内科大材料成型控制工程基础教案第2章-过程控制系统的动态数学模型

PAGEPAGE18教案课程名称：《材料成型控制工程基础》（第2章，共11章）编写时间：20授课章节2过程控制系统的动态数学模型2.1古典与现代控制理论研究方法2.2拉氏变换及反变换2.3传递函数目的要求本章内容属于古典控制理论的研究范畴。传递函数是古典控制理论中描述系统的主要数学模型，之所以讲这一章，目的是为下一章PID控制器做基础准备。本章主要思路是：拉氏变换→传递函数→典型环节→PID控制。重点难点重点：传递函数定义、性质和等效变换等；典型环节难点：拉氏变化的概念及性质。2过程控制系统的动态数学模型2.1古典与现代控制理论研究方法2.1.1数学模型的概念为研究控制系统的动态性质，必须把系统输出和输入变量之间在动态情况下的相互关系用数学方程的形式表示出来。描述系统动态性能的数学表达式叫系统的数学模型，求取这一数学表达式的过程叫建模。注意：（1）描述同一系统的数学模型，有完整、复杂数学模型和简单、准确性较差的数学模型两类。建模中应在模型准确性和简化性之间折衷。不要盲目强调准确而过于复杂，也不要片面强调简化而使分析结果与实际出入太大。一般允许条件下，开始尽可能采用简化的线性、常系数、常微分方程形式的数学模型，如果有必要，再在上述简化基础上考虑忽略因素所引起的偏差，建立较完善﹑准确的数学模型。（2）过程控制系统数学模型有微分方程、传递函数、频率特性、状态方程等多种形式。2.1.2按照系统的数学模型对过程系统分类按照系统的数学模型可将过程控制系统分成如下几类：（1）按照变量y(t)及其各阶导数的次数可将系统分为线性和非线性系统。线性系统：系统的数学模型方程是线性的，如,这种系统就叫线性系统，这种线性方程既可以是线性代数方程，线性差分方程，也可以是线性微分方程或线性偏微分方程。线性系统又可分为：1）线性定常系统：系统由定常集中参数元件组成，数学模型用线性微分方程描述。例如：any(n)+an-1y(n-1)+……+a0y=0，其中an,an-1……a0都是实常数，它所指描述的系统就是线性定常系统。2）线性时变系统：描述系统微分方程的系数也是时间的函数。例如：，其中k(t)表示系数k随时间t变化的函数关系，它所描述的系统则是线性时变系统。线性系统最重要特性是可用叠加原理。非线性系统：系统的数学模型为非线性的，如：，它所描述的系统是非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。（2）根据y的自变量的个数为1还是大于1，可将系统的微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种，它们所描述的系统又可分别称为集中参数系统和分布参数系统。集中参数系统：系统的元件可用一个自变量来表示，自变量可以是时间、距离或其它物理量。系统的动态特性（即数学模型）表现为常微分方程，如（1）中所示，都是集中参数系统。分布参数系统：系统的自变量除时间外，还有空间的变化，涉及一个以上的自变量。系统的动态特性必须用偏微分方程来描述。如：所描述的系统则为分布参数系统。（3）根据系统的数学模型是用连续的微分方程来描述，还是用离散的差分方程来描述，可将系统分为连续型系统和离散型系统两种。前面的例子都是连续型系统；而用差分方程x(k+1)=ax(k)所描述的系统则是离散型，式中k表示采样的时间序列数。当应用计算机分析、设计系统时，特别是在进行实时控制时，需要将连续型系统化成离散型系统。（4）按照系统中的变量是确定的还是随机的，可将系统分为确定系统和随机系统。（5）按照系统的输入变量和输出变量个数是一个还是多个，可将系统分为单输入—单输出（SISO）系统和多输入—多输出(MIMO)系统。对于古典控制理论而言，它多适用于研究单输入—单输出集中参数连续型线性定常系统；而现代控制理论则可用于上述各种型式的复杂系统。