2026年湖南高中学业水平合格性考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年普通高中学业水平合格性考试模拟（二）数学一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若是纯虚数，则实数的值是（

）A．2 B． C． D．02．已知元素，且，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．4．下列命题中，是存在量词命题的是（

）A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数5．在中，若且，是中点，则的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形6．的值为（

）A． B． C． D．7．函数必经过（

）A． B． C． D．8．不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或9．函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是()A． B． C． D．π10．某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是A．

B．

C．

D．

11．已知，则的值为（

）A． B． C． D．12．甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（

）A．人，人，人 B．人，人，人C．人，人，人 D．人，人，人13．函数的定义域为（

）A．R B． C． D．14．已知向量，，若，则实数的值为（

）.A． B．3 C．－ D．－315．设，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．16．某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（

）A． B． C． D．17．下列函数中，在区间上为减函数的是（

）A． B． C． D．18．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．19．在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________．20．已知a是函数的零点，则实数a的值为________．21．已知函数在一个周期内的图像如图所示，则的值为______．22．在矩形中，，E，F分别是，的中点，现在沿把这个矩形折成一个直二面角，则直线与平面所成的角的大小为________．三、解答题：共3道小题，满分30分．23．某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．(1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数；(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？24．如图，底面是正方形的直棱柱中，，．(1)求直线与所成角的正弦值；(2)求证：．25．已知函数．(1)求函数的单调性；(2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；(3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【详解】由是纯虚数，得，所以实数的值是0.2．C【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3；再由，可排除取值0、1、3；因此的取值只能为2.3．C【详解】，解得，即不等式的解集为，选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件；选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件；选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件；选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件.4．D【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题；B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题；C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题；D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题.5．B【分析】根据数量积为0向量垂直判断三角形形状，再结合已知条件判断即可.【详解】因为所以，所以是直角三角形，又因为，所以是等腰三角形，所以是等腰直角三角形，因为是斜边的中点，所以且，因此是等腰直角三角形.6．D【详解】.7．A【详解】由，所以函数必经过点，故A正确；因为无意义，所以函数不经过点，故B错误；因为无意义，所以函数不经过点，故C错误；由，所以函数不经过点，故D错误.8．D【详解】解不等式，得或，所以不等式的解集为或.9．B【详解】函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是.选B.10．A【详解】因为匀速骑车，所以时间与路程的关系是线性关系，又中间阻塞，故一段时间内路程不增加，符合题意的图象只能选A.11．D【分析】直接根据二倍角的余弦公式运算即可.【详解】因为，，故选：D.12．A【详解】因为，所以甲校应抽取，乙校应抽取，丙校应抽取.13．B【分析】根据对数函数真数恒大于0的性质，列不等式求解即可得到函数定义域.【详解】对于对数函数（且），其真数必须满足,因此要使有意义，需满足真数大于0，即，解得，故函数的定义域为{x|x>214．D【分析】直接根据向量的数乘运算求解即可．【详解】解：∵，，且，∴，∴，得，故选：D．【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题．15．C【详解】由已知，所以.16．D【详解】因为个除颜色外其他都相同的球中，有个红球，个白球，所以从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为.17．A【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数，正弦函数单调性判断各个选项.【详解】在上单调递减，A选项正确；在上单调递增，B选项不正确；在上单调递增，C选项不正确；在上单调递增，所以在区间上不是减函数，D选项不正确；18．D【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解.【详解】函数在上单调递增，依题意，，而，因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根，函数在上单调递减，函数值集合为；在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根，得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D19．【分析】由正弦定理可得，代入已知数值可求.【详解】根据正弦定理知，，又，，，所以.20．27【分析】根据零点定义结合对数运算求值.【详解】因为a是函数的零点，所以，所以，则实数a的值为．21．2【分析】根据函数图象，可得到函数的周期，根据三角函数的周期公式，可得答案.【详解】根据函数图象可知，，所以周期，又，所以，故答案为：2.22．【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面角的定义求解.【详解】依题意，，平面平面，平面平面，平面，则平面，是直线与平面所成的角，而，因此，所以，即直线与平面所成的角的大小为.23．(1)，众数为，平均数为(2)人【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，根据最高矩形底边中点估计众数，利用各组中点值乘以频率之和估计平均数；（2）计算日平均费用不超过元的频率，再乘以总人数即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得.由图可知，最高矩形的组为，故众数的估计值为该组底边的中点值，即.平均数为：故，众数为，平均数为.（2）由频率分布直方图可知，午餐日平均费用不超过元的频率为：.已知该公司共有名职员，则估计该公司午餐日平均费用不超过元的职员人数为：（人）.故估计该公司有名职员午餐日平均费用不超过元.24．(1)(2)证明见解析.【分析】（1）利用余弦定理求即可；（2）利用直棱柱性质及正方形性质证明线面垂直，进而证得线线垂直.【详解】（1）设与的交点为，直线与所成角为，由已知，同理可得，所以，所以，因为，所以.即直线与所成角的正弦值为.（2）证明：因为是直棱柱，所以平面.又因为平面，所以.因为底面是正方形，所以.又因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.25．(1)在上单调递增；(2)；(3)存在，.【分析】（1）根据对数函数的定义结合复合函数单调性求解；（2）利用零点存在定理列式结合对数运算及一元二次不等式求解；（3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论.【详解】（1）因为，所以解得，所以函数的定义域为；因为在上单调递增