自动控制原理期末复习完全手册（直接使用版+高频考题真题）

自动控制原理·期末复习完全手册（直接使用版）第一部分：考试题型与分值分布（通用）题型题量分值主要考查范围策略选择题10-15题20-30分基本概念、分类、稳定性定义、频域指标牢记定义和基本性质填空题5-10题10-15分典型环节传递函数、性能公式、判据背诵关键公式判断题5-10题10-15分概念辨析、性质正误注意前提条件计算题4-6题50-70分结构图化简、二阶系统分析、劳斯判据、稳态误差、根轨迹、伯德图与稳定裕度步骤完整，图形规范第二部分：基本概念速查2.1自动控制的基本方式方式特点依赖开环控制控制器→被控对象→输出；无反馈精度依赖模型和标定闭环控制（反馈控制）输出反馈与输入比较，形成偏差，控制减小偏差精度高，能抑制扰动复合控制开环+闭环结合综合优点2.2对控制系统的基本要求要求含义时域指标频域指标稳定性扰动消失后系统恢复平衡的能力极点实部<0（连续）幅值裕度>1，相角裕度>0快速性响应速度上升时间t_r，峰值时间t_p剪切频率ω_c，带宽准确性稳态误差小稳态误差e_ss低频增益第三部分：数学模型速查3.1拉普拉斯变换常用表时域f(t)复频域F(s)δ(t)11(t)（阶跃）1/st1/s²e^(-at)1/(s+a)t·e^(-at)1/(s+a)²sinωtω/(s²+ω²)cosωts/(s²+ω²)3.2传递函数定义：在零初始条件下，线性定常系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比。G(s)=C(s)/R(s)。典型环节传递函数环节传递函数特点比例环节K无惯性，即时响应积分环节1/s输出累积，无差跟踪微分环节s预测变化，物理难实现惯性环节1/(Ts+1)含一个储能元件一阶微分环节τs+1二阶振荡环节ωn²/(s²+2ζωns+ω_n²)0<ζ<1时振荡延迟环节e^(-τs)输出平移延迟3.3结构图等效变换变换等效结构串联G₁(s)G₂(s)并联G₁(s)±G₂(s)反馈Φ(s)=G(s)/(1∓G(s)H(s))（负反馈取+，正反馈取-）引出点前移串联传递函数比较点后移串联传递函数比较点交换可任意交换引出点交换可任意交换梅森增益公式：P=Σ(P_k·Δk)/Δ其中Δ=1-ΣL_a+ΣL_bL_c-...，P_k为第k条前向通路增益，Δk为余子式。3.4典型二阶系统标准形式：Φ(s)=ωn²/(s²+2ζωns+ω_n²)欠阻尼(0<ζ<1)时域性能指标指标公式上升时间t_rt_r=(π-β)/ωd，β=arccosζ，ωd=ω_n√(1-ζ²)峰值时间t_pt_p=π/ω_d超调量σ%σ%=e^(-πζ/√(1-ζ²))×100%调节时间t_s(5%误差带)t_s≈3.5/(ζωn)（或3/(ζωn)）调节时间t_s(2%误差带)t_s≈4.5/(ζωn)（或4/(ζωn)）重要结论：超调量只与阻尼比ζ有关。ζ越大，超调越小，平稳性好；ω_n越大，响应速度越快。第四部分：稳定性与稳态误差速查4.1稳定性判据稳定的充要条件：闭环系统特征方程的所有根（闭环极点）均具有负实部。劳斯判据：列写特征方程D(s)=a₀sn+a₁s(n-1)+...+a_n=0（a₀>0）列劳斯表若第一列元素全部大于零，则系统稳定；符号变化次数=右半平面根的个数劳斯表特殊情况处理：某行第一列为零，其余不为零：用小的正数ε代替，继续计算。某行全为零：用上一行系数构成辅助多项式，求导后系数代替，继续计算（表明存在大小相等符号相反的根）。赫尔维茨判据：各阶赫尔维茨行列式均大于零。4.2稳态误差稳态误差定义：e_ss=lim(t→∞)[r(t)-c(t)]终值定理求稳态误差：e_ss=lim(s→0)s·E(s)典型输入下稳态误差（单位反馈）系统型别阶跃输入R·1(t)速度输入R·t加速度输入R·t²/20型R/(1+K_p)∞∞Ⅰ型0R/K_v∞Ⅱ型00R/K_aⅢ型及以上000静态误差系数：K_p=lim(s→0)G(s)H(s)，K_v=lim(s→0)sG(s)H(s)，K_a=lim(s→0)s²G(s)H(s)扰动信号引起的稳态误差：e_ssn=lim(s→0)s·E_n(s)，其中E_n(s)由扰动N(s)单独作用求得。第五部分：根轨迹法速查5.1根轨迹方程基本方程：1+G(s)H(s)=0⇔G(s)H(s)=-1条件方程幅值条件相角条件∠G(s)H(s)=(2k+1)π（k=0,±1,...）