此外，在过程控制系统中还要了解“增量方程”的概念：当把被控制量的偏差看成是在其稳态工作点附近作微小变化时，控制系统运动微分方程式中的各个变量就不是它们的绝对数量，而是它们对工作点的增量，这样的方程式便称为增量方程。在任何线性系统的运动微分方程式中（包括已线性化的方程）只需用增量值代替其瞬时值就可以得到对应的增量方程。实用中为书写方便，常省略增量符号“△”，不过我们思想中应当明确，线性控制系统的运动微分方程都是增量方程。增量方程有两个优点：（1）当以增量方程表示系统时，可以认为系统的初始条件为零。（2）由于某些非线性在稳态工作点附近可以用泰勒级数展开成以“增量形式”表达的近似线性函数来代替,所以用增量方程表示系统的优点就是便于非线性方程的线性化。2.2拉氏变换及反变换2.3传递函数重点掌握数模概念和分类教案非线性系统：系统的数学模型为非线性的，如：，它所描述的系统是非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。（2）根据y的自变量的个数为1还是大于1，可将系统的微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种，它们所描述的系统又可分别称为集中参数系统和分布参数系统。集中参数系统：系统的元件可用一个自变量来表示，自变量可以是时间、距离或其它物理量。系统的动态特性（即数学模型）表现为常微分方程，如（1）中所示，都是集中参数系统。分布参数系统：系统的自变量除时间外，还有空间的变化，涉及一个以上的自变量。系统的动态特性必须用偏微分方程来描述。如：所描述的系统则为分布参数系统。（3）根据系统的数学模型是用连续的微分方程来描述，还是用离散的差分方程来描述，可将系统分为连续型系统和离散型系统两种。前面的例子都是连续型系统；而用差分方程x(k+1)=ax(k)所描述的系统则是离散型，式中k表示采样的时间序列数。当应用计算机分析、设计系统时，特别是在进行实时控制时，需要将连续型系统化成离散型系统。（4）按照系统中的变量是确定的还是随机的，可将系统分为确定系统和随机系统。（5）按照系统的输入变量和输出变量个数是一个还是多个，可将系统分为单输入—单输出（SISO）系统和多输入—多输出(MIMO)系统。对于古典控制理论而言，它多适用于研究单输入—单输出集中参数连续型线性定常系统；而现代控制理论则可用于上述各种型式的复杂系统。此外，在过程控制系统中还要了解“增量方程”的概念2.1.3不同控制理论的研究方法（1）古典控制理论的研究方法，其研究方法是传递函数法。不论是采用频率响应法还是根轨迹法，其数学模型都是传递函数，都是在复数域内研究系统的。自动控制的过程本来总是和时间相联系的，因此系统运动规律的最基本描述方式就是微分方程及其在时域的解。但是，由于用古典的方法来解微分方程较为复杂，故采用了拉普拉斯变换这种数学工具，因而才引入了传递函数及其一整套的研究方法。研究方法由时间域进入复数域，从而形成了古典控制理论。（2）现代控制理论的研究方法，其研究方法是状态空间法。状态空间法的实质就是在建立控制系统的数学模型时，先将系统的运动方程写成一阶微分方程组的形式，进而再将一阶微分方程组写成矩阵方程（状态方程形式），在此基础上再进行所需要的各种研究，这样就简化了数学符号，方便了运算。现代控制理论的所有优越性都是由于采用了状态空间法这一研究方法而得到的。研究方法的改变导致了控制论发展进程的飞跃。由于在复数域内研究系统有很大的局限性，这就要求能够直接在时间域内对控制系统进行研究。研究方法从复数域又回到时间域就形成了现代控制理论。认真地把握古典和现代控制理论的研究方法，是学习和应用现代控制理论的关键。2.2拉氏变换及反变换（了解数模的分类方法）重点（考点）教案利用拉氏变换可将微分方程转换为代数方程，使求解的过程大为简化，故拉氏变换成为分析过程控制系统中的基本数学方法之一，在此基础上可以进一步求出系统的传递函数。