线性代数-期末复习完全手册（直接使用版）

线性代数·期末复习完全手册（直接使用版）第一部分：考试题型与分值分布（通用）题型题量分值主要考查范围策略选择题5-8题15-20分概念辨析、性质判断牢记定义和充要条件填空题5-8题15-20分行列式计算、矩阵运算、特征值计算准确，注意符号计算题5-7题45-55分行列式、矩阵方程、方程组、特征值特征向量步骤完整，步骤分占一半证明题1-2题10-15分矩阵可逆、线性相关/无关、二次型正定逻辑清晰，定理引用准确第二部分：核心公式与定理速查表第一章：行列式行列式基本计算公式类型公式二阶行列式|ab;cd|=ad-bc三阶行列式对角线法则：|abc;def;ghi|=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh行列式性质（必背）序号性质说明1行列式与转置行列式相等|A|=|A^T|2交换两行（列），行列式变号互换一次变号一次3两行（列）相同，行列式为0推论：两行成比例，行列式为04某行（列）的公因子可提出来k×某行=k×行列式5某行（列）全为0，行列式为06某行（列）是两组数之和，可拆开7某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变最常用的化简方法行列式按行（列）展开定理概念公式余子式M_ij去掉第i行第j列后剩下的n-1阶行列式代数余子式A_ijA_ij=(-1)^(i+j)·M_ij按行展开|A|=Σ(k=1,n)a_ik·A_ik（对任意一行i）按列展开|A|=Σ(k=1,n)a_kj·A_kj（对任意一列j）特殊行列式公式行列式类型结果上三角行列式主对角线元素乘积下三角行列式主对角线元素乘积对角行列式主对角线元素乘积范德蒙德行列式Π(1≤i<j≤n)(x_j-x_i)伴随矩阵与逆矩阵公式条件A^(-1)=A*/|A||A|≠0A*=|A|·A^(-1)|A|≠0A·A*=A*·A=|A|·E恒成立克拉默法则若系数行列式D≠0，则方程组有唯一解：x₁=D₁/D,x₂=D₂/D,...,x_n=D_n/D其中D_j是把D的第j列换成常数项得到的行列式。第二章：矩阵及其运算矩阵运算运算条件公式/规则加法同型矩阵A+B=(a_ij+b_ij)数乘任意kA=(k·a_ij)乘法A列数=B行数(AB)_ij=Σ(k)a_ik·b_kj转置任意(AT)T=A转置可加(A+B)^T=A^T+B^T转置可乘(AB)^T=BT·AT逆方阵且|A|≠0A·A^(-1)=A^(-1)·A=E逆矩阵的性质序号性质1(A(-1))(-1)=A2(kA)^(-1)=(1/k)·A^(-1)(k≠0)3(AB)^(-1)=B(-1)·A(-1)4(AT)(-1)=(A(-1))T5|A^(-1)|=1/|A|矩阵的秩性质说明定义矩阵中最高阶非零子式的阶数满秩n阶方阵A，r(A)=n↔|A|≠0↔A可逆r(A)=r(A^T)矩阵与转置同秩r(A+B)≤r(A)+r(B)和的秩不超过秩之和r(AB)≤min{r(A),r(B)}乘积的秩不超过因子秩的最小值若P、Q可逆r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)分块矩阵类型运算规则分块加法对应子块相加分块乘法按矩阵乘法规则，子块相乘分块转置先各子块转置，再整体交换位置方阵的行列式公式条件|A^T|=|A|任意方阵|kA|=k^n·|A|n阶方阵|AB|=|A|·|B|A、B同阶方阵|A^(-1)|=1/|A|A可逆|A*|=|A|^(n-1)n阶方阵第三章：矩阵的初等变换与线性方程组初等变换类型操作对应初等矩阵交换两行r_i↔r_jE(i,j)某行乘以非零常数kk·r_iE(i(k))某行的k倍加到另一行