内科大材料成型控制工程基础教案第4章-控制系统的状态空间分析

PAGEPAGE10教案课程名称：《材料成型控制工程基础》（第4章，共11章）编写时间：20授课章节4．控制系统的状态空间分析4.1现代控制理论的优越性4.2状态空间描述4.3系统的可控性和可观测性4.4可控性及可观测性与传递函数零极点对消的关系4.6极点配置目的要求本章内容属于现代控制理论的研究范畴，主要介绍“状态空间法”的概念、求解、应用；系统可控性和可观测性的概念及其判定准则；极点配置等相关内容。重点难点重点：如何理解系统的可控性和可观测性，它们的判定准则，以及如何进行相关计算。极点配置相关理论与计算。难点：转移矩阵、传递矩阵、极点配置4．控制系统的状态空间分析4.1现代控制理论的优越性现代控制理论的理论基础是建立在系统的状态空间描述与分析之上。1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出在频率域内研究系统的频率响应法，1948年伊万斯（W.R.Ewans）提出在复数域内研究系统的根轨迹法（图解法），建立在这两者之上的控制理论通称为古典控制理论。古典控制理论分析系统的数学模型用传递函数，它只适用单输入—单输出系统；对系统性质的分析从本质上是一种频率法，即靠各频率分量来描述信号，该方法只限于在线性定常系统中应用，否则不满足叠加原理。因此古典控制理论只限于对简单的单输入—单输出的线性定常系统进行分析和设计。由于以传递函数为基础，是在复数域或频率域对控制系统进行研究，这就限制了整个过程在时间域内进行控制的能力，因此难以实现实时控制；设计方法建立在试探法基础上，很难设计出品质指标最优的控制系统，也难以实现最优控制。现代控制理论采用了状态空间法，因此所研究的系统可以是单输入—单输出，也可以是多输入—多输出；可以是线性，也可以是非线性；可以定常的，也可以是时变的；可以是集中参数的，也可以分布参数的；可以是连续型的，也可以是离散型的；它的研究内容主要包括下面三部分：（1）以最小二乘法为基础的系统辩识。（2）以极大值原理和动态规划为主要方法的最优控制。（3）以卡尔曼滤波理论为核心的最佳估计。状态空间法的实质就是将系统的高阶运动方程写成一种一阶微分方程组的形式，然而再把一阶微分方程组写成矩阵方程，这样就简化了数学符号，方便运算。下面换一个角度来说说两种控制理论的不同。目前分析动态系统的物理过程有如下两种：（1）输入—输出描述法。也称古典控制理论。数学工具借助于拉普拉斯变换在复数域内分析系统的传递函数。（2）状态描述法，即现代控制理论。对系统的描述变量除了输入、输出变量之外，还有掌握教案表征系统内部特征的状态变量；状态法的数学基础是矩阵方程，用它来建立上述三者之间的函数关系，属于时域范畴分析法。一般来讲，分析复杂系统宜用状态分析法。4.2状态空间描述4.2.1基本概念(1)状态。系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动所必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。(2)状态变量。状态变量是能够全面确定系统中状态的最小一组变量，并满足：1)当t=t0时刻，x1(t0)，x2(t0),…,xn(t0)能确定系统的初始状态；2)当t≥t0时刻的输入和初始状态一旦确定，这组变量便可完全、唯一地反映t≥t0任何时刻的运动。这里“完全”表示反映系统的全部状况；“最小”表示确定系统的状况无多余信息。注意：一个系统的状态变量的选取不是唯一的，它往往与系统中的能量有关。典型状态变量有：位能、动能、电能、磁能、热能等。若一个系统的状态变量的数目为n，则称之为n维系统。对于一个确定的系统，其状态变量数目是不变量，但组成不一定是唯一的。(3)状态向量。将状态x1(t),x2(t),…,xn(t)看成向量x(t)的n个分量，并写成矩阵的向量形式，即根据状态变量的定义可知，当x0(t)及系统的输入给定时，x(t)可唯一地确定。(4)状态空间。由x1轴，x2轴，…，xn轴所构成的n维空间叫做n维状态空间。任意状态都可以用状态空间中的一个点来表示。4.2.2系统的状态空间表示式为了分析动态系统的运动，对于古典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入与输出之间的传递函数；同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入与状态之间以及状态与输出之间的状态空间表达式。