2027届新高考数学一轮热点复习两条直线的位置关系

2027届新高考数学一轮热点复习两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括____________________三种情况．1．两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．平行、相交、重合2．两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔____________________.A1A2＋B1B2＝0知识点二两条直线的交点对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交．相交⇔方程组有__________；平行⇔方程组________；重合⇔方程组有____________.唯一解无解无数个解归

纳

拓

展1．与对称问题相关的常用结论(1)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；(2)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．特别的：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．2．谨防四个易错点(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况．(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(4)用公式法求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．(

)(2)若直线l：mx＋ny＋3＝0平分圆C：x2－2x＋y2－1＝0，则2m－3n＝6.(

)(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√题组二走进教材2．(选择性必修1P67T8(1))过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(

)A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0[答案]

A[答案]

C4．(选择性必修1P79T2)过两直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为____________.[答案]

2x＋3y－2＝0考点突破·互动探究两条直线平行、垂直的关系——自主练透1．(2025·山东二模)已知直线l与直线x－y＝0平行，且在y轴上的截距是－2，则直线l的方程是(

)A．x－y＋2＝0 B．x－2y＋4＝0C．x－y－2＝0 D．x＋2y－4＝0[答案]

C[解析]

因为直线l平行于直线x－y＝0，所以直线l可设为x－y＋m＝0，因为在y轴上的截距是－2，则过点(0，－2)，代入直线方程得0－(－2)＋m＝0，解得m＝－2，所以直线l的方程是x－y－2＝0.故选C．2．(2025·安徽皖南名校联盟联考)已知直线l1：a2x＋y＋1＝0与直线l2：x－3ay＋7＝0，则“a＝3”是“l1⊥l2”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]

A[解析]

若l1⊥l2，则a2－3a＝0，解得a＝0或a＝3，所以“a＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A．名师点拨：1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.【变式训练】1．(2025·湖北“宜荆荆恩”联考)已知两条直线l1：ax＋4y－1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]

A距离问题——师生共研1．(2024·高考北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为(

)[答案]

C2．(2024·河南豫南名校质检、河北金科联考)若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两直线之间的距离为(

)[答案]

C3．(多选题)(2025·河南部分学校联考)已知点A(1,3)，B(－5,1)到直线l的距离相等，则直线l的方程可以是(

)A．x－3y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．2x＋y＋2＝0[答案]

ABD名师点拨：距离的求法1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行直线间的距离(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．[答案]

B[答案]

2或－6对称问题——多维探究角度1线关于点的对称(2025·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(

)A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0[答案]

D[解析]

由ax＋y＋3a－1＝0，可得y－1＝－a(x＋3)，所以M(－3,1)，(M不在直线2x＋3y－6＝0上)解法一：设点N(x，y)为所求方程直线上一点，则点(－6－x,2－y)在直线2x＋3y－6＝0上，∴2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选D.角度2点关于线的对称(2026·山东济南中学月考)一入射光线经过点M(2,6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3,4)，则反射光线所在直线方程为(

)A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0[答案]

D[引申]本例中入射光线所在直线的方程为____________.[答案]

6x－y－6＝0角度3线关于线的对称(2026·合肥模拟)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(

)A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0[答案]

B名师点拨：对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：1．中心对称：转化为中点问题处理(2)直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．有两种解法：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．(2)直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．分两种情况：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．【变式训练】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)(角度2)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)(角度1)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)在l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.直线的交点、直线系方程——师生共研2．(2025·四川凉山期末)经过两条直线l1：2x－3y＋10＝0和l2：3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线l：2x－y－1＝0的直线方程(

)A．x－2y－6＝0 B．x＋2y－2＝0C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－2＝0[答案]

B[引申]将例2中的“垂直”改为“平行”，则所求直线方程为____________.[答案]

2x－y＋6＝0名师点拨：直线系方程的常见类型1．过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)；2．平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；3．垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．【变式训练】设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为____________.[答案]

x－y－4＝0或x＋y－24＝0名师讲坛·素养提升与距离有关的最值问题1．(2026·江苏南通如皋调研)直线l1：x＋(m＋1)y－2m－2＝0与直线l2：(m＋1)x－y－2m－2＝0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则|PA|＋|PB|的最大值为(

)[答案]

A2．(多选题)(2026·江西梧州一中月考)2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(

)[答案]

BD[解析]

由题可知A，B在x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示：[答案]

D名师点拨：有关角平分线、直线上动点到两定点距离和的最小值(或差的最大值)问题，转化为对称问题解决．技巧：数形结合，利用距离的几何意义进行转化．【变式训练】(2026·江苏苏州三校阶段测试)已知两定点A(－3,5)，B(2,8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为(

)[答案]

D[解析]

如下图所示：提能训练练案[48]A组基础巩固

一、单选题1．(2025·重庆重点中学月考)已知直线l1过点A(2,5)且与直线l2：2x＋y－4＝0平行，则直线l1的一般式方程为(

)A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0C．x＋2y＋9＝0 D．x＋2y－9＝0[答案]

B[解析]

直线l2的斜截式方程为y＝－2x＋4，则其斜率为－2，因为直线l1过点A(2,5)，且与直线l2平行，所以kl1＝－2，则直线l1的点斜式方程为y－5＝－2(x－2)，即为2x＋y－9＝0.故选B.2．(2026·河北保定名校联考)已知两条直线l1：(m＋3)x＋4y＋3m－5＝0，l2：2x＋(m＋6)y－8＝0，且l1⊥l2，则直线l1的一个方向向量是(

)[答案]

B3．(2025·四川新高考教研联盟联考)已知直线l1：mx＋y＋3＝0和直线l2：3mx＋(m－2)y＋m＝0，则“m＝5”是“l1∥l2”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]

A[答案]

C5．(2026·吉林模拟预测)△ABC中，A(3,2)，B(1,1)，C(2,3)，则AB边上的高所在的直线方程是(

)A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0[答案]

A6．(2025·湖北宜昌模拟)设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上的动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(

)[答案]

A7．(2026·广东深圳外国语学校月考)已知直线2x＋y－3＝0与直线4x－my－3＝0平行，则它们之间的距离是(

)[答案]

C8．若直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则l的方程是(

)A．3x－2y－5＝0 B．2x－3y－5＝0C．2x＋3y＋1＝0 D．3x＋2y－1＝0[答案]

C9．(2026·山东学情质检)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(1,1)，若直线l：ax＋(a－3)y＋1＝0与△ABC的欧拉线垂直，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标为(

)[答案]

B[答案]

BCD11．(2025·辽宁东北师大附中测试)已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为(

)[答案]

BCD12．(2025·江西丰城中学月考)已知直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，下列说法正确的是(

)[答案]

AD三、填空题13．(2026·山东学情质检)若A(3,4)，B(－6，－3)两点到直线l：tx＋y－3＝0的距离相等，则t＝________.14．(2025·江苏徐州开学考试)直线l过点(－2,2)且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为________.[答案]

915．(2025·辽宁大连滨城高中联盟联考)已知点A(1，－2)，关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－1，－6)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________.[答案]

－816．(2025·辽宁东北师大附中测试)已知直线l1：x＋y