r_j+k·r_iE(ij(k))行阶梯形与行最简形概念特征行阶梯形非零行在零行上方；每行首个非零元右侧下方全为零行最简形满足行阶梯形；每行首个非零元为1；该列其余元素全为0线性方程组解的判定对于n元线性方程组Ax=b：条件结论r(A)=r([A|b])=n有唯一解r(A)=r([A|b])<n有无穷多解r(A)≠r([A|b])无解对于齐次方程组Ax=0：条件结论r(A)=n只有零解r(A)<n有非零解（无穷多解）齐次方程组基础解系若r(A)=r<n，基础解系含有n-r个线性无关的解向量。通解=基础解系的任意线性组合。非齐次方程组通解结构非齐次通解=一个特解+对应齐次方程的通解第四章：向量组的线性相关性线性表示向量β可由向量组α₁,α₂,...,αm线性表示：存在一组数k₁,k₂,...,k_m，使β=k₁α₁+k₂α₂+...+k_mαm线性相关与线性无关概念定义充要条件线性相关存在不全为零的数使组合为零以向量为列构成矩阵，秩<m线性无关只有全零解以向量为列构成矩阵，秩=m重要结论序号结论1n个n维向量线性无关↔行列式不为02向量个数>维数→必定线性相关3含零向量的向量组必定线性相关4线性无关组的任何部分组也线性无关5线性相关组增加向量后仍线性相关极大无关组概念定义极大无关组向量组中取出部分向量，满足：①线性无关；②再添加任意一个原向量就线性相关秩极大无关组中向量的个数向量空间概念定义/求法基向量空间V中的极大无关组维数基中所含向量的个数坐标向量在给定基下的线性表示系数过渡矩阵由旧基到新基的变换矩阵P：新基=旧基·P第五章：相似矩阵与二次型特征值与特征向量概念公式/方法定义Aα=λα，α≠0，λ为特征值，α为特征向量特征方程|A-λE|=0特征多项式f(λ)=|A-λE|求特征向量解方程组(A-λE)x=0特征值的性质序号性质1Σλ_i=tr(A)（对角线元素之和）2Πλ_i=|A|3λ是A的特征值→λk是Ak的特征值4λ是A的特征值，A可逆→1/λ是A^(-1)的特征值5不同特征值对应的特征向量线性无关6实对称矩阵的特征值全是实数相似矩阵概念定义/性质定义存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B性质相似矩阵有相同的特征值、行列式、迹、秩矩阵可对角化的条件条件说明A有n个线性无关的特征向量充要条件A有n个互异的特征值充分非必要条件A为实对称矩阵必定可对角化对角化步骤求特征值λ₁,λ₂,...,λ_n对每个λi，求特征向量（解(A-λiE)x=0）以特征向量为列构成PP^(-1)AP=diag(λ₁,λ₂,...,λ_n)施密特正交化已知线性无关向量组α₁,α₂,...,αn，求正交向量组β₁,β₂,...,βn：步骤公式β₁β₁=α₁β₂β₂=α₂-(⟨α₂,β₁⟩/⟨β₁,β₁⟩)·β₁β₃β₃=α₃-(⟨α₃,β₁⟩/⟨β₁,β₁⟩)·β₁-(⟨α₃,β₂⟩/⟨β₂,β₂⟩)·β₂一般βk=αk-Σ(i=1,k-1)(⟨αk,βi⟩/⟨βi,βi⟩)·β_i正交矩阵概念条件定义A^T·A=E（即A^(-1)=A^T）性质A的列（行）向量是两两正交的单位向量行列式|A|=±1二次型及其标准形概念公式二次型f=x^T·A·x，其中A为对称矩阵化标准形通过正交变换x=Py，化为f=λ₁y₁²+λ₂y₂²+...+λ_ny_n²规范形系数只能是1、-1或0惯性定理概念定义正惯性指数p标准形中正系数的个数负惯性指数q标准形中负系数的个数符号差p-q正定二次型与正定矩阵判定方法条件定义对任意x≠0，有f(x)>0特征值法A的特征值全部大于0顺序主子式法A的所有顺序主子式大于0惯性指数法正惯性指数p=n第三部分：高频计算题完整步骤模板题型一：计算行列式（化三角法）例题：计算行列式|123|