省略其推导过程，状态空间表达式的标准式包括下面两部分：=1\*GB2⑴表征系统的状态变量和输入变量之间的状态方程Ax+Bu(4-1)式中：x——表示系统中的状态变量x1,x2…xn所组成n维向量。x==状态变量重点（考点）教案式中：—状态变量的导数，,…所组成的向量。式中：u——系统输入变量的向量。A、B——系数矩阵。=2\*GB2⑵表征系统的状态变量和输入、输出变量之间关系的输出方程Y=Cx+Du(4-2)式中：Y——输出变量的向量C、D——系数矩阵，一般情况下D=0。4.2.3.系统在不同输入作用下状态空间表达式(1)输入作用不含导数项的单输入n阶系统的状态空间表达式在单输入U=u作用下，n阶系统的微分方程为+a1+…++y=u(4-3)当t=0时的初始条件y(0),(0),…,(0)和t≥0时输入u(t)已知时，系统的运动状态可完全确定。取x=为一组状态变量，并设x1=yx2=……xn=(4-4)这样，n阶微分方程式4-3便可用n个一阶微分方程组成的状态方程来表示，即：=x2=x3……(4-5)将上式表示成矩阵形式，得(4-6)重点教案式中x=，A=B=系统的输出方程或观测方程为Y=x1将上式表示成矩阵形式，得Y=Cx(4-7)式中C=式4-6称系统的状态方程，式4-7称为系统的输出方程。状态方程和输出方程统称为系统的状态空间表达式（描述）。通过系统的状态空间描述，可将高阶微分方程转化为一个一阶矩阵微分方程组和一个矩阵代数方程，这对系统求解十分有利。例4-1、设系统的微分方程：y(3)+5y(2)+11y(1)+6y=3u其中：y为输出，u为输入。试求系统的状态空间描述，并画出系统方块图。(2)输入作用不含导数项的多输入n阶线性系统状态空间表达式4.2.4状态方程的解及转移矩阵在建立控制系统的状态空间表达式后，更需要的是确定系统在时间域中的解。本节先介绍连续型线性定常系统中齐次与非齐次方程的解法，然后引出状态转移矩阵的重要概念。状态方程的解与微分方程解非常相似，其全解包括通解与特解两个部分。4.2.4.1线性定常系统齐次状态方程的解法连续型系统的求解方法很多，此只介绍拉氏变换法和级数法。线性定常系统状态方程的一般表达式为：(4-10)当强制项u(t)为零时得到齐次方程掌握了解掌握（约10分钟）教案(4-11)（1）先用拉氏变换来求齐次方程(4-11)的自由解设t=0时的初始状态为x(0)，对式4-11两边进行拉氏变换，得：sX(s)－x(0)=AX(s)整理上式，得：(sI－A)X(s)=x(0)用矩阵(sI－A)-1左乘上式两端，得：X(s)=(sI－A)－1x(0)(4-12)根据矩阵求逆原则可知：(sI－A)－1=(4-13)式中：adj()表示为括号内矩阵的“伴随方阵”；|()|表示为括号内矩阵的行列式。所以：对式4-12进行拉氏反变换可得到状态方程的解，即：x(t)=L-1[(sI－A)－1]·x(0)=φ(t)·x(0)(4-14)（2）用级数法求状态方程的解类似于标量的二项式定理，(sI－A)－1也可展开级数形式。在(1－x)-1的幂级数展开形式中，令x=(<1)则(4-15)仿上式写出(sI－A)－1的幂级数展开式为：(sI－A)－1==(4-16)将式4-16代入式4-14中，x(t)=L-1[(sI－A)－1]·x(0)=(4-17)这是因为：象函数原函数类似于标量指数函数展开成泰勒级数形式，矩阵指数函数eAt也可写成如下级数：eAt=I+At+…++…=(4-18)（掌握）（约10分钟）教案考虑到式4-18，则式4-17可写成x(t)=eAtx(0)(4-19)可以证明，矩阵指数eAt具有如下性质：1)若AB=BA，则e（A+B）t=eAt·eBt2)e-At·eAt=eAt·e-At=I3)eAt=A·eAt=eAt·A综上（1）（2）中式4-14和式4-19所述，可将线性定常系统齐次方程的解写成x(t)=φ(t)·x(0)(4-20)式中：φ(t)=eAt=L－1[(sI－A)－1](4-21)由式4-20可看出，齐次方程在任意时刻t的解x(t)仅是初始状态x(0)的转移。因此n×n矩阵φ(t)叫做状态转移矩阵。φ(t)描述了系统从初始状态唯一地转移到x(t)的自由运动的全部信息。状态转移矩阵决定了由初始x(0)激发的运动。根据上述φ(t)=eAt的性质，可以看出状态转移矩阵φ(t)具有如下重要性质：1)φ(0)=eA0=I2)(t)=A·φ(t)=φ(t)·A3)φ-1(t)=φ(-t)4)[φ(t)]k=φ(kt)以及φ(t1)·φ(t2)=φ(t1+t2)5)若初始时刻为t1，则t时刻的状态为：x(t)=φ(t－t1)·x(t1)4.2.4.2线性定常系统非齐次方程的解法到现在为止，求解的关键问题是如何再进一步求解矩阵指数。