天大材料加工控制工程基础课件03时域分析

1.TimeResponse2.TestInputSignals3.PerformanceofaFirst-OrderSystem4.PerformanceofaSecond-OrderSystem5.Theconceptofstability6.TheSteady-StateErrorofControlSystemChapter3ThePerformanceofFeedbackControlSystem

(TimeResponsePlotsofControlsystem)3.1时间响应的概念(TimeResponse)

1.时间响应的概念

系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程，即为系统的时间响应。系统的阶跃响应:1)强烈振荡过程2)振荡过程3)单调过程4)微振荡过程瞬态响应(transientresponse)；稳态响应(steady-stateresponse).时间响应TimeResponse

瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应:当时间t趋于无穷大时，系统输出的稳定状态。

2.微分方程的解与系统响应的关系：由初始条件决定的解－－微分方程的补解（非零初始条件）工程上称为自然响应又称零输入响应由输入信号决定的解－－微分方程的特解工程上称为强迫响应又称零状态响应一般规定，典型的初始状态为零状态“1”被称为系统的稳态响应

被称为系统的瞬态响应

3.TestInputSignals

：单位阶跃信号(Unitstepfunction)单位脉冲信号(Unitimpulsefunction)单位斜波信号(Unitrampfunction)单位抛物线信号(Unitparabolicfunction)δ(t)t-ε/2ε/24.系统时域分析：

根据系统的微分方程，应用拉普拉斯变换数学工具，直接解出系统的时间响应，然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能，诸如稳定性、快速性、稳态精度等。

5.瞬态响应的性能指标

Time-domainspecification阶跃响应的性能指标1)峰值时间(peaktime)

tp：指h（t）曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。3)调节时间(settlingtime)

ts：指响应曲线中，h（t）进入稳态值附近±％5h（∞）[或±％2h（∞）]误差带，而不再超出的最小时间。ts

也常称过渡时间。4)稳态误差(steady-stateerror)

ess：指响应的稳态值与期望值之差。对单位阶跃输入信号，常取

2)超调量(overshoot)

σ％：指h（t）中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。即

3.2Transferfunctionoffeedbackcontrolsystem-G1(s)H(s)X(s)Y(s)F(s)E(s)G2(s)D(s)Input:x(t)Output:y(t)Disturb:d(t)前向通道：X(s)到Y(s)的信号传递通路反馈通道：Y(s)到F(s)的信号传递通路系统闭环传递函数：反馈回路接通后，输出量与输入量的比值单独处理线性叠加系统对控制量X(s)的闭环传递函数系统对拢动量D(s)的闭环传递函数假设扰动量N(s)=0给定信号作用下的闭环系统传递函数：-G1(s)H(s)X(s)Y(s)F(s)E(s)G2(s)干扰信号作用下的闭环系统传递函数：-G1(s)H(s)D(s)Y(s)G2(s)系统总的输出：假设R(s)=0！扰动的影响将被抑制若规定：E(s)=X(s)-F(s)给定信号作用下系统的误差传递函数：

以误差信号E(s)作为系统输出量时的传递函数称为误差传递函数.-G1(s)H(s)X(s)E(s)G2(s)干扰信号作用下系统的误差传递函数：-G2(s)G1(s)D(s)F(s)-E(s)H(s)系统的总误差：分析：上述反馈系统的各种传递函数中，分母均为：

因而表明，反馈控制系统的闭环特征方程及极点与外作用信号无关，也与输出信号引出点的位置无关。系统的闭环传递函数具有相同的特征多项式1+G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。闭环传递函数的极点相同。

Δ(s)=0(A(s)=0)isthecharacteristicequationofthesystem.Forthesingle-loopfeedbackcontrolsystem,thecharacteristicequationreducesto1+G

(s)=0.