|231|

|312|

解：

步骤1：将第一行乘以(-2)加到第二行，乘以(-3)加到第三行。

|123|

|0-1-5|

|0-5-7|

步骤2：将第二行乘以(-5)加到第三行。

|123|

|0-1-5|

|0018|

步骤3：上三角行列式，值为对角线元素之积。

行列式值=1×(-1)×18=-18

答：行列式值为-18。题型二：求逆矩阵（初等变换法）例题：求A=|21|的逆矩阵

|11|

解：

步骤1：构造增广矩阵(A|E)。

|21|10|

|11|01|

步骤2：r₁÷2，使第一行第一列元素为1。

|11/2|1/20|

|11|01|

步骤3：r₂-r₁，消去第二行第一列。

|11/2|1/20|

|01/2|-1/21|

步骤4：r₂×2，使第二行第二列元素为1。

|11/2|1/20|

|01|-12|

步骤5：r₁-(1/2)·r₂，消去第一行第二列。

|10|1-1|

|01|-12|

步骤6：右侧即为A的逆矩阵。

A^(-1)=|1-1|

|-12|

答：A^(-1)=|1-1|。

|-12|题型三：求解线性方程组例题：求解方程组

x₁+2x₂-x₃=1

2x₁+4x₂+x₃=5

-x₁-2x₂+3x₃=1

解：

步骤1：写出增广矩阵。

|12-1|1|

|241|5|

|-1-23|1|

步骤2：r₂-2r₁，r₃+r₁。

|12-1|1|

|003|3|

|002|2|

步骤3：r₂÷3，r₃-2r₂。

|12-1|1|

|001|1|

|000|0|

步骤4：r₁+r₂。

|120|2|

|001|1|

|000|0|

步骤5：写出方程。

x₁+2x₂=2

x₃=1

r(A)=r([A|b])=2<3（未知数个数），有无穷多解。

步骤6：令x₂=k（自由变量）。

x₁=2-2k

x₂=k

x₃=1

答：通解为(x₁,x₂,x₃)^T=(2,0,1)^T+k(-2,1,0)^T，k∈R。题型四：求特征值与特征向量例题：求A=|31|的特征值和特征向量

|02|

解：

步骤1：求特征方程。

|A-λE|=|3-λ1|=(3-λ)(2-λ)-0=0

|02-λ|

步骤2：解特征方程。

(3-λ)(2-λ)=0

λ₁=3,λ₂=2

步骤3：求λ₁=3对应的特征向量。

解(A-3E)x=0。

|01||x₁|=|0|

|0-1||x₂||0|

得x₂=0，x₁任意。

取特征向量α₁=(1,0)^T。

步骤4：求λ₂=2对应的特征向量。

解(A-2E)x=0。

|11||x₁|=|0|

|00||x₂||0|

得x₁+x₂=0，x₁=-x₂。

取特征向量α₂=(1,-1)^T。

答：λ₁=3对应特征向量k₁(1,0)^T；λ₂=2对应特征向量k₂(1,-1)^T（k₁,k₂≠0）。题型五：矩阵对角化例题：将A=|10|对角化

|02|

解：

步骤1：求特征值。

|A-λE|=|1-λ0|=(1-λ)(2-λ)=0

|02-λ|

λ₁=1,λ₂=2

步骤2：求特征向量（过程略，参考题型四）。

λ₁=1对应α₁=(1,0)^T

λ₂=2对应α₂=(0,1)^T

步骤3：以特征向量为列构成P。

P=|10|

|01|

步骤4：验证。

P^(-1)AP=|10|^(-1)|10||10|=|10|

|01||02||01||02|

答：P=E，对角矩阵为diag(1,2)。题型六：化二次型为标准形例题：求正交变换化二次型f=2x₁²+2x₂²+2x₃²+4x₁x₂为标准形。

