2026年江苏扬州中学高二下学期期中数学试题及答案

试卷第1页，共5页江苏省扬州中学2025-2026学年度第二学期期中测试高二数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，项中，只有一项是符合题目要求的.1．点(4,-1,3)关于平面yOz的对称点为()2．已知fx3+2，则f,等于A．0B．-1C．23．若把英语单词“math”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有()5．下列关于空间向量的命题中正确的是()A．已知两个向量，则与的夹角为锐角B．已知过点A(1,2,3)的平面α的法向量为n=(0,1,-1)，则点P(2,-1,3)到平面α的距离为}也是空间的一组基底6．已知函数=aex-ln若不等式f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范7．“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春试卷第2页，共5页江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有种分配方案A．90B．120C．3608．取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均相等的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的半径与棱长的比值的平方为 有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错9．如图，四棱柱ABCD一A1B1C1D1为正方体，则()A．直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)试卷第3页，共5页0021-2011．已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)为f(x)的导函数，满足2f且f(1)=0，则以下结论正确的是()B．过原点且与f(x)相切的直线方程为xD．若k<f(x)恰有两个整数解，则k的取值范围是13．已知函数x2+x与g=2lnx+m在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为.14．已知在一正方体ABCD-OPQR中，其顶点A位于一个平面之内，且其余顶点位于该平面同一侧，已知点O，点C，点B到该平面的距离的平方分别为9，4，1，则该正方体ABCD-OPQR的体积为.(1)求n与a0的值；10的值.16．如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC=2，AC=2，F是EB的中点.试卷第4页，共5页(1)证明：DF//平面ABC；(2)若四棱锥B—ACDE的体积为3，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值.17．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；(3)计划安排A,B,C,D,E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.(1)求函数f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)的单调性；(3)若存在实数a，使得f(x).g(x)≥bx2在x∈[0,+∞)恒成立，求实数b的取值范围.19．在空间直角坐标系Oxyz中，这点P(x0,y0,z0)且以=(a,b,c)为方向向量的直线方程可表示为，过点P且以为法向量的平面方程可0.(1)已知直线l1的方程为=y=—直线l1和直线l2的一个方向向量.(2)若直线=y=与l2:都在平面α内，求平面α的方程；试卷第5页，共5页(3)若集合M={(x,y,z)||x|+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值.答案第1页，共14页【分析】根据空间直角坐标系中点的对称关系可得结果.【详解】在空间直角坐标系中，点(x,y,z)关于平面yOz对称的点，其y坐标和z坐标保持不变，x坐标变为原来的相反数，则点(4,-1,3)关于平面yOz的对称点为(-4,-1,3)，故选：B.【分析】对函数f(x)求导，在导函数中代入x=1，即得.x3故选：B.【详解】“math”一共有4个不同的字母，这4个字母全排列有A=24种方法，其中正确的有1种，所以错误的有24-1=23种.【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.【详解】4443z(x+y)z3+Cz4，由二项式定理可知，(x+y)n展示式中共有n+1项，故选：B.【分析】根据b-=2a-可判断A；利用点到平面距离公式计算可判断B；根据答案第2页，共14页所以非零向量与非零向量方向相同，夹角不是锐角，故A错误；所以点P(2,-1,3)到平面α的距离为2，故B错误；则在上的投影向量坐标为，故D正确.【分析】由题意可得ex+lna+x+lna≥eln(x-1)+ln(x-1)恒成立，构造函数g(x)=ex+x，可得(ln(x-1))，结合函数单调性可得lna≥ln(x-1)-x恒成立，构造函数h(x)=ln(x-1)-x(x>1)，借助导数研究其单调性后计算即可得解.【详解】由f(x)≥0恒成立，则aex≥ln(x-1)-lna-1恒成立，即aex+lna≥ln(x-1)-1恒成立，ln(x-1)+ln(x-1)恒成立，由g(x)=ex+x在R上单调递增，故x+lna≥ln(x-1)，则lna≥ln(x-1)-x恒成立，故h(x)在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，答案第3页，共14页即实数a的取值范围为.【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算.【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况：情况二：按1,2,3分组：则有CC=60种；情况三：按2,2,2分组：则有=15种；所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有(15+60+15)A=90×6=540种分配方案.【分析】设上下正四边形的中心分别为O1,O2，连接O1O2，设出棱长，利用外接圆的性质求出外接球的半径，最后求出比值.【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上下正四边形的中心分别为O1,O2，连接O1O2，则O1O2的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点， 过点B作BC丄O1A于点C，则AC=O1A-O2B=(2·2-2)a，A2故选：A.答案第4页，共14页【点睛】本题的关键是读懂题意，求出旋转角度为，再设出棱长，利用图形作出合理辅助线，利用勾股定理求出外接球的半径，最后得到比值.【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案.