常用求解的方法有：幂级数法（式4-18），拉普拉斯变换法（式4-21），矩阵特征值和相似矩阵变换法，以及利用凯莱—哈密顿余子式求共四种。后两种方法可参阅有关参考书。4.2.5传递矩阵与系统交连的解耦在古典控制理论中，单输入—单输出系统之间的信号传递关系可用传递函数来表示。将传递函数的概念推广至多输入—多输出系统，从而可建立传递矩阵的概念。在多输入—多输出系统中各个通路的信号存在着交连影响，如果希望一个输入只对一个输出有影响，而对其它输出没有影响，这就提出一个消除系统交连的解耦问题。由于采用了传递矩阵的概念，系统消除交连的解耦条件便可通过简捷明了的矩阵运算求得。4.2.5.1由状态空间表达式确定单输入—单输出系统的传递函数根据传递函数定义可得（4-29）（熟悉）了解例4-3、已知单输入—单输出系统的方块图如图4-4所示。试用状态空间法求解系统的传递函数G(s)？图4-4单输入—单输出系统4.2.5.2多输入—多输出系统的传递矩阵4.2.5.3闭环系统的传递矩阵4.2.5.4多输入—多输出系统的消除交连（解耦）问题例4-4、在图4-7给出了一个两输入—两输出系统的方块图。试设计一个补偿器矩阵，使闭环传递函数为：4.3系统的可控性和可观测性4.3.1可控性与可观测性问题的提出4.3.2可控性4.3.3可观测性4.3.4可控性与可观测性的判定条件（1）系统完全可控的充要条件是可控矩阵V=[]满秩(4-42)即RankV=n其中V为n×nr可控矩阵。掌握了解了解熟悉掌握重点掌握（考点）考点教案2）系统可观测性的充要条件是可观测性矩阵N=满秩,即rankN=n，N为nm×n矩阵(4-43)3）系统输出完全可控充要条件是输出可控矩阵S=[]秩为m（4-44）即ranks=m，其中s为m×（n+1）r矩阵。4.4可控性及可观测性与传递函数零极点对消的关系(1)状态方程中出现零极点对消现象由上分析可以看出，当系统的零极点对消现象只出现在状态方程中时,系统是不可控的与可观测的。这说明系统的输入激发不起1/(s+1)这个极点所对应的动态过程，因此系统是不可控的。(2)输出方程中出现零极点对消现象由上分析可知，当零极点对消出现在输出方程中时，系统是可控的与不可观测的。这说明系统的输入虽然能激发起1/（S+1）极点所对应的运动，但是这种运动在输出方程中对消了，因此在输出中反映不出来。综上(1)、(2)所述可知，对于两个系统，假如它们传递函数相同，但由于出现零极点对消现象的位置而不同，那么两个系统的可控性与可观测性也具有完全不同的特点。如果在传递函数中出现了零极点对消现象，系统或是不可控，或是不可测的，也可能既不可控又不可测三种情况；若传递函数中没有出现零极点对消现象，则系统既是可控的又是可观测的。4.5.多变量系统的反馈4.5.1多变量反馈系统的状态空间描述我们知道，状态方程的解与状态矩阵的特征值有着密切关系，而状态方程的解表明了系统的动态过程的品质。因此在工程实践中，可以通过设计状态反馈矩阵K（或输出反馈矩阵HC）来调整状态矩阵的值，即对系统进行极点配制，改变系统的动态过程，达到对系统进行控制的目的。从工程实现的角度讲，输出反馈易于实现，因为系统的输出量均是实际的物理量，一般都能通过传感器进行测量并转换为电信号，而状态变量有些可能不具有物理意义，无法进行测量，但是状态变量与输出变量相比，包含了更丰富的系统信息，因此在工程实践中还是尽可能应用状态反馈，状态变量中不具物理意义的部分，可用“状态观测器”进行估计。4.5.2.多变量反馈系统的可控性与可观测性实际上可以证明：(1)对于状态反馈控制系统，可控性不变；可观测性可能会产生变化。(2)对于输出反馈控制系统，可控性与可观测性均不变。（掌握）重点掌握（考点）熟悉了解（约10分钟）教案4.6极点配置4.6.1可控标准形与可观测标准形(1)可控标准形一旦系统的状态方程化为可控标准形,便可立即写出系统的特征方程。对式4-51两边取拉氏变换（推导过程略）、合并同类项，可得到系统的特征方程：Sn+a1Sn-1+a2Sn-2+…+an-1S+an=0(4-58)(2)可观测标准形(3)可控标准形的可控性(4)可观测标准形的可观测性4.6.2极点配置的实际应用本节是系统的可控性与可观测性的实际应用。如果系统是可控的与可观测的，则可以设计一个带状态反馈（或还带有状态观测器）的闭环控制系统，使系统具有给定的极点配置。这是因为设计系统时要依照系统的稳定性与动态指标来进行，而稳定性和动态指标又与系统的极点，即系统特征方程的特征值有密切关系。因此，使闭环控制系统具有预先