解：

步骤1：写出二次型的矩阵A。

A=|220|

|220|

|002|

步骤2：求A的特征值。

|A-λE|=|2-λ20|=0

|22-λ0|

|002-λ|

展开得：(2-λ)[(2-λ)²-4]=(2-λ)(λ²-4λ)=(2-λ)·λ·(λ-4)=0

λ₁=0,λ₂=2,λ₃=4

步骤3：求特征向量。

λ₁=0：解Ax=0，得α₁=(1,-1,0)^T

λ₂=2：解(A-2E)x=0，得α₂=(0,0,1)^T

λ₃=4：解(A-4E)x=0，得α₃=(1,1,0)^T

步骤4：特征向量已正交，单位化。

η₁=α₁/|α₁|=(1/√2,-1/√2,0)^T

η₂=α₂/|α₂|=(0,0,1)^T

η₃=α₃/|α₃|=(1/√2,1/√2,0)^T

步骤5：正交变换x=Py，其中P=(η₁,η₂,η₃)。

标准形：f=0·y₁²+2y₂²+4y₃²=2y₂²+4y₃²

答：标准形为f=2y₂²+4y₃²。第四部分：高频计算题练习（附带最终答案）序号题目答案1计算行列式|25;13|12计算行列式|123;456;789|03求矩阵A=|12;34|的逆矩阵|-21;1.5-0.5|4求A=|123;014;001|的逆矩阵|1-25;01-4;001|5解方程组x+y=3,2x-y=0x=1,y=26解方程组x₁+2x₂-x₃=1,2x₁+4x₂+x₃=5,-x₁-2x₂+3x₃=1通解(2,0,1)T+k(-2,1,0)T7求A=|30;05|的特征值λ₁=3,λ₂=58求A=|12;21|的特征值λ₁=3,λ₂=-19求A=|110;110;002|的特征值λ₁=0,λ₂=2,λ₃=210判断向量组(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)的线性相关性线性无关11求向量组(1,2,3),(2,4,6),(1,1,1)的秩r=212求A=|1-1;24|的特征值λ₁=2,λ₂=313将A=|21;12|对角化P=|11;1-1|/√2,Λ=diag(3,1)14化f=3x₁²+3x₂²+2x₁x₂为标准形f=4y₁²+2y₂²15判断f=x₁²+2x₂²+3x₃²是否正定正定（特征值1,2,3>0）16计算行列式|1-10;-12-1;0-12|117求矩阵A=|100;020;003|的伴随矩阵diag(6,3,2)18设A为3阶方阵，|A|=2，求|3A|5419设A为3阶方阵，|A|=2，求|A^(-1)|1/220设A为3阶方阵，|A|=2，求|A*|421求向量组(1,0,1),(0,1,0),(1,1,1)的一个极大无关组(1,0,1),(0,1,0)或任意两个22求方程组x₁+x₂+x₃=0的基础解系(1,-1,0)^T,(1,0,-1)^T23设A的特征值为1,2,3，求|A²-3A|024判断矩阵|12;21|是否可对角化可对角化25设A为n阶正交矩阵，求|A|±126证明：若A²=A，则A的特征值只能是0或1Aα=λα→A²α=λ²α=Aα=λα→λ²=λ→λ=0或127化f=2x₁²+x₂²-4x₁x₂-4x₂x₃为标准形（略，需正交变换）28判断二次型f=2x₁²+2x₂²+2x₃²+2x₁x₂是否正定正定（顺序主子式均>0）29求过渡矩阵：基(I)→基(II)=基(I)·P，求PP=基(I)^(-1)·基(II)30设A为实对称矩阵，证明不同特征值对应的特征向量正交见证明题部分第五部分：证明题常考模板题型一：证明向量组线性无关例题：设α₁,α₂线性无关，证明β₁=α₁+α₂,β₂=α₁-α₂也线性无关。