根轨迹：开环传递函数某一参数从0→∞变化时，闭环特征根在s平面上变化的轨迹。5.2绘制根轨迹的基本法则（以开环增益K*为参数）序号法则说明1分支数等于开环极点数n（或零点数m中的较大者）2对称性根轨迹关于实轴对称3起点与终点始于开环极点(K=0)，终于开环零点(K→∞)；有n-m条趋于无穷远4实轴上的根轨迹右侧实轴上零极点个数之和为奇数5渐近线与实轴交点σa=(Σp_j-Σz_i)/(n-m)，夹角φa=(2k+1)π/(n-m)6分离点/会合点由Σ1/(d-p_j)=Σ1/(d-z_i)解出d7与虚轴交点令s=jω代入特征方程，解出ω和K*（或用劳斯判据）8出射角/入射角满足相角条件：θ_pi=180°+Σ(来自零点的角)-Σ(来自其他极点的角)9闭环极点之和与积Σ闭环极点=Σ开环极点（n-m≥2），积与K*有关根轨迹分析：根据ζ值（等ζ线为从原点出发的射线）可确定闭环极点位置，进而估算时域性能。第六部分：频域分析速查6.1频率特性定义：G(jω)=G(s)|_(s=jω)=|G(jω)|∠G(jω)频率特性表示法：幅相特性（奈奎斯特图）：极坐标图对数频率特性（伯德图）：对数幅频L(ω)=20lg|G(jω)|(dB)，相频φ(ω)典型环节伯德图环节幅频渐近线相频K20lgK，水平线0°积分1/s-20dB/dec，过ω=1处0dB-90°微分s+20dB/dec+90°惯性1/(Ts+1)转折频率ω=1/T，高频-20dB/dec0°→-90°一阶微分Ts+1转折频率ω=1/T，高频+20dB/dec0°→+90°振荡1/(s²/ωn²+2ζs/ωn+1)转折频率ω=ω_n，高频-40dB/dec（ζ小有谐振峰）0°→-180°6.2奈奎斯特稳定判据根据开环幅相曲线判断闭环稳定性：Z=P-2N符号含义P开环传递函数在s右半平面的极点数N开环幅相曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数Z闭环系统在s右半平面的极点数；Z=0则系统稳定对数频率稳定判据：在L(ω)>0的频段内，相频曲线对-180°线的正负穿越次数之差应等于P/2。6.3稳定裕度裕度定义含义相角裕度γγ=180°+φ(ωc)，ωc为剪切频率(G(jω_c)幅值裕度h(dB)h=-20lgG(jω_g)6.4频域指标与时域指标的关系二阶系统：γ=arctan(2ζ/√(√(1+4ζ⁴)-2ζ²))，近似为γ≈100ζ（0≤ζ≤0.6时）ωc≈ωn（ζ较小时），调节时间t_s·ω_c≈7/tanγ高阶系统：用经验公式，谐振峰值M_r≈1/sinγ，σ%≈0.16+0.4(M_r-1)。第七部分：系统校正速查7.1校正方式校正方式连接位置特点串联校正与前向通路串联设计方便，最常用反馈校正局部反馈抑制参数变化，改善非线性前馈校正输入前馈或扰动前馈提高精度，不改变稳定性复合校正串联+反馈+前馈7.2常用校正装置及其特性校正装置传递函数伯德图特点作用超前校正(1+aTs)/(a(1+Ts))，a>1提供正相角，最大相角频率ωm=1/(T√a)，最大相角φm=arcsin((a-1)/(a+1))增加相角裕度，提高快速性（增大ω_c）滞后校正(1+bTs)/(1+Ts)，b<1提供负相角，但高频衰减提高稳态精度，不降低稳定性；减小ω_c滞后-超前校正组合低频段滞后，高频段超前综合改善稳态和动态性能7.3PID控制器环节传递函数作用P（比例）K_p提高响应速度，减小稳态误差，但可能降低稳定性I（积分）K_i/s消除稳态误差（提高型别），但可能降低稳定性和快速性D（微分）K_d·s增加阻尼，改善动态性能，减小超调，但放大噪声PIDK_p+K_i/s+K_d·s综合改善第八部分：离散控制系统基础速查8.1采样与Z变换采样定理（香农）：ωs≥2ωmaxZ变换定义：Z[x(t)]=X(z)=Σ(k=0,∞)x(kT)z^(-k)常用Z变换对连续信号离散序列Z变换δ(t)δ(nT)11(t)1z/(z-1)tkTTz/(z-1)²e^(-at)e^(-akT)z/(z-e^(-aT))8.2离散系统稳定性稳定条件：闭环特征根全部位于z平面单位圆内。可用双线性变换（w变换）再使用劳斯判据。第九部分：高频计算题完整步骤模板题型一：结构图化简求传递函数例题：系统结构图如下（略），用等效变换或梅森公式求C(s)/R(s)。

