内科大材料成型控制工程基础教案第6章-最优控制系统与自适应控制系统

PAGEPAGE4教案课程名称：《材料成型控制工程基础》（第6章，共11章）编写时间：20授课章节6最优控制系统与自适应控制系统6.1最优控制系统6.2最小值原理6.3基于二次性能指标的最优控制系统6.4自适应控制系统目的要求本章内容属于现代控制策略的范畴。学习本章，要了解古典变分法与现代变分法的区别和联系、最小值原理的历史发展；熟悉二次性能指标的最优控制系统、自适应控制的相关概念；掌握现代控制理论的主要研究内容，最优控制系统的分类、性能指标、数学模型、求解方法。重点难点重点：重点掌握泛函数、变分法、哈密尔顿函数等概念，能够从泛函和变分法的角度理解最小值原理的实质，并能应用最小值原理来求解时间最优问题。难点：二次性能指标6最优控制系统与自适应控制系统本章将介绍最优控制理论与自适应控制理论中的一些基本知识。6.1最优控制系统最优控制是现代控制理论中的优化技术，旨在寻求某种性能指标要求下的一种最好的控制策略。采用最优控制理论，可以使控制系统的某一性能指标值达到极小（或极大），从而实现最优控制系统的设计。20世纪50年代末贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理、庞特里亚金（Pontryagin）创立“最大值原理”，从那时开始最优控制理论得到了迅速发展。6.1.1最优控制系统是这样的一种系统，它在完成要求的控制任务时，能使某项性能指标为最优值。下面给出几类最优控制系统的可能形式：在整个控制过程中使误差达到极小的系统。时间最优控制系统。在控制量受约束的条件下，如何在最短时间内，将系统从初始状态转移到预定状态，这一类控制问题被称为时间最优控制问题。最优末值控制系统。具有要求的最优终了状态x(tf)的系统。能量（燃料）最优控制系统。消耗最少能量（燃料）的系统。最大可靠性系统、最小投资系统，等等。6.1.2最优控制系统的性能指标通常，最优控制系统的性能指标分成如下三类：（1）积分型性能指标(拉格朗日型) （6-1）(2)末值型性能指标（梅耶尔型） （6-2）掌握教案(3)综合性能指标（波尔扎型） （6-3）6.1.3最优控制问题的数学模型系统最优控制问题的数学模型可以用如下4个方程来描述：给定系统的状态方程(2)状态方程的边界条件 (3)给定性能指标(4)允许控制域u(t)确定一个最优控制u*(t)的过程，就是使系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，并使性能指标J(u)具有极大（极小）值。6.1.4最优控制问题的求解方法最优控制问题常用的求解方法有如下三种：古典变分法动态规划法最小值原理本章只着重介绍最小值原理的相关知识。6.2最小值原理原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控制的成果，在1956~1958年间逐步创立了“最大值原理”，把经典变分法求极值问题进行了推广，特别是对控制函数u(t)受限制这一类问题的求解行之有效，而对u(t)不受限的情况，用该原理求解则和经典变分法是一样的。通常该原理又称为“最小值原理”，即当控制作用的大小限制在一定范围内时，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最小值。这一原理的证明非常复杂，本章只介绍最小值原理的内容及其应用，略去了该原理的数学证明。6.2.1最小值原理设系统的状态方程为： （6-4）式中x为n维状态向量x=[x1x2...xn]T掌握掌握教案u为r维控制向量：u=[u1u2…ur]并且一般u要受到限制 （6-5）给定性能指标为： （6-6）现在的问题是，需要在满足式6-5的允许控制中，确定—个控制变量u(t)，使式6-4描述的系统从初态x(t0)转移到终态x(tf)的过程中，式6-6描述的系统性能指标实现极小值。这个转移过程中的控制变量u(t)就称为最优控制，记为u*(t)。所以，求解系统最小值的过程，就是当系统的状态方程为，把系统从给定初态x(t0)=x0时刻转移到终端时刻tf给定的自由终端状态x(tf)，并使性能指标的值达到最小。实现极小值的最优控制应满足的必要条件是：设u*(t)是最优控制，x*(t)是对应于u*(t)的最优轨线。引入一个标量函数H，又称“哈密尔顿（Hamiltonian）函数”。对于哈密尔顿（Hamiltonian）函数则必存在一个与u*(t)和x*(t)相对应的伴随变量λ*(t)，满足：（1）λ*(t)和x*(t)是下列伴随方程的唯一解 （6-7） （6-8）（2）在初态x(t0)给定，终端时刻tf给定，终端状态x(tf)自由的情况下，边界条件为： （6-9）（3）如果在[t0,tf]内连续，并在极值处对u(t)的一阶偏导数存在，哈密顿函数对控制变量u(t)实现最小值，即： （6-10）教案这样，就确定了最优控制u*(t)。所以将式6-4中系统从初态x(t0)转移到某个终态x(tf)，并使式6-6中的性能指标实现极小值的问题，也就是求最优控制函数u*(t)使哈密顿函数实现最小值的问题。显然，控制方程6-10也可以写成如下形式； （6-11）求解该最优控制问题时，通过控制方程6-10或6-11可求得： （6-12）再把u(x,λ,t)分别代入状态方程6-7和伴随方程6-8中，在边界条件方程6-9条件下分别进行正向和反向积分，即解两边边界值问题可以得到状态变量和伴随变量的解x(t)与λ(t)，最后把x(t)与λ(t)代入式6-12即可得到最优控制u*(t)。应该指出，最小值原理放宽了应用条件使性能指标获得全局最小(H为全局最小）；但是最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需根据问题的物理性质来进一步判断，如果根据物理意义已经确定所讨论最优控制问题的解是存在的，而由最小值原理求得的控制又只有一个，那么该控制就是最优控制。若讨论的是性能指标极大的问题，