我们使用拉氏变换的目的，不仅仅是为求解微分方程，更主要的是用它去直接分析系统及其组成环节的特性，特别是在引入传递函数及频率特性的概念之后，就可以不必求解微分方程，而利用变换所得的函数直接去研究系统的动态特性。这一节中，对于拉普拉斯变换的定义、性质及反变化的相关内容，我们主要不是从数学角度而是从工程应用的目的来讨论这一问题。2.2.1拉氏变换定义设定f(t)是定义在（0，∞）区间上的时间函数，又s为复数（s=σ+jω）（σ读sigma），用e-st乘f(t)后，再将它对t从0到∞进行积分，如果这个积分收敛，则这个积分便确定了一个以s为参量的复变函数F(s),并记为：（2-1）这种通过积分运算，将一个已知的时变函数f(t)，变换成另一个复变函数F(s)的方法，称为拉普拉斯（LaPlace）变换，并用“L”表示，即：（2-2）其中f(t)称为原函数，变换后所得的函数F(s)称为象函数，s称为拉普拉斯算子。一般以小写表示“原函数”，大写表示“象函数”。2.2.2常用函数的拉氏变换表2-1工程中最常用原函数及拉氏变换对照表原函数给定函数名称象函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位斜坡函数正弦函数余弦函数t的幂函数注意：为了使用方便要象记住特别角的三角函数那样将他们记住。把引入拉氏变化的背景交代清楚掌握（考点）该部分不讲推导过程，只讲结论，过程学生下课自己看教案2.2.3拉氏变换的基本性质下面几条主要运算定理，是阐明拉氏变换性质的，只有掌握了这些定理才能发挥拉氏变换的作用。(1)线性定理线性定理由齐次性和迭加性组成，可表示为：若，则（2-9）利用这一性质，就可在求由多项组成的微分方程的拉氏变换时，用逐项求拉氏变换后再求和的形式来解决。(2)微分定理如果，那么（2-10）式中f(0)——函数的初始值，如果原函数在t=0时有跃变，则为跃变前之值。这就是说，函数f(t)之一阶导数的拉氏变换，等于该函数的象函数和拉氏算子s的乘积与函数的初始值之差。微分定理说明，若，且在f(t)及各阶导数的初始值皆为零的情况下有：这就是说，在时域内对原函数每进行一次微分，就相当于在复域内将象函数用s乘一次；即将时域内的微分运算简化为复域内乘以s的运算（用s代替sn代替），这正是拉氏变换的奥妙所在。（3）积分定理若,则（2-11）式中（约10分钟）教案积分定理说明，如果，且在f(t)即其各重的积分初始值均为零的条件下，有利用这个性质，就可以用代替，…，代替，这就是说，对原函数每进行一次积分，就相当于它的象函数用s来除一次，这样把时域中的积分运算化为复域内除以s的运算。上述的线性定理、积分定理和微分定理(Propotional-Integrate-Differential)是拉氏变换的核心，有了它们就能把求解微分方程的运算简化为求解一般代数方程的运算。(4)复域中的位移定理（又称“第一平移定理”）若，则（2-12）(5)时域中的位移定理（又称“延迟定理”或“第二平移定理”）若，则（2-13）此定理说明，时间函数f(t)通过τ的平移，相当于拉氏变换乘因子，有了它就可以帮助我们较容易地处理各种延迟环节。(6)相似定理（又称“时间尺度定理”）若，则(2-14)时间尺度定理说明，如果原函数f(t)在时间上压缩成为f(t/α)，则其拉氏变换在复平面上按α倍数展宽。反之，如果原函数展宽，则其拉氏变换压缩。(7)初值定理若,则（2-15）初值定理用来根据象函数求出原函数在t＝0时的初始值。(8)终值定理若，则（2-16）终值定理用来直接根据象函数求原函数在时的稳态值（即终值），而不必知道f(t)的表达式是什么。（重点，该部分是考点）（约10分钟）教案(9)卷积分及卷积定理1)卷积积分在时域中以单位脉冲输入量作用于系统，并测出系统的响应，就可以得到有关系统动态特性的全部信息。