解：由梅森增益公式：

前向通路：P₁=G₁G₂G₃，P₂=G₄G₃

回路：L₁=-G₂H₁，L₂=-G₃H₂，L₃=-G₁G₂G₃H₃，L₄=-G₄G₃H₃

互不接触回路：L₁L₂=(G₂H₁)(G₃H₂)=G₂G₃H₁H₂

Δ=1-(L₁+L₂+L₃+L₄)+L₁L₂=1+G₂H₁+G₃H₂+G₁G₂G₃H₃+G₄G₃H₃+G₂G₃H₁H₂

Δ₁=1，Δ₂=1

C(s)/R(s)=(P₁Δ₁+P₂Δ₂)/Δ=(G₁G₂G₃+G₄G₃)/(1+G₂H₁+G₃H₂+G₁G₂G₃H₃+G₄G₃H₃+G₂G₃H₁H₂)

答：C(s)/R(s)如上。题型二：二阶系统性能指标计算例题：单位反馈系统G(s)=25/(s(s+6))，求动态性能指标。

解：闭环传递函数Φ(s)=25/(s²+6s+25)

与标准形式对比：ω_n²=25→ω_n=5rad/s，2ζω_n=6→ζ=0.6

欠阻尼：ω_d=ω_n√(1-ζ²)=5×0.8=4rad/s

t_r=(π-β)/ω_d，β=arccos0.6=53.13°=0.927rad

t_r=(3.14-0.927)/4=0.553s

t_p=π/ω_d=3.14/4=0.785s

σ%=e^(-πζ/√(1-ζ²))×100%=e^(-1.884)×100%=15.2%

t_s≈3.5/(ζω_n)=3.5/(0.6×5)=1.17s(5%误差带)

答：t_r≈0.55s，t_p≈0.79s，σ%≈15.2%，t_s≈1.17s。题型三：劳斯判据求参数范围例题：单位反馈系统开环传递函数G(s)=K/(s(s+1)(s+2))，确定使系统稳定的K值范围。

解：闭环特征方程D(s)=s³+3s²+2s+K=0

列劳斯表：

s³|12

s²|3K

s¹|(6-K)/30

s⁰|K

系统稳定要求第一列均>0：K>0且6-K>0→0<K<6

答：0<K<6。题型四：稳态误差计算例题：单位反馈系统G(s)=10/(s(0.1s+1))，求输入r(t)=1+2t时的稳态误差。

解：系统为Ⅰ型。K_p=∞，K_v=lim(s→0)sG(s)=10，K_a=0

对于阶跃分量：e_ss1=1/(1+∞)=0

对于速度分量：e_ss2=2/K_v=2/10=0.2

总稳态误差e_ss=e_ss1+e_ss2=0+0.2=0.2

答：e_ss=0.2。题型五：根轨迹绘制例题：单位反馈系统G(s)=K*/[s(s+2)(s+4)]，绘制根轨迹简图，确定临界稳定K*。

解：(1)n=3,m=0，三条分支，终于无穷远。

(2)实轴上根轨迹：(-∞,-4]和[-2,0]。

(3)渐近线：σ_a=(0-2-4)/3=-2，φ_a=60°,180°,300°。

(4)分离点：1/d+1/(d+2)+1/(d+4)=0，解得d≈-0.85。

(5)与虚轴交点：特征方程s³+6s²+8s+K*=0，令s=jω，解得ω=√8≈2.83rad/s，K*=48。

临界稳定K*=48。题型六：伯德图绘制与稳定裕度计算例题：G(s)=100/[s(s+10)]，绘制伯德图，求γ和h。

解：标准化G(s)=10/[s(0.1s+1)]