3.3Thes-planerootlocationandthetransientresponseIftheTransferfunctionofthefeedbackcontrolsystem

is-G

(s)X(s)Y(s)ItisthepolesandzerosofΦ(s)thatdeterminethetransientresponse.1.传递函数的极点对系统响应的影响

传递函数的极点决定了系统固有的运动模态（系统响应的数学模型型式）。whentheoutputofasystem(withgain=1)withoutrepeatedrootsandaunitstepinputcanbeformulatedasapartialfractionexpansionaswhereDkisaconstantanddependson

Bk,Ck,αk,and

ωk.wheretheAi,

Bk,andCkareconstants.Therootsofthesystemmustbeeithers=-σiorcomplexconjugatepairssuchass=-σi

±jωk.Theinversetransformresultsinthetransientresponseasasumofterms:Thetransientresponseiscomposedofthesteadystateoutput,exponentialterms,anddampedsinusoidalterms.Fortheresponsetobestable--thatis,boundedforastepinput-onemustrequirethattherealpartoftheroots,-σiand-αk,beintheleft-handportionofthes-plane.σTheimpulseresponseforvariousrootlocationsisshowninFig.Theinformationimpartedbythelocationoftherootsisgraphic,indeed,andusuallywellworththeeffortofdeterminingthelocationofrootinthes-plane.2.传递函数的零点对系统响应的影响

当传递函数Φ(s)的一个零点与输入信号X(s)的某一个极点相等时，Y(s)=Φ(s)X(s)中将发生零极点对消。这时系统输出响应中将不再出现与消去的极点对应的运动模态，也就是说，零点阻断了这一模态。当两个具有相同极点的系统，其零点不同，其响应也不同。如果某一个极点附近存在一个零点，则它对应的运动模态在整个系统响应中所占的比重很小，即传递函数的零点影响各个模态在系统响应中的比重。Example:x(t)=1(t)分别求两个系统的响应y(t).解：

当输入不为零时，传递函数的极点对应的模态将被“激发”，系统的零状态响应可以看成输入的极点对应模态和系统传递函数极点对应的固有模态的线性组合。在例题中，系统的零状态响应就是系统模态e-t、e-2t和输入极点s=0对应的阶跃信号的线性组合；分析：

由例题中还可以看到，两个系统的极点相同，运动模态相同；零点不同，响应曲线不同（y1(t)有超调)。3.4PerformanceofaFirst-OrderSystem1.数学模型T：时间常数，具有时间量纲[秒]

。-1/TsXi(s)X0(s)2.单位阶跃响应h(t)

由h(t)的数学表达式可以看出：单位阶跃响应中的第一项是单位阶跃响应的稳态分量，它等于单位阶跃信号的幅值；第二项是瞬态分量，当t→∞时，瞬态分量趋于零。

单位阶跃响应曲线：由零开始，按指数规律上升并趋于1。t＝0点的切线斜率：

T：时间常数。T的大小反映了一阶系统惯性的大小。

性质：

1）T

暂态分量

瞬态响应时间

极点距离虚轴

2）T

暂态分量

瞬态响应时间

极点距离虚轴

(t0)t=Th(t)=63.2%

实验法求Tt=3Th(t)=95%

允许误差5%调整时间ts=3Tt=4Th(t)=98.2%

允许误差2%调整时间ts=4T斜率:3.性能指标

(1)一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条按指数规律单调上升的曲线，不具有周期性，没有振荡，也不存在超调问题。

(2)调节时间ts

取误差范围5％时：

ts＝3T取误差范围2％时：ts＝4TT越小，调节时间ts

越短，快速性越好。

(3)系统的稳态误差：

4.Example

系统的结构图如图所示。当Kt＝0.1时，试求系统的单位阶跃响应的调节时间ts（误差范围为5％）；如果要求ts=0.1秒，试求系统的反馈系数Kt应调整为何值？

解：（1）根据反馈联接等效变换原理得系统的传递函数

根据惯性环节的标准式，T＝0.1根据要求，当误差范围为5％时，ts＝3T＝0.3（秒）。

（2）如果要求ts=0.1秒，求Kt首先求出系统含有Kt的传递函数：所以：又∵ts＝3T＝0.1（秒）∴∴Kt＝0.3

(t0)5.一阶系统的单位斜坡响应性质：1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同；2）输出相对于输入滞后时间T；3）稳态误差=T。(t0)只包含瞬态分量6.一阶系统的单位脉冲响应闭环极点（特征根）：-1/T衰减系数：1/T对于一阶系统输入信号微分

响应微分输入信号积分

响应积分积分时间常数由零初始条件确定。线性定常系统的一个性质例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指示误差是多少？解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达98%，费时4T=1分，则T=0.25分。一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误差为10T=2.5度。3.5PerformanceofaSecond-OrderSystem1.数学模型-

