专题讲义 二次根式的概念（举一反三）（试题版）

专题二次根式的概念（举一反三讲义） 【新教材苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次根式的概念】 1【题型2二次根式有意义的条件】 2【题型3二次根式的双重非负性】 2【题型4a2=a】 2【题型5a2=aa≥0】 3【题型6规律探究】 4【题型7化简求值】 4【题型8隐含条件】 5【题型9复合根式】 5知识点1二次根式的概念1.定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数．2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）．知识点2二次根式有无意义的条件当例如：因为x2+2x+1=(知识点3二次根式的性质1.二次根式a具有双重非负性：被开方数2.(a)2=a3.a2=a如(±拓展：(a)2运算结果(aa的取值a≥0任意实数作用①用来去根号，化简二次根式；

②可用a=①用来去根号，化简二次根式；

②将根号外的非负因式平方后移到根号内.例如：若a≥0,则2a=【题型1二次根式的概念】【例1】（24-25八年级下·四川成都·专题练习）下列各式一定属于二次根式的是（）A．-4 B．x C．x+1 D．【变式1-1】（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各式一定是二次根式的是（）A．35 B．-3 C．6 D．【变式1-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（

）A．x+1 B．3-π C．3 D．【变式1-3】（24-25八年级下·广西桂林·专题练习）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由．（1）8；（2）-15；（3）a2+1；（4）3-8；（5）（6）3m；（7）1+4xx<-【题型2二次根式有意义的条件】【例2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）若式子x-1x-2有意义，则实数的取值范围是【变式2-1】（24-25八年级下·山东济宁·期中）若二次根式2025+x有意义，则实数x的取值范围是．【变式2-2】（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）二次根式x-1x中字母x的取值范围是【变式2-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当2x-3有意义时，x【题型3二次根式的双重非负性】【例3】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知对所有实数x，满足x+1+x-32=m-x-2，则【变式3-1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数x，y满足y=x-3+3-x+2，则【变式3-2】（24-25八年级上·湖南常德·期末）若a，b为实数，且满足|a-5|+(b+3)2=0，则a-b【变式3-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知实数x满足20122-4024x+x2【题型4a2=【例4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）若化简1-x-x2+8x+16的结果为A．x=0 B．x≤1 C．x≥1 D．x≤4【变式4-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）已知1<x<2，化简x2-2x+1+x【变式4-2】（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：(1)当3≤a≤7时，化简：a-32+(2)若等式a-52-a+92=14(3)若a+12+a-5【变式4-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）设M=20212-2020×2022，N=20212-4042×2022+2022A．M>N B．M<N C．M=N D．M=±N【题型5a2=a【例5】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知△ABC的三边长a、b、c满足a+b-2a-1-4b-2【变式5-1】（24-25八年级下·天津和平·期中）若1，a，3【变式5-2】（24-25八年级下·甘肃武威·期中）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题：(1)已知(x-3)2-((2)已知a，b是实数，且b>a-2-22-a【变式5-3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知a+b+c=2a-2+4b-1+6c+3-14，求【题型6规律探究】【例6】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第n-4个数是（用含n的代数式表示）（

）A．n2-4 B．n2-2 C．【变式6-1】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项式依次为：2a，42a2，63a3，84a4A．2nnanC．2n+1na【变式6-2】（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：1-12=12；2-2（1）第5个等式为；（2）若a-8b=a8b（a，【变式6-3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题：①1-34=14=12(1)根据上述规律，写出第5个等式：________．(2)请写出第n个（n为正整数）等式：________，并证明你的结论．(3)运用上述结论，计算：1-3【题型7化简求值】【例7】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数a满足6<2a-2<20，化简：a-42【变式7-1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知y=32x-1+21-2x【变式7-2】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简c2【变式7-3】（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）已知M=a+b2=3，N=ab=3，P=a【题型8隐含条件】【例8】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若m满足关系式3x+5y-2-m+2x+3y-m=1-x-y⋅x-1+y【变式8-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx-m+my-m=【变式8-2】若a、b、c为实数，且满足a+b+c=2a+1+4b+1+6c-2-14【变式8-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）若实数a，b，c满足关系式a-199+199-a=2a+b-c+【题型9复合根式】【例9】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知正整数a、m、n满足a2A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在【变式9-1】（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）计算2025-2024的结果是【变式9-2】（24-25八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值．在计算7-210的过程中，小明和小莉小明的计算过程如下：7-2＝2-2＝2＝2＝2小莉的计算过程如下：7-2＝2-2＝2＝2＝5(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理