低频段：20lg10=20dB，斜率-20dB/dec（积分环节）。

转折频率ω=1/0.1=10rad/s，之后斜率变为-40dB/dec。

求剪切频率：近似低频段ω_c处，|G(jω_c)|≈10/ω_c=1→ω_c=10rad/s。

相角φ(ω)=-90°-arctan(0.1ω)。

γ=180°+φ(ω_c)=180°-90°-arctan1=45°。

相角穿越频率：φ(ω_g)=-180°→-90°-arctan(0.1ω_g)=-180°→arctan(0.1ω_g)=90°→ω_g=∞。

故幅值裕度h=∞。

答：γ=45°，h=∞。第十部分：高频计算题练习（附带最终答案）序号题目答案1求F(s)=1/(s+1)的拉式逆变换e^(-t)2结构图串联：G₁=1/(s+1)，G₂=2/s，求总传递函数2/[s(s+1)]3负反馈：G(s)=10/(s+2)，H(s)=0.5，求闭环传递函数10/(s+7)4二阶系统ζ=0.5，ω_n=4，求σ%σ%≈16.3%5二阶系统ζ=0.7，ω_n=5，求t_s(2%)t_s≈1.14s6开环G(s)=50/[(s+2)(s+3)]，求静态误差系数K_p、K_vK_p=50/6≈8.33，K_v=07Ⅰ型系统，输入r(t)=3t，单位反馈，K_v=5，求e_sse_ss=3/5=0.68特征方程s³+2s²+4s+K=0，用劳斯判据求稳定K范围0<K<89G(s)=K/(s(s²+2s+2))，根轨迹渐近线倾角±60°,180°10G(s)=20/[(s+1)(s+5)]，求剪切频率ω_c（近似）ω_c≈4.47rad/s11伯德图相角裕度γ=30°，相位穿越时相角-180°，此时的幅值裕度h_dB=h>0dB12滞后校正的主要作用是提高低频增益，改善稳态精度13PID中D的作用是增加阻尼，减小超调14采样周期T=0.1s，信号最高频率3Hz，是否满足采样定理？f_s=10Hz>6Hz，满足15G(s)=10/[s(0.5s+1)]，求相角裕度γγ≈25.3°第十一部分：高频选择题题库（50题）模块一：基本概念题号题目选项A选项B选项C选项D答案1开环控制系统的特点是有反馈结构简单，精度低能自动修正误差抗扰能力强B2对控制系统最基本的要求是快速性准确性稳定性经济性C3传递函数只适用于非线性系统线性定常系统时变系统任何系统B4一阶系统1/(Ts+1)的调节时间t_s(5%)约为T2T3T4TC5二阶系统阻尼比ζ=0时，系统处于过阻尼临界阻尼欠阻尼无阻尼（等幅振荡）D模块二：数学模型题号题目选项A选项B选项C选项D答案6单位斜坡函数t的拉氏变换是1/s1/s²ss²B7惯性环节的转折频率为ω=1/Tω=Tω=1ω=0A8求传递函数时，初始条件设为1任意零-1C9梅森增益公式中Δ称为前向通路增益特征式回路增益余子式B模块三：时域分析题号题目选项A选项B选项C选项D答案10二阶系统超调量σ%仅取决于ω_nζ开环增益输入信号B11增加阻尼比ζ，系统超调量增大减小不变无法确定B12Ⅰ型系统跟踪阶跃输入的稳态误差为∞0常数无规律B13稳态误差分析中，系统型别越高，跟踪能力越弱不变越强振荡C14劳斯表第一列元素符号改变两次，则系统稳定有2个右半平面极点临界稳定有2个纯虚根B模块四：根轨迹题号题目选项A选项B选项C选项D答案15根轨迹的幅值条件是相角=180°幅值=1相角=0°幅值=0B16开环传递函数零极点个数n-m=2，渐近线倾角为60°90°120°180°B17根轨迹的起点是开环零点开环极点闭环极点无穷远B18实轴上根轨迹右侧的零极点个数之和为偶数奇数零任意B19根轨迹图能直观反映参数变化对__的影响开环增益闭环极