脉冲响应函数的重要性还在于：对于任何线性系统，我们总可以把任意形式的输入量xr(t)，看成由无数个脉冲迭加组成的。每个脉冲又看作是单位脉冲的若干倍。对于每一个脉冲系统都将有一个响应，把这些响应进行迭加，就可以得到在任意输入函数作用下系统的总响应x0(t)。即：（2-17）式中：g(t)——单位脉冲输入信号δ（t）的单位脉冲响应函数。这就是著名的“卷积积分”。“卷积积分”的名词由来及数学意义式2-17所表示的积分，在线性系统分析中具有重要的意义。它所表示的是两个函数乘积的积分，不过在具体施行积分时要把其中一个函数先沿时间轴平移一个距离变成，然后再将它以t为对称轴作一次折迭，即由时间平移函数求得它的“像”或折迭函数，最后把xr(τ)与折迭函数相乘后再对时间积分。为了反映施行这一积分过程的特点：先卷（折迭）再乘（求积）然后进行积分，故数学上叫做“卷积积分”，简称卷积。2)卷积积分的物理意义前面已指出，g(t)代表单位脉冲响应函数，xr(t)代表线性系统的任意输入函数，则系统的输出或响应就等于它们的卷积积分。即：（响应）（输入）（脉冲响应函数）这就是卷积积分的物理意义。由此物理意义出发，联系到线性系统在复数域中响应和输入之间的关系表达式：（响应的拉氏变换）（输入的拉氏变换）（传递函数，即脉冲响应函数的拉氏变换）其中：于是自然有：（2-18）式2-18说明，两个时间函数之卷积的拉氏变换就等于它们各自的拉氏变换的乘积，这就是著名的“卷积定理”。当然这一结果也能从数学上加以推论，由于时间和篇幅所限，在此就不赘述。卷积定理再次告诉我们，对于线性系统，其复域描述与时域描述是完全等价的。通过拉氏变换可以把时域中复杂的卷积运算变化成复域中的乘法运算，大大简化了问题的求解方法。（重点，该部分是考点）2.2.4拉氏反变换上面介绍了从原函数求其象函数的方法，在使用中往往有相反的需要，希望从象函数F(s)返回去找出原函数f(t)来。由象函数到原函数的变换，称拉氏反变换，并用算符“L-1”来表示。一种拉氏反变换的简便方法，就是利用拉氏变换表；对于拉氏变换表中找不到的，可先将象函数展开成部分分式，分步查起。一般，希望进行反变换的象函数F(s)通常表现为下列分式的形式：（2-19）拉氏反变换必须按下列规范进行：(1)分母多项式D(s)首一化。即必须是首项Sn的系数等于1。(2)分式真分式化。即要求n≥m,如果一旦m>n，则总可以通过多项式除法，将F(s)化成一个商多项式与余式之和，此时的余式总能满足n≥m的要求。(3)将分母﹑分子多项式D(s)﹑N(s)进行因式分解，把象函数写成下面因式分解的形式（2-20）式中-p1,-p2,……,-pn和-Z1,-Z2,……-Zm不是实数就是共轭复数。由于F(s)中的变量s当取值各为-Z1,-Z2,……-Zm时，F(s)等于零，所以我们称它们为F(s)的零点；而当s取值各为-p1,-p2,……,-pn时，，所以又称-p1,-p2,……,-pn为F(s)的极点。(4)根据F(s)的极点形式不同，分别按下述方法写出其相应的部分分式展开式，并确定待定系数。=1\*GB3①F(s)只包含一系列不同极点；其部分分式展开式可写成(2-21)代表性的ck可如下求得:(2-22)=2\*GB3②F(s)含有m重极点：其部分分式展开为：（2-23）代表性的ck可如下求得:(2-22)教案=2\*GB3②F(s)含有m重极点：其部分分式展开为：（2-23）代表性的ck可如下求得:（2-24）=3\*GB3③F(s)兼有各类极点可综合使用以上各种部分分式展开及决定待定系数的方法。(5)上述部分分式展开式中每一项的反变换，都可以方便地从拉氏变换表中查出。于是，总的拉氏反变换乃是各部分拉氏变换之和。例1求的拉氏反变换。解：此式满足分母多项式首1化条件，但需真分式化。