【详解】因为，所以，因为且，故，又在上为增函数，所以即.故选：D.【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及正切函数的性质的应用，属于中档题.7.设函数.若,且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），结合函数f（x）＝sin（2x），可得|x2﹣x1|至少相差半个周期，可得|x2﹣x1|．【详解】解：根据函数f（x）＝sin（2x）∵f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），令x2＞x1，根据图象，可得x2，x1关于点（，0）对称时，|x2﹣x1|最小，∵x1x2＜0，∴x2＞0，则x1．∴可得|x2﹣x1|，故选：B．点睛】本题考查正弦函数图像与性质，考查基本分析应用能力.8.公比不为1的等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，，成等差数列，得到的值，再表示出，，，再由，，成等比数列，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】设的公比为且，根据，，成等差数列，得，即，因为，所以，即.因为，所以，则，，.因为，，成等比数列，所以，即，得.故选D．【点睛】本题考查等比数列通项和求和的基本量计算，等差中项、等比中项的应用，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全选对得5分，部分选对得3分，有选错的得零分.9.下列各对事件中,不是相互独立事件的有()A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B.甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D.甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】【分析】根据相互独立事件的概念以及判断，分析出是相互独立事件的选项.【详解】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A､B不独立,故选：ACD【点睛】本小题主要考查相互独立事件的判断，属于基础题.10.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据平移得到，最大值为，最小值为，由，可知，，根据，求出可能的取值，即可计算的值.【详解】由的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得，，由可知，，所以,即，由可得，所以可有，也可有，故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换、最值、以及最值对应的角，属于基础题.11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是，（）A.C的方程为（x+4）2+y2＝9B.在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D.在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|【答案】BC【解析】【分析】设P（x，y），运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可判断A；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断B；当A，B，P三点不共线时，由，由角平分线定理的逆定理，可判断C；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可判断D．【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足，设P（x，y），则，化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，可设D（m，0），E（n，0），可得2，化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B正确；当A，B，P三点不共线时，由，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），即有2，化简可得x2+y2x0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选：BC．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．12.关于函数，下列判断正确的是（）A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得成立D.对任意两个正实数，且，若，则.【答案】BD【解析】【分析】根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A错误；对于B选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.综上，故正确的是BD.故选：BD．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为________.【答案】【解析】【分析】先求当时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R上的值域.【详解】当时，,令，所以，所以.由于函数是奇函数，所以当时，.当时，.综上所述，此函数的值域为.故答案为【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若数列的首项，且（），则数列的通项公式是__________．【答案】【解析】，得（）,两式相减得，即（），，得，经检验n=1不符合．所以，15.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________________．【答案】【解析】【分析】如图，设该三棱锥的外接球圆心为,半径为r,设圆柱外接球的半径为R,先求出，OA=，再在直角三角形利用勾股定理得解.【详解】如图，设该三棱锥的外接球圆心为,半径为r,设圆柱外接球的半径为R,由题得,所以.所以OA=.由题得，在直角三角形中，,所以.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查几何体的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.点在曲线：上运动，，且最大值为，若，则的最小值为_____.【答案】1【解析】【分析】首先可确定曲线表示圆心为，半径为的圆；令，则；的最大值为半径与圆心到点的距离之和，利用两点间距离公式求得，代入中利用最大值为可求得，将所求的式子变为，利用基本不等式求得结果.【详解】曲线可整理为：则曲线表示圆心为，半径为的圆设，则表示圆上的点到的距离则，整理得：又（当且仅当，即，时取等号），即的最小值为本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法，从而可得到之间的关系，从而配凑出符合基本不等式的形式.四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析：（1）由题意知当时，，当时，，所以．设数列的公差为，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题.“错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.（1）求证：平面平面ABC；（2）求二面角D-CE-F的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）取的中点，可得，，从而得到平面，得到，由，，得到，从而得到平面，所以平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到，，得到的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角的余弦值【详解】（1）如图取的中点，连接，，因为，所以，因为，所以，又因为，所以平面，平面所以.因为，分别为，的中点，所以.因为，即，则.又因为，所以平面，又因为平面DAB，所以平面平面.（2）因为平面，则以为坐标原点，过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.因为，在中，，所以.在中，，所以点，，.设平面的法向量为.所以，即，可取.设平面的法向量为.所以，即，可取，则因为二面角为钝二面角，所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.19.交大设计学院植物园准备用一块边长为4百米的等边ΔABC田地(如图)建立芳香植物生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点.田地内拟建笔直小路MN、AP,其中M、N分别为AC、BC的中点,点P在CN上.规划在小路MN和AP的交点O(O与M、N不重合)处设立植物精油体验点,图中阴影部分为植物精油提炼处,空白部分为芳香植物生长区,A、N为出入口(小路宽度不计).为节约资金,小路MO段与OP段建便道,供芳香植物培育之用,费用忽略不计,为车辆安全出入,小路AO段的建造费用为每百米4万元,小路ON段的建造费用为每百米3万元.(1)若拟建的小路AO段长为百米,求小路ON段的建造费用；(2)设∠BAP=,求的值,使得小路AO段与ON段的建造总费用最小,并求出最小建造总费用(精确到元).【答案】(1)小路ON段的建造费用为3万元.(2)当时，小路AO段与ON段的建造总费用最小，最小费用约为元.【解析】【分析】(1)在△中，，，∠，利用余弦定理可求解长度，结合即可求解；（2）在△中，，∠，，，利用正弦定理可求,结合,可建立关于的函数，利用导数即可判断最值.【详解】(1)由为中点,得,在△中,∠,由余弦定理可得,,解得或-3(舍去),又,所以,故小路ON段的建造费用为3万元.（2）在△中,∠，,由正弦定理可得，，即，，故小路AO段与ON段的建造总费用为，则，令，得，，令，得，，故当时，小路AO段与ON段的建造总费用最小，由，得，故最小费用为元.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形及利用导数求函数的最值，考查逻辑分析能力、数形结合思想及运算求解能力，属于中档题.20.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩服从正态分布，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为，求的数学期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．参考公式与临界值表：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）甲，乙；（2）没有90％的把握；（3）.【解析】【分析】（1）由茎叶图的中位数计算即可；（2）得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得；（3）因为，所以，,由题意可知，计算即可.【详解】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为，乙校学生数学成绩的中位数为，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高．（2）由题意，作出列联表如下：甲校乙校合计数学成绩优秀10717数学成绩不优秀101323合计202040计算得的观测值，所以没有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）因为，所以，，所以，所以，由题意可知，所以．【点睛】本题考查了茎叶图的中位数，独立性检验和正态分布与二项分布的综合，属于中档题.21.设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