内科大材料成型控制工程基础课件04控制系统的状态空间分析

4控制系统的状态空间分析主讲：李振亮教授2本章主要内容：

■现代控制理论的优越性

■状态空间描述

■系统的可控性和可观测性

■可控性及可观测性与传递函数零极点对消的关系

■多变量系统的反馈

■极点配置(概念)

复习思考题

3

本章要点：

●本章内容属于现代控制理论的研究范畴，主要介绍“状态空间法”的概念、求解、应用；系统可控性和可观测性的概念及其判定准则；极点配置等相关内容

●本章应掌握以下基本内容：

①相关概念

②不同输入作用下状态空间表达式及其求解过程

③可控性和可观测性的判定准则，以及如何进行计算

④极点配置相关理论与计算

⑤现代控制理论和古典控制理论如何衔接等4■现代控制理论的优越性●古典控制理论的建立和特点●现代控制理论内容和特点5●古典控制理论的建立和特点

1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出在频率域内研究系统的“频率响应法”

1948年伊万斯（W.R.Ewans）提出在复数域内研究系统的根轨迹法（图解法），建立在这两者之上的控制理论通称为“古典控制理论”。6●现代控制理论内容和特点

◆研究内容

◆状态空间法的实质

◆控制理论不同角度的阐述方法7◆研究内容：（1）以最小二乘法为基础的系统辩识。（2）以极大值原理和动态规划为主要方法的最优控制。（3）以卡尔曼滤波理论为核心的最佳估计。◆状态空间法的实质（考点）

状态空间法的实质就是将系统的高阶运动方程写成一种一阶微分方程组的形式，然而再把一阶微分方程组写成矩阵方程，这样就简化了数学符号，方便运算。8◆控制理论的不同角度的阐述方法（1）输入—输出描述法。也称古典控制理论。数学工具借助于拉普拉斯变换在复数域内分析系统的传递函数。（2）状态描述法，即现代控制理论。对系统的描述变量除了输入、输出变量之外，还有表征系统内部特征的状态变量；状态法的数学基础是矩阵方程，用它来建立上述三者之间的函数关系，属于时域范畴分析法。一般来讲，分析复杂系统宜用状态分析法。9■状态空间描述

●基本概念●系统的状态空间表示式●系统在不同输入作用下状态空间表达式●状态方程的解及转移矩阵●传递矩阵与系统交连的解耦

10●基本概念

(见教材P64)(1)状态(2)状态变量

(3)状态向量

(4)状态空间

11●系统的状态空间表示式

古典控制理论需要从系统的微分方程出发，建立输入与输出之间的传递函数；

同样，对于现代控制理论也要从系统的微分方程出发，建立输入与状态之间以及状态与输出之间的状态空间表达式12状态空间表达式的标准式包括下面两部分：⑴表征系统的状态变量和输入变量之间的状态方程⑵表征系统的状态变量和输入、输出变量之间关系的输出方程13●系统在不同输入作用下状态空间表达式

为了讨论方便，我们根据对系统输入作用的不同，把系统分成如下三类：

即：输入作用不含导数项的单输入n阶系统、输入作用不含导数项的多输入n阶线性系统和输入作用中含有导数项的线性系统三种，在这里只讨论前两种的状态表达式。14（1）输入作用不含导数项的单输入n阶系统在单输入U=u作用下，n阶系统的微分方程为：为一组状态变量，并设15

这样，n阶微分方程（式4-3）便可用n个一阶微分方程组成的状态方程来表示，即：系统的输出方程或观测方程为Y=x1将上式表示成矩阵形式，得Y=Cx

（式4-6）称系统的状态方程，（式4-7）称为系统的输出方程。状态方程和输出方程统称为系统的状态空间表达式（或描述）

16例4-1:

设系统的微分方程：y(3)+5y(2)+11y(1)+6y=3u

其中：y为输出，u为输入。试求系统的状态空间描述，并画出系统方块图。

解：选取状态变量为：x1=y;x2=y(1);x3=y(2);