经分式除法后得：令则即（了解）（约10分钟）教案2.2.5用拉氏变换解线性微分方程用拉氏变换求解线性微分方程的步骤是：(1)对微分方程作拉氏变换，把微分方程变为以s为参量的象函数的代数方程；(2)用代数法解出这个代数方程；(3)利用拉氏反变换求得微分方程的时间解。线性微分方程的不同解法见图2-6所示。原函数原函数(微分方程的解)以s为参量的原函数的代数方程微分方程拉氏反变换解代数方程象函数拉氏变换图2-6线性微分方程的解法例2求的时间解y(t)，其中x=u(t)，且初始条件为零。解：（1）在初始条件为零的情况下，对微分方程两端取拉氏变换，得代入上式得：对象函数Y(s)求解，得：求Y(s)的拉氏反变换得y(t)。为此先将Y(s)首1化并写成部分分式，有：于是：查拉氏变换表得：总之，用古典法求解常系数线性微分方程时，需要利用初始条件求算积分常数值。用拉氏变换法求解时，由于初始条件已经包括在微分方程的拉氏变换中，不再需要根据初始条件求算积分常数。当所有变量的初始条件为零时,微分方程的拉氏变换可以简单地用s置换，用s2置换，用sn置换等；并将y(t)、x(t)代之以象函数Y(s)、X(s)后求得，所有这一切对微分方程的求解得到相当程度的简化。（了解）（了解）（约10分钟）教案于是：查拉氏变换表得：总之，用古典法求解常系数线性微分方程时，需要利用初始条件求算积分常数值。用拉氏变换法求解时，由于初始条件已经包括在微分方程的拉氏变换中，不再需要根据初始条件求算积分常数。当所有变量的初始条件为零时,微分方程的拉氏变换可以简单地用s置换，用s2置换，用sn置换等；并将y(t)、x(t)代之以象函数Y(s)、X(s)后求得，所有这一切对微分方程的求解得到相当程度的简化。2.3传递函数本节将介绍系统数学模型的另一种形式—传递函数。阐明传递函数﹑典型环节﹑传递函数方块图的概念﹑定义等，典型环节传递函数的建立，方块图的等效变换规则及用方块图和信号流图（梅逊增益公式）求系统传递函数的方法。虽然用拉普拉斯变换，可使求解微分方程的工作得到相当程度的简化，但对于高阶微分方程仍嫌麻烦，其中拉普拉斯变换也只是一种求解方法，而并不是以拉普拉斯变换本身作为系统的数学模型。用它求得的结果（即输出量）在不符合工程要求时,我们无法从微分方程本身找出改进的方案，这就促使人们去寻求一种既可不必求解微分方程，又能从其结果看出改善系统品质途径的方法。在传递函数研究对象的运动时，其自变量不是时间，而是变换中的复数变量s，可以把s称为复频率，因此这种建筑在拉普拉斯变换和传递函数基础上的描述方法也称为频率域方法。对于线性系统，设其输入量为Xr(t)，输出量为X0(t)，则它的传递函数G(s)，是指初始条件为零时，输出量的拉氏变换X0(s)对输入量的拉氏变换Xr(s)之比，即：(2-25)说明：传递函数是描述系统（或环节）的一种方法，它不管系统或环节的内部结构是怎样的，而直接用它的输出象函数和输入象函数之比来表示。（2）G(s)是以s为自变量的函数，又其中和ω为实数，我们称s为复(数)频率，称s的虚部ω为(角)频率，所以G(s)是一个复变函数，它具有复变函数理论阐明的一切性质。（了解）（重点，该部分是考点）（约10分钟）教案(3)根据定义可以不难求得线性系统的传递函数通用表达式为：(2-29)传递函数的分母多项式就是微分方程左端的微分算符多项式，也就是它的特征多项式；传递函数的分子多项式就是微分方程右端函数的微分多项式。容易看出，传递函数包含了微分方程的全部系数，所以它与微分方程这种数学模型是相通的，系统自由运动的模态（也叫振型）是由传递函数的分母决定的。2.3.2传递函数的基本性质(1)传递函数有效地描述了元件和系统的固有特性，即它们的内在动态特性，它是系统在复数域的数学模型。这是因为传递函数的分母多项式只与系统或环节内部的结构参数有关，而与输入量和初始条件等外部因素无关。(2)它是以s为参量的有理真分式。这是因为，实际系统必须稳定才能工作。