【详解】设正方体的棱长为a，对于选项A，由D1，则，所以与平行，故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)，故选项A正确；对于选项B，由B，则，---所以BC1与(0,1,1)平行，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)，故选项B正确；对于选项C，由A，则，所以平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)，故选项C正确；对于选项D，由C，则所以(1,1,1)不是平面B1CD的一个法向量，故选项D不正确.故选：ABC【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D.【详解】对于A，由组合数性质知，C=C—m，A正确；答案第5页，共14页4336699999+C92191219202120，D正确.11．ABD【分析】对条件同时乘x得出导函数，得出x2f(x)=lnx+c，由f(1)=0得出c=0判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对f(x)求导，利用单调性求解即可判断C；根据f(2)>f(3)>f(4)>0，要使k<f(x)恰有2个整数解，f(4)≤k<f(3)，计算即可判【详解】A选项，由2f(x)+xf(可得+x2f，即=故x2f(x)=lnx+c，c为常数，由f(1)=0，故，故A正确：B选项，设切点为，y0=设切线斜率为k，则k=f因为切线过原点，所以0—=，所以切线方程为y=x.故B正确；C选项，f时，f(x)<0，答案第6页，共14页故f(x)的极大值为f()=，且x→0时，f(x)→-∞,x→+∞时，f(x)→0；0的解集是，故C错误；D选项，因为f(2)>f(3)>f(4)>0，所以要使k<f(x)恰有2个整数解，则整数解为2和3，所以f≤k<f，即化简得≤k<；故实数k的取值范围是|，故D正确.【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；或n=-7（舍去）故答案为：6【分析】问题转化为x2+x-2lnx在区间上的图象有两个解,令x2+x-2lnx,研究h在,e上的性质即可.答案第7页，共14页因为直线y=m与y=h(x)在区间上有两个公共点，所以故答案为 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长与顶点坐标，利用点到平面的距离公式，结合已知距离平方列方程，解方程得出棱长，从而计算正方体体积.【详解】设正方体棱长为a，以A为原点，分别以AB，AD，AO所在直线x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，各顶点坐标为：A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a,a,0)，O(0,0,a)，已知平面过A，设平面的单位法向量为(l,m,n)，满足l2+m2+n2=1，由于其余顶点都在平面同侧，任意点(x,y,z)到平面的距离为lx+my+nz>0，距离的平方为(lx+my+nz)2，根据题意：B到平面距离平方为1：C到平面距离平方为4：O到平面距离平方为9：(an)2=9，记z=an，得z2=9，2=1，两边乘a2得：x2+y2+z2=a2，由于所有顶点都在平面同侧，x,y,z>0， 2答案第8页，共14页0(2)511【分析】（1）根据组合数的性质可得n=10，即可利用赋值法求解a0=1，（2）利用赋值法即可求解.21016．(1)证明见解析【分析】（1）取AB的中点M，连接CM，FM，证明FMCD为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出；（2）法一：先根据体积求出点B到平面ACDE的距离，再建立空间直角坐标系求出平面DEF与平面ABC的法向量，代入公式即可求出最大值；法二：先根据体积求出点B到平面ACDE的距离，延长ED和AC交于点N，过A作AH丄BN于H，找到上AHE为平面DEF与平面ABC的夹角，再根据三角形面积相等得BN.AH=12，同时结合BN≥3即可求出.【详解】（1）取AB的中点M，连接CM，FM，F，M分别是EB和AB的中点，:FM与AE平行且xd；EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，:DC与AE平行且相等，:FM与DC平行且相等，:四边形FMCD为平行四边形，:DF∥CM，又DF丈平面ABC，CM平面ABC，:DF//平面ABC.（2）设B到平面ACDE的距离为d，法一：由于DC垂直于平面ABC，建立如图空间直角坐标系C-xyz，设平面DEF的法向量为，则由,得由于DC垂直于平面ABC，因此=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.设平面DEF与平面ABC的夹角为θ,答案第9页，共14页答案第10页，共14页∴平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为法二：延长ED和AC交于点N，过A作AH丄BN于H，EA丄平面ABC，:EA丄BN，又AH丄BN,AH∩EA=A，且两直线在平面内，:BN丄平面AHE，:BN丄HE，:上AHE为平面DEF与平面ABC的夹角，由S△ABN=AN.d=BN.AH，得BN.AH=12，而BN≥3，所以AH≤4，当且仅当BN丄AN时等号成立；∴平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为.(2)360(3)1140种【分析】（1）利用间接法计算可得；（2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得；（3）分A只任教1科和A任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有A种情况；第二步，将甲和乙的相同课程排好，有C种情况；第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法C种情况；答案第11页，共14页（3）①当A只任教1科时：先排A任教科目，有C种；再从剩下5科中排B的任教科目，有C种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有CA种；②当A任教2科时：先选A任教的2科有C种，综上课程安排方案有1140种.18．(1)极小值为f(0)=1(2)答案见解析【分析】（1）求导，利用导数分析f(x)的单调性和极值；（2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数g(x)的单调性；x∈[0,+∞)，分类讨论b一1的符号，结合恒（能）成立问题分析求解.【详解】（1）因为f(x)=ex一x的定义域为R，且f,(x)=ex一1，当x≥0时，f,(x)≥0；当x<0时，f,(x)<0；可知f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(一∞,0)单调递减，所以f(x)的极小值为f(0)=1.（2）因为g(x)的定义域为R，且g,=一可知g(x)在(一∞,+∞)上单调递减；答案第12页，共14页综上所述：当a=0时，g(x)在(—因为f,≥bx2，即≥bx2，可得(b1)x2ax1令h(x)=(b1)x2ax1①当b>1时，若a<0，则h不合题意；且<0，可知方程(b1)x2ax1=0有一正一负两个实根，取其正根为x0，则h(x0)=x02+ax0+1>0，综上所述：当b>1时，不存在实