X(s)Y(s)Withaunitstepinput,wehaveThecharacteristicequationofthetransferfunctionisThecharacteristicrootsisζ>1称过阻尼状态，s1,2为两个不等的负实根；ζ=1称临界阻尼状态，s1,2为一对相等的负实根–ωn;0<ζ<1称欠阻尼状态，s1,2为一对实部为负的共轭复根，即ζ=0称零阻尼状态，s1,2为一对纯虚根±jωn；ζ<0称负阻尼状态，系统将出现正实部的特征根。2.当ζ>1时，

过阻尼振荡曲线：非周期函数，无超调、无振荡；曲线有拐点。离原点较远的极点对应的暂态分量幅值较小，衰减较快,当ζ>1.5,可以忽略其作用。Where,3.当0<ζ<1时，若令:ωd=βωn称为阻尼振荡角频率。ξωn:阻尼常数或衰减系数；1/ξωn:衰减时间常数。稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程，其衰减的快慢取决于指数ξωn，系统欠阻尼衰减振荡。Thetransientresponseofthesecond-ordersystemforvariousvaluesofthedampingratioζ.Thetransientresponseasafunctionofζandtimeforastepinput.

（1）参数与性能分析平稳性：阻尼比ξ越大，超调量越小、响应的振荡倾向越弱，平稳性越好；ξ=0时，响应是具有频率为ωn的等幅振荡过程；在一定的ξ

下，ωn

越大、阻尼振荡角频率（ωd=βωn）越高，平稳性越差。总之，ξ大、ωn小，响应的平稳性好。快速性：阻尼比ξ过大，系统响应迟钝，调节时间长，快速性差；

ξ过小，响应的初始段较快，但振荡强烈、衰减缓慢，调节时间亦长；

ξ=0.7，调节时间短，快速性好，并且超调不大，平稳性也较理想；

ξ=0.7为最佳阻尼比，其对应系统的响应称最佳响应。在一定的ξ下，ωn越大、调节越短，快速性越好。Thestepresponseforζ=0.2forωn=1andωn=10Thestepresponseforωn=5forζ=0.7andζ=1（2）性能指标超调量（overshoot)σ％:调节时间（settlingtime

)ts

:一般取偏差Δ=±2%~5%h(∞)令dy/dt=0求出tP:Percentovershootandnormalizedpeaktimeversusdampingratioζforsecond-ordersystem上升时间（Risetime)tr1:振荡次数N

:T0:振荡周期IfX(s)=1(unitinput)(3)Example

：单位负反馈系统的前向通道传递函数为已知，K=16s-1，T=0.25s求:1)系统参数ωn,ξ;2)动态性能参数σ%,

ts

(Δ=0.02)3)采用速度反馈,使反馈通道传函H(s)=(1+0.0625s),重复1)、2）。解：1）2）3）采用速度反馈,使反馈通道传函H(s)=(1+0.0625s)不变↑↓

↓

3.6Theconceptofstability系统的稳定性：自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后，系统能够以足够的精度自动恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，反之称系统不稳定。

1.系统稳定性的概念系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。

系统的绝对稳定性是指系统稳定（或不稳定）的条件。系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。

2.系统稳定的条件

线性系统动态微分方程的一般式为：经拉氏变换得：

可以简写为：

该系统的传递函数为：

系统的稳定性可以用单位脉冲响应函数描述，即：如果：则系统稳定。该系统的单位脉冲响应为：

系统的特征多项式：系统的特征方程：特征方程的根：系统的单位脉冲响应为：系统的特征方程的根是负实数或共轭复数具有负实部时，系统在稳态时（t→∞），单位脉冲响应趋于零，则系统是稳定的。系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的所有的实根必须是负根，所有复数的实数部分也必须是负数。

特征方程的所有的根的实部都必须是负数。系统的特征方程的根全部位于复数平面虚轴的左半部。

3.