为此代表受迫谐波振荡幅值的传递函数的模｜G(s)｜，当频率无限增长时应该是零或有限值，即：这一关系体现在有理分式中就是分母多项式的幂项n≥分子多项式的幂次m，这就是真分式的充要条件。(3)传递函数的分母多项式就是相应微分方程的特征方程，其阶次就代表了系统的阶次。十分明显，传递函数分母多项式的根就是传递函数的极点，分子多项式的根就是传递函数的零点。将传递函数的零点、极点表示在复平面上，这样的图称为传递函数的零—极点分布图。传递函数一定时，其零、极点分布形式也就确定了。所以，人们可以通过对零、极点在复平面上的分布规律来研究线性系统的动态特性。（4）（5）（6）三个性质了解一下即可。2.3.3传递函数的方块图2.3.3.1方块图表示方法在表示传递函数方块图时将用到下列四种符号：(1)信号线。联系两个方块之间的实线，并用箭头表示信号流向，在控制系统传递函数方块图中，信号只能单向传输。(2)方块单元。即一个元件或环节的传递函数方块图。它具有运算功能，能接受信号（即接受输入信号Xr(s)），并把这信号变换成其它信号（即输出信号X0(s)），其运算关系为：，其方块图见图2-7所示。G(s)G(s)图2-7方块单元Xr(s—指向方块的箭头表示输入象函数)；X0(s)—离开方块的箭头表示输出象函数；G(s—方块中的是传递函数（约10分钟）教案(3)综合点。它表示两个或两个以上的信号在此处代数相加减，但要注意的是，只有相同纲量的量才能进行加、减运算。信号综合点可用图2-8所示符号来表示。图2-8信号综合点(4)引出点。通过它把同一信号加到不同的对象上去。因为它仅表示取出信号，而不取出能量，所以同一位置引出的信号，在大小和性质上完全一样。引出点可表示成图2-9所示形式。图2-9引出点2.3.3.2如何绘制系统传递函数方块图利用方块图求系统的传递函数或对系统作其它分析的第一步工作，就是要绘制出系统的传递函数方块图。绘制系统传递函数方块图步骤如下：(1)列出元件或环节的运动微分方程。(2)在初始条件为零的情况下，对各微分方程作拉氏变换，并把变换结果整理成的标准形式。(3)利用表示传递函数方块图的四种符号，由标准变换式分别画出各元件或环节的传递函数方块图。(4)最后按信号联系绘制系统的传递函数方块图。2.3.4方块图等效变换所谓等效变换，就是在保持输出和输入关系不变的情况下，把原来由多个环节方块组成的系统方块图，变成为由一个方块来表示的过程。传递函数方块图等效变换的主要规则有五条：任意个串联方块可用一个方块来等效，等效传递函数等于各串联方块传递函数之积。任意个并联方块可以用一个方块来等效，等效传递函数等于各并联方块传递函数之和。串并联方块等效变换的实质是消去中间变量。有反馈回路也可用一方块来等效，等效传递函数等于1±开环传递函数（即前向传递函数与反馈传递函数之积）去除前向传递函数，负反馈时取“＋”号，正反馈时取“－”号。我们称这种传递函数为闭环传递函数。反馈回路等效变换的实质是消去反馈回路。了解重点（考点）（约10分钟）教案(4)引出点可以相互交换或顺（逆）信号传递方向移一个或几个环节或几个综合点，但应使移动前后的引出信号不变。(5)综合点也可以相互交换或顺（逆）信号传递方向移动一个或几个环节，但应使移动前后系统的输出不变。2.3.5信号流图及梅逊公式信号流图是控制系统的另一种图形表示，与方块图有类似之处，可将系统函数方块图转化为信号流图，对于分析复杂的系统，而不需要等效变换等任何简化过程。由于信号流图法由S.J.Mason（梅逊）提出，所以又常称为“梅逊定理”或“梅逊增益公式”。与图2-24所示系统方块图对应的系统信号流图如图2-25所示。图2-24方块图图2-25对应的信号流图在本书中，梅逊公式因篇幅所限不再进行详细讲解，有兴趣的读者可以参阅相关教材自学。这里只是通过利用方块图的等效变换方法，求取复杂系统的传递函数时，以给出梅逊定理的简化形式，让大家了解一下梅逊公式的优点。