将微分方程转化为：系统的状态空间描述：17系统方块图表示如图4-1所示：

18(2)输入作用不含导数项的多输入n阶线性系统状态空间表达式(教材P67)19则状态空间表达式为：（P68）上述系统中动态特性矩阵A,B,C,D,当它们只随时间而变化时就变成A(t),B(t),C(t)和D(t),此时系统称为时变系统;当其为常数时，则称为定常系统。20

●状态方程的解及转移矩阵

在建立控制系统的状态空间表达式后，更需要的是确定系统在时间域中的解。本节先介绍连续型线性定常系统中齐次与非齐次方程的解法，然后引出状态转移矩阵的重要概念。

状态方程的解与微分方程解非常相似，其全解包括通解与特解两个部分。21（1）线性定常系统齐次状态方程的解法

连续型系统的求解方法很多，此只介绍拉氏变换法和级数法。（见教材P69）综上（1）（2）中（式4-14）和（式4-19）所述，可将线性定常系统齐次方程的解写成：x(t)=

φ(t)·x(0)

式中：φ(t)=eAt=L－1[(sI－A)－1]

(4-19)

(4-20)

(4-21)

22

由（式4-20）可看出，齐次方程在任意时刻t的解x(t)仅是初始状态x(0)的转移。因此n×n矩阵φ(t)叫做状态转移矩阵。

φ(t)描述了系统从初始状态唯一地转移到x(t)的自由运动的全部信息。

状态转移矩阵决定了由初始x(0)激发的运动。23例4-2：系统状态方程为=Ax

，式中试用拉氏变换法求状态方程的解？（P70）24（2）线性定常系统非齐次方程的解法（4-25）

（4-26）

式中第一项称为初始状态转移项，第二项称为输入向量项。

到现在为止，求解的关键问题是如何再进一步求解矩阵指数eAt。常用求解eAt的方法有：幂级数法（式4-18），拉普拉斯变换法（式4-21），矩阵特征值和相似矩阵变换法，以及利用凯莱—哈密顿余子式求共四种。后两种方法可参阅有关参考书。25●传递矩阵与系统交连的解耦(P71)

◆由状态空间表达式确定单输入、单输出系统的传递函数

◆多输入—多输出系统的传递矩阵

◆闭环系统的传递矩阵

◆多输入—多输出系统的消除交连（解耦）问题26◆由状态空间表达式确定单输入、单输出系统的传递函数

（4-29）

27例4-3已知单输入—单输出系统的方块图如图4-4所示。试用状态空间法求解系统的传递函数G(s)？28◆多输入—多输出系统的传递矩阵（P73）

（4-32）

29◆闭环系统的传递矩阵（P73）

（4-33）30◆多输入—多输出系统的消除交连（解耦）问题（P74）＝

Gp-1(s)·G(s)[I－G(s)]-1

（4-38）31例4-4在图4-7给出了一个两输入—两输出系统的方块图。试设计一个补偿器矩阵，使闭环传递函数为：32■系统的可控性和可观测性●可控性与可观测性问题的提出●可控性

●可观测性●可控性与可观测性的判定条件33●可控性与可观测性问题的提出（P76）(1)为了实现最优控制必须使系统具有可控性和可观测性。(2)为什么在古典控制理论中没有提出可控性与可观测性问题。(3)状态空间法揭示了系统内部的状态，提出了可控性与可观测性的问题34例4-5

图4-9中给出一种RC电路R1/R3=R2/R4。系统输入为电压u,系统的状态x1=uc,x2为R3与R4两电阻上的电压，输出y=x2。试判断系统的可控性与可观测性？35●可控性

（1）状态可控性定义（2）系统完全可控性定义（3）输出可控性36●可观测性(1)状态可观测性定义

(2)系统可观测性定义37●可控性与可观测性的判定条件（1）系统完全可控的充要条件是可控矩阵（2）系统可观测性的充要条件是可观测性矩阵（3）系统输出完全可控充要条件是输出可控矩阵(4-42)即RankV=n其中V为n×nr可控矩阵