Stabilitycriterionofthecontrolsystem（1）HurwitzStabilitycriterion

（代数稳定判据）由于系统稳定与系统特征方程的根的性质密切相关，因此，只要能够判定系统特征方程的根是否都具有负实部，即可以判断系统是否稳定。系统的特征方程：系统稳定的必要条件：系统稳定的充分条件：由特征多项式各系数构成的n阶行列式Dn中，各奇数或各偶数子行列式的值都大于零。即Where,（2）TheRouth-Hurwitz

Stabilitycriterion系统的特征方程：系统稳定的必要条件：系统稳定的充分条件：Routh阵列中的第一列元素都大于零。Routh阵列中的第一列元素符号变化次数等于实部为正的特征根个数。Routh阵列：n+1行n+1列Routh阵列的排列：（1）根据特征方程中的系数直接列出第一、二行的元素（2）在第一、二行的元素的基础上，按照一定规则列出第三行元素。即选择第一列和下一列元素构成一个2×2的行列式，（3）在第二、三行的元素的基础上，按照上述规则列出第四行元素。（4）按照上述规则列出其他行的元素；一般，最后两行只有一个元素。注意，在构造Routh阵列时，如过遇到没有具体元素（值）时，将该元素（值）列为“0”。Example1:单位负反馈系统的开环传函：求，保证闭环系统稳定条件下的k值范围。解：系统的特征方程：根据系统稳定的必要条件：∴k≻0根据HurwitzStabilitycriterion的充分条件：∵是三阶系统∴只要D2>0即可。∴0<k<0.35/0.025=14Example2:系统的结构图如图所示。当k=25，系统是否稳定；闭环系统稳定条件下的k

值范围。解：系统的特征方程根据系统稳定的必要条件：∴k≻0Routh阵列：∴0<k<201/s(s+1)k/(s+4)X(s)Y(s)-即：∵系统稳定，第一列元素必须全部大于0∴k≻0，

而k=25时，系统不稳定。3.7Thesteady-stateerroroffeedbackcontrolsystem1.steady-stateerrorofsystem

Thesteady-stateerror

:theerrorafterthetransientresponsehasdecayed,leavingonlythecontinuous.稳态误差：指瞬态响应消失后，系统持续响应（稳态响应）的误差。稳态误差是用来衡量系统准确性的参数。系统的误差e(t)：系统的希望输出值yd(t)与实际输出值y(t)之差。其拉氏变换：希望输出值yd(t)理论上存在，实际上是无法直接测量。只有数学含义。G

(s)X(s)Y(s)Theerroroftheopen-loopsystem：Theerroroftheclosed-loopsystem：-G

(s)X(s)Y(s)在开环系统或单位负反馈系统中：

Theerroris：

Theerroris：非单位负反馈系统的稳态误差：-G

(s)X(s)Y(s)H

(s)Ea(s)B(s)偏差：为稳态误差又称作用误差偏差ea（t）的拉氏变换：当H(s)=1(单位负反馈）时，求解稳态误差ess

：2.Tocalculatethesteady–stateerror：稳态误差ess

：利用拉氏变换的终值定理：Theerroroftheopen-loopsystem：When:X(s)=1/sTheerroroftheclosed-loopsystem(H(s)=1)

：When:R(s)=1/s对于一般的负反馈系统：3.输入信号作用下稳态误差与系统结构的关系

(稳态误差系数)系统开环传递函数：

K：系统开环增益；ν：前向通道积分环节的个数；

ν=0：0型系统；ν=1：Ⅰ型系统；ν=2：Ⅱ型系统Itisusefultodeterminethesteady-stateerrorofsystemforthethreestandardtestinputsforaunityfeedbacksystem（H（s）=1）。（1）Positionerrorconstant

（位置误差系数）KPWhen:X(s)=1/sν=00型系统：ν=1Ⅰ型系统：ν=2Ⅱ型系统：令:则:

在阶跃输入下，系统消除误差的条件：ν≥1，即在开环传递函数中至少要有一个积分环节。

（2）Velocityerrorconstant

（速度误差系数）KVWhen:R(s)=1/s2

ν=00型系统：ν=1Ⅰ型系统：ν=2Ⅱ型系统：令:则:

斜波信号输入下，系统消除误差的条件：ν≥2。

（3）Accelerationerrorconstant

（速度误差系数）KaWhen:R(s)=1/s3令:则:

ν=00型系统：ν=1Ⅰ型系统：ν=2Ⅱ型系统：

加速度信号输入下，系统消除误差的条件：ν≥3。静态误差系数：静态位置误差系数：静态速度误差系数：静态加速度误差系数：静态误差系数与静态误差系统类别静态误差系数典型输入与稳态误差

ess0型系统K