2.3.6常见典型环节的传递函数2.3.6.1典型环节的概念构成系统的环节，就其物理本质而言，可能差别很大，但就描述他们动态特性的数学模型—运动微分方程或传递函数的形式来说，任何一个复杂系统，实际上都是由为数不多的几种具有典型运动规律（即数学模型）的环节组成。所谓环节，就是指其输入输出之间可以组成独立的运动方程式的那一部分。它可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或者由几个元件组成。而方程的系数只取决于本环节元件的参数，与其它环节无关。一个元件的运动状态与后面环节无关时称为单向元件，反之称为非单向元件，划分环节时必须使每一个环节皆为单向元件。我们称这些具有典型数学模型的环节为典型环节。在研究系统的动态特性时，熟悉和掌握各种典型环节，将有助于我们对复杂的系统进行分析研究。2.3.6.2典型环节的分类故最一般的传递函数形式应为：(2-36)这就是说，任何线性系统都可看成是由具有如式（2-36）所示的八种典型环节经串联耦合而组成（式中表示的是两种环节：当v>0时，S在传递函数表达式的分母中；当v<0时，S在传递函数表达式的分子中）。当然，对于一个具体的系统而言，它并不一定同时都具有这八种典型环节。了解重点（考点）推导过程不讲（约10分钟）教案我们把与式2-36分子中五种因子相对应的环节，分别称为：（1）放大环节K（2）理想微分环节S（对应中v<0时）（3）一阶微分环节（4）二阶微分环节（5）滞后环节我们把与式2-36分母中三种因子相对应的环节，分别称为：（6）积分环节（对应中v>0时）（7）惯性环节（8）振荡环节2.3.6.3典型环节两种数学模型的联系及特性由于拉氏变换和反变换之间是一一对应的关系，知道了典型环节的任何一种数学模型(比如：微分方程和传递函数)，就可以推导出另一种形式的数学模型，并从这些数学模型的型式，初步了解各典型环节的性能特点。(1)放大环节（又称“比例环节”）其传递函数为(2-37)即：故其运动方程式为：(2-38)式中：K——放大系数可见，放大环节的特点是：输出量与输入量成比例。环节的输出量能以一定比例﹑不失真、不延迟地复现输入量的变化规律。(2)惯性环节（又称“非周期环节”）其传递函数为：(2-39)即：故其运动方程为：(2-40)式中：T——时间系数可见，（一阶）惯性环节与放大环节不同之处在于其时间常数T不为零，在这类环节中，总含有一个储能元件，以致于对突变形式的输入来说，输出不能立即复现，使它的输出量的变化落后于输入量。重点（考点）（约10分钟）教案可见，（一阶）惯性环节与放大环节不同之处在于其时间常数T不为零，在这类环节中，总含有一个储能元件，以致于对突变形式的输入来说，输出不能立即复现，使它的输出量的变化落后于输入量。(3)积分环节其传递函数为：(2-41)即：故其运动方程为：(2-42)或(2-43)在积分环节中，输出量的变化率与输入量成比例。或者换句话说，输出量与输入量的积分成比例。在式2-42中，当输入xr(t)=常数时，可以看出，这类元件的工作范围是需要有一定限制的，如果没有限制，积分环节的输出量在输入量为恒定不变时仍会无限增长。积分环节和惯性环节、振荡环节都不相同，它的输入量与输出量稳态值之间没有一定关系，有的只是输出的变化速度与输入偏差的大小成正比。所以只要有偏差，调节器输出就不等于零；当偏差为零时，输出量就保持不变。利用积分环节输出量随时间增长的特性可以消除余差，改善系统稳态特性。缺点是积分作用动作缓慢，偏差刚出现时不能及时克服扰动，调节过程拖长。（4）理想微分环节其传递函数：(2-44)即：故其运动方程为：(2-45)这种环节的特点是输出量与输入量的导数成比例。在偏差值尚不大时，它就根据偏差变化的趋势（速度）提前给出较大的调节动作，使过程的动态品质得到改善。缺点是理想微分缺乏抗干扰能力，且不能克服余（静）差。（约10分钟）教案(5)一阶微分环节其传递函数为：