证明：

设k₁β₁+k₂β₂=0

即k₁(α₁+α₂)+k₂(α₁-α₂)=0

整理得：(k₁+k₂)α₁+(k₁-k₂)α₂=0

因为α₁,α₂线性无关，所以：

k₁+k₂=0

k₁-k₂=0

解得k₁=0,k₂=0。

所以β₁,β₂线性无关。证毕。题型二：证明矩阵可逆例题：设方阵A满足A²-3A+2E=O，证明A可逆并求A^(-1)。

证明：

由A²-3A+2E=O

得A(A-3E)=-2E

即A·[-(1/2)(A-3E)]=E

所以A可逆，且A^(-1)=-(1/2)(A-3E)=(3E-A)/2。证毕。题型三：证明特征值相关结论例题：设λ是A的特征值，证明λ²是A²的特征值。

证明：

设Aα=λα（α≠0）。

两边左乘A：A²α=A(λα)=λ(Aα)=λ²α。

所以λ²是A²的特征值，对应特征向量为α。证毕。题型四：证明二次型正定例题：证明二次型f=x₁²+2x₂²+3x₃²是正定二次型。

证明：

方法一（定义法）：

对任意(x₁,x₂,x₃)≠(0,0,0)，

f=x₁²+2x₂²+3x₃²>0（各项非负且至少一项大于0）。

所以f是正定二次型。

方法二（特征值法）：

矩阵A=diag(1,2,3)，特征值1,2,3均大于0。

所以A正定，即f正定。证毕。第六部分：常见易错点辨析序号易错点正确理解1矩阵乘法可交换矩阵乘法一般不满足交换律，AB≠BA2AB=O推不出A=O或B=O非零矩阵乘积可以为零矩阵3AB=AC且A≠O推不出B=C除非A可逆4(A+B)²=A²+2AB+B²不成立，应为A²+AB+BA+B²5行列式与矩阵混淆行列式是一个数，矩阵是一个数表6|kA|=k|A|错，应为|kA|=k^n|A|7特征向量不唯一若α是特征向量，则kα（k≠0）也是8相似矩阵特征值相同，反之不成立特征值相同不一定相似9实对称矩阵一定可对角化正确，这是实对称矩阵的重要性质10正交变换保持向量长度不变‖Px‖=‖x‖，P为正交矩阵11初等变换不改变行列式的值错：互换行变号，倍乘行乘k12初等变换不改变矩阵的秩正确13线性相关组中必有向量可由其余表示正确，但反之不成立14(AB)^T=A^TB^T错，应为(AB)^T=B^TA^T15矩阵的秩等于非零子式的最高阶数正确，这是秩的定义第七部分：选择题高频题库（80题）模块一：行列式题号题目选项A选项B选项C选项D答案1二阶行列式|23;14|的值为511-58A2若行列式中两行相同，则行列式值为1-10不确定C3设A为3阶方阵，|A|=2，则|2A|=48162C4行列式|12;34|的代数余子式A₁₁=1234D5若|A|=0，则A一定可逆不可逆是单位矩阵是对称矩阵B6交换行列式的两行，行列式不变变为相反数变为原来的2倍变为0B7行列式中某行乘以k，行列式值变为原来的k倍k²倍1/k倍不变A8上三角行列式的值等于所有元素之和主对角线元素之积次对角线元素之积0B模块二：矩阵运算题号题目选项A选项B选项C选项D答案9设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则AB为m×n矩阵n×p矩阵m×p矩阵p×m矩阵C10下列哪个运算一定满足交换律A+BABA-BA/BA11若A可逆，则(A(-1))(-1)=A²AA^(-1)EB12(AB)^T等于A^TB^TB^TA^TABBAB13若A是n阶方阵且|A|≠0，则r(A)=01n-1nD14下列哪个矩阵是单位矩阵所有元素为1主对角线为1其余为0主对角线为0其余为1所有元素为0B模块三：矩阵的秩题号题目选项A选项B选项C选项D答案15矩阵的秩是其非零子式的最低阶数最高阶数平均阶数任意阶数B16初等变换不改变矩阵的秩行列式值特征值迹A17r(AB)与r(A)、r(B)的关系是r(AB)≥max{r(A),r(B)}r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(AB)=r(A)+r(B)无关系B18若A为满秩方阵，则|A|=0≠0=1不确定B模块四：线性方程组题号题目选项A选项B选项C选项D答案19齐次方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|≠0r(A)=nr(A)<nA可逆C20若r(A)=r([A|b])<n，则方程组有唯一解无解有无穷多解无法判断C21非齐次方程组Ax=b无解的条件是r(A)=r([A|b])r(A)≠r([A|b])r(A)=nr(A)<nB22齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为r(A)n-r(A)nr([A|b])B23若Ax=0只有零解，则r(A)与n的关系是r(A)<nr(A)>nr(A