(4-43)（4-44）

38例题4-6例题4-7例题4-8例题4-9例题4-10见教材P79~8039■可控性及可观测性与传递函数零极点对消的关系(见教材P80~83，重点掌握)(1)状态方程中出现零极点对消现象(2)输出方程中出现零极点对消现象40

综上(1)、(2)所述可知，对于两个系统，假如它们传递函数相同，但由于出现零极点对消现象的位置而不同，那么两个系统的可控性与可观测性也具有完全不同的特点。如果在传递函数中出现了零极点对消现象，系统或是不可控，或是不可测的，也可能既不可控又不可测三种情况；若传递函数中没有出现零极点对消现象，则系统既是可控的又是可观测的。41■多变量系统的反馈

特点：（1）多变量系统的控制也是基于反馈原理。但多变量系统的反馈可以是输出变量也可以是状态变量两种类型，一般来说，状态变量与输出变量相比包含了更丰富的系统信息，因此可以得到更好的控制效果。（2）多变量控制系统各变量间存在耦合关系，控制系统各回路之间存在相互影响，不能将其看成独立回路进行控制。因此，在多变量控制中经常要涉及到解耦问题。42●多变量反馈系统的状态空间描述

●多变量反馈系统的可控性与可观测性43●多变量反馈系统的状态空间描述（见教材P83~84）(1)输出反馈(2)状态反馈（4-49）（4-50）式中(A－BK)为带状态反馈的闭环系统的状态阵。

44可得闭环系统特征方程为：

|sI－(A－BK)|=0

状态方程的解与状态矩阵的特征值有着密切关系，而状态方程的解表明了系统的动态过程的品质。因此在工程实践中，可以通过设计状态反馈矩阵K（或输出反馈矩阵HC）来调整状态矩阵的值，即对系统进行“极点配制”，改变系统的动态过程，达到对系统进行控制的目的。工程实践中还是尽可能应用状态反馈，状态变量中不具物理意义的部分，可用“状态观测器”进行估计。45●多变量反馈系统的可控性与可观测性实际上可以证明：(1)对于状态反馈控制系统，可控性不变；可观测性可能会产生变化。(2)对于输出反馈控制系统，可控性与可观测性均不变。例4-11（见教材P85）46

■极点配置(概念)

●可控标准形与可观测标准形

●极点配置的实际应用47●可控标准形与可观测标准形◆可控标准形◆可观测标准形◆可控标准形的可控性◆可观测标准形的可观测性48◆可控标准形

(4-55)

由于系统的可控性矩阵只与矩阵A,B有关,与C无关，我们将式4-55所表示的矩阵A与B的形式称为可控标准形,又叫做相变量标准形。一旦系统的状态方程化为可控标准形,便可立即写出系统的特征方程：

(4-58)49◆可观测标准形式中：

由于系统的可观测性矩阵只与A,C的形式有关,与B的形式无关,所以我们将式4-60所给出的矩阵A与Ｃ的形式称为可观测标准形。

50

同一系统（如式4-51所示）既可以表示成可控标准形,又可以表示成可观测标准形,并且可控标准形矩阵A，B与可观测标准形矩阵A，C互为转置矩阵。51◆可控标准形的可控性

①若系统的状态方程是可控标准形,则系统是可控的

②若系统一旦满足可控性,则必存在一个非奇异变换y=Px,将状态方程化为可控标准形。52◆可观测标准形的可观测性

①若系统为可观测标准形,则系统是可观测的。

②若系统是可观测的,则必存在一个非奇异变换x=TZ,将原方程变换成可观测标准形。53●极点配置的实际应用极点配置：如果系统是可控的与可观测的，则可以设计一个带状态反馈（或还带有状态观测器）的闭环控制系统，使系统具有给定的极点配置。因此，使闭环控制系统具有预先设定的特征值就成为控制系统的设计方法之一，称之为极点配置。54带状态反馈的闭环系统的特征方程为：式中，s1,s2,…sn是状态系统特征方程的特征解，也就是闭环系统的极点。

可以证明，当A，B为可控标准形时，只要适当地设计反馈阵K，就能使闭环系统的极点s配置在任意给定的位置