点位置输入信号稳态误差B模块五：频域分析题号题目选项A选项B选项C选项D答案20积分环节的伯德图幅频特性斜率为0dB/dec-20dB/dec+20dB/dec-40dB/decB21相角裕度γ>0，系统一定稳定一定不稳定不一定稳定临界稳定A22奈氏判据中，Z=0表示开环稳定闭环稳定开环不稳定闭环不稳定B23增加超前校正后，系统的剪切频率ω_c减小增大不变不确定B24滞后校正主要改善动态性能稳态精度抗干扰快速性B25谐振峰值M_r与超调量的关系是M_r越大，σ%越小M_r越大，σ%越大无关成反比B模块六：离散系统与综合题号题目选项A选项B选项C选项D答案26Z变换中，z=e^(sT)表示拉氏算子离散算子时移算子频移算子C27离散系统稳定的充要条件是特征根在s左半平面z单位圆内z单位圆外任意B28PID的积分环节主要作用是提高响应速度消除稳态误差增加阻尼滤波B29复合控制中前馈的作用是提高稳定性提高抗扰性提高跟踪精度减小超调C30描述函数法主要用于分析线性系统非线性系统离散系统时变系统B第十二部分：判断题速记（30题）序号题目答案1传递函数是在零初始条件下定义的。对2闭环系统一定比开环系统精度高。错（与结构有关）3特征方程的根就是闭环极点。对4二阶系统总是稳定的。错（结构参数不良会不稳定）5欠阻尼二阶系统的调节时间与ζω_n成反比。对6稳态误差与系统型别和输入信号形式有关。对7劳斯判据只能判断稳定性，不能给出稳定程度。对8根轨迹是闭环极点的轨迹。对9根轨迹渐近线总是对称于实轴。对10最小相位系统幅频和相频一一对应。对11剪切频率ω_c越高，系统快速性越好。对12幅值裕度大于1（或大于0dB）系统一定稳定。错（还需相角裕度>0）13超前校正可以增加相角裕度。对14滞后校正可能降低剪切频率，减慢响应。对15积分控制可以消除阶跃输入的稳态误差。对（I型以上系统）16微分控制对噪声有放大作用。对17采样频率只要大于信号最高频率即可。错（需大于2倍）18离散系统稳定条件是所有极点位于z平面左半平面。错（单位圆内）19根轨迹的分离点一定在实轴上。对（当根轨迹在实轴上时）20频率特性G(jω)是传递函数的特例（s=jω）。对21奈氏曲线不包围(-1,j0)，闭环一定稳定。错（与开环不稳定极点数有关）22增加开环增益K会使稳态误差减小。对23过阻尼二阶系统没有超调。对24Ⅰ型系统跟踪斜坡输入有静差。对（有常数稳态误差）25延迟环节不影响幅频特性，只影响相频特性。对26最小相位系统的相角裕度一定为正值。错（也可能负，但稳定时为正）27根轨迹可用于分析系统的动态性能。对28伯德图的高频段反映系统的动态性能。错（高频段反映抗干扰和复杂性）29PID控制器的三个参数需要通过整定确定。对30非线性系统可以用叠加原理。错第十三部分：填空题高频考点（直接背诵）序号题目答案1传递函数定义为__条件下，输出与输入的拉氏变换之比。零初始2典型二阶系统传递函数标准形式为__。ωn²/(s²+2ζωns+ω_n²)3欠阻尼时，峰值时间t_p=__。π/(ω_n√(1-ζ²))4超调量σ%仅与__有关。阻尼比ζ5系统稳定充要条件是闭环极点全部位于__。s左半平面6劳斯判据若第一列元素__，则系统稳定。全部大于零7静态速度误差系数K_v=__。lim(s→0)sG(s)H(s)8根轨迹相角条件是∠G(s)H(s)=__。(2k+1)π9根轨迹始于__，终于__。开环极点，开环零点（或无穷远）10频域分析中，剪切频率ω_c满足__。11相角裕度γ=__。180°+∠G(jω_c)12幅值裕度h=__（dB）。-20lg13奈氏判据Z=__，闭环稳定时Z=0。P-2N14超前校正的最大相角频率ω_m=__。1/(T