)=nr(A)≠nC模块五：向量组的线性相关性题号题目选项A选项B选项C选项D答案24n个n维向量线性无关的充要条件是行列式=0行列式≠0秩<n无法判断B25若向量个数大于维数，则该向量组线性无关线性相关正交无法判断B26包含零向量的向量组一定线性无关线性相关正交构成基B27线性无关组的任何部分组一定线性无关一定线性相关可能相关无法判断A28向量空间的基是该空间的任意向量组极大无关组相关组零向量B模块六：特征值与特征向量题号题目选项A选项B选项C选项D答案29A的特征值的乘积等于tr(A)|A|r(A)0B30A的特征值之和等于tr(A)|A|r(A)0A31不同特征值对应的特征向量一定线性相关正交线性无关相同C32若A可逆，λ是A的特征值，则A^(-1)的特征值为λ1/λλ²-λB33λ是A的特征值，则A²的特征值为λ1/λλ²√λC34实对称矩阵的特征值一定是复数实数纯虚数0B模块七：相似矩阵与对角化题号题目选项A选项B选项C选项D答案35相似矩阵一定有相同的特征向量特征值秩B和C都正确D36A可对角化的充要条件是|A|≠0A可逆A有n个线性无关的特征向量A为对称矩阵C37n阶方阵A有n个互异的特征值是A可对角化的充要条件必要条件充分条件无关条件C38实对称矩阵一定可对角化不可对角化可逆满秩A模块八：二次型题号题目选项A选项B选项C选项D答案39二次型f=x^TAx中，A必须是任意矩阵对称矩阵可逆矩阵正交矩阵B40正定二次型的特征值全大于0全小于0有正有负全为0A41正定矩阵的行列式一定=0<0>0不确定C42实二次型的秩等于矩阵A的秩矩阵A的阶数正惯性指数负惯性指数A43惯性指数中正系数的个数称为符号差正惯性指数负惯性指数秩B44正交变换保持矩阵特征值向量内积和长度矩阵行列式矩阵的迹B模块九：综合与概念辨析题号题目选项A选项B选项C选项D答案45下列哪个不是矩阵的初等变换交换两行某行乘以非零常数某行加上另一行某行乘以0D46设A为n阶方阵，则|A*|=|A|^n|A|^(n-1)|A|²|A|B47伴随矩阵A满足AA=|A|EAA^(-1)EA48正交矩阵的列向量组是任意向量组标准正交向量组线性相关组零向量B49施密特正交化的目的是求特征值求特征向量将线性无关组化为正交组求行列式C50若A²=A，则A称为幂零矩阵幂等矩阵对称矩阵正交矩阵B第八部分：判断题速记（50题）序号题目答案1若行列式中有两行对应元素成比例，则行列式值为0。对2行列式与它的转置行列式值相等。对3若行列式值为0，则行列式中必有两行相同。错（不一定）4矩阵乘法满足交换律。错5若AB=O，则A=O或B=O。错6(AB)^T=A^TB^T。错（应为B^TA^T）7若A可逆，则A^(-1)也一定可逆。对8初等变换不改变矩阵的秩。对9初等变换不改变矩阵的行列式值。错10若A为n阶方阵且|A|≠0，则r(A)=n。对11齐次方程组Ax=0总有解。对（至少有零解）12若r(A)=r([A|b])，则非齐次方程组有解。对13齐次方程组Ax=0只有零解的充要条件是r(A)=n。对14含零向量的向量组一定线性相关。对15若向量组中向量个数大于维数，则一定线性无关。错（一定线性相关）16线性无关组的任何部分组仍线性无关。对17相似矩阵有相同的特征值。对18特征值相同的矩阵一定相似。错19n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。对20实对称矩阵一定可以对角化。对21不同特征值对应的特征向量线性无关。对22实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。对23若λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值。对24若A可逆，则A的特征值都不为0。对25特征值的乘积等于矩阵的迹。错（等于行列式）26特征值之和等于矩阵的迹。对27正定矩阵的特征值都大于0。对28正定矩阵的行列式大于0。对29正交矩阵的行列式必为1。错（可能为-1）30正交变换保持向量的内积不变。对31秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)。对32秩(AB)≤min{秩(A),秩(B)}。对33若P、Q可逆，则r(PAQ)=r(A)。对34对称矩阵的特征值一定是实数。对35反对称矩阵的特征值一定是零或纯虚数。对36若A²=E，则A的特征值只能是±1。对37若A²=A，则A的特征值只能是0或1。对38二次型的矩阵一定是正定矩阵。错（不一定是）39二次型经正交变换后，其秩不变。对40惯性指数p+q等于二次型矩阵的秩。对41配方法化二次型为标准形的结果唯一。错（不唯一）42若A为对称矩阵，则存在正交矩阵P使P^TAP为对角矩阵。对43范德蒙德行列式的值