2026年上海市初中学业水平模拟自测数学试卷（含答案）

2026年上海市初中学业水平模拟测试数学试卷一．填空题（共7小题，满分30分）1．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，点P从B点出发沿BA方向向终点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q从A出发沿AC方向向终点C以2cm/s的速度移动．设运动时间为t（s），当t＝时，△ABC与△APQ相似．2．（4分）△ABC与△DEF的相似比是1：2，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是．3．（4分）不用计算器求值：tan30°+sin60°1−cos60°=4．（4分）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为．5．（4分）如图，OA＝AB，∠BAO＝90°，OB＝2，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为y＝．6．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点E，AC＝12，cosA=35，则AE的长为7．（5分）小明用一张梯形纸做折纸游戏．先上下对折，使两底重合，可得图①，并测出未重叠部分的两个三角形面积和是20平方厘米．然后将图①中两个小三角形部分向内翻折，得到图②．经测算，图②的面积相当于图①的56．这张梯形纸的面积是二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）8．（5分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+4的最值，下列说法正确的是（）A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值4 D．有最小值49．（5分）如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度EF，小高用高1.5m的测量仪在点A处测得树顶的仰角为45°，在点B处测得树顶的仰角为28°，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2m，AB＝5m，则树顶离水面的高度EF为（结果保留一位小数，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．9.1m B．7.6m C．8.6m D．8.1m10．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC=32，点D在AB的延长线上，∠A＝∠BCD＝45°，则△BCDA．7.5 B．42 C．7 11．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AE：CE＝1：2，F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点D，则BD：CD的值为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）12．（10分）计算：|2−313．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝16，CD＝10，BC=65（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．14．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝12，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF．（1）求证：△EFD∽△FBC；（2）求tan∠AFB的值．15．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．16．（10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（﹣1，0），B(0，3)，O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A'B'（1）如图，一抛物线经过点A，B，B'，求该抛物线解析式；（2）设点M是在第一象限内抛物线上一动点，若∠MBB'＝∠OBB'，请直接写出点M的坐标；（3）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，当四边形PBAB'的面积达到最大时，求点P的坐标，并求出面积的最大值和点P到A'B'的距离．

参考答案与试题解析一．填空题（共7小题，满分30分）1．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，点P从B点出发沿BA方向向终点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q从A出发沿AC方向向终点C以2cm/s的速度移动．设运动时间为t（s），当t＝2或45时，△ABC与△APQ【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】2或45【分析】列出比例式，根据比例式求出运动时间．【解答】解：点P从B点出发沿BA方向向终点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q从A出发沿AC方向向终点C以2cm/s的速度移动．设运动时间为t（s），则BP＝tcm，AP＝（4﹣t）cm，AQ＝2tcm，∵∠A＝∠A，若APAB=AQAC，有△∵AB＝4cm，AC＝8cm，∴4−t4∴t＝2；若APAC=AQAB，有△∵AC＝8cm，AB＝4cm，∴4−t8∴t=4故答案为：2或45【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论．2．（4分）△ABC与△DEF的相似比是1：2，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是10．【考点】相似三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】10．【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是1：2，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2，而△ABC的周长是5，∴△DEF的周长＝2×5＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．3．（4分）不用计算器求值：tan30°+sin60°1−cos60°=5【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题；运算能力．【答案】53【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式==5=5故答案为：53【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．4．（4分）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为y＝﹣10x2+200x﹣360．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【答案】y＝﹣10x2+200x﹣360．【分析】根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣2）[50+10（13﹣x）]整理得：y＝﹣10x2+200x﹣360．故答案为：y＝﹣10x2+200x﹣360．【点评】此题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．5．（4分）如图，OA＝AB，∠BAO＝90°，OB＝2，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为y＝y＝x2+2x．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】y＝x2+2x．【分析】根据题意得到A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），O（0，0），待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵OA＝AB，∠BAO＝90°，OB＝2，∴A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），O（0，0），设过O、A、B三点的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，代入三个点坐标得：a−b+c=−14a−2b+c=0c=0，解得∴抛物线解析式为：y＝x2+2x．故答案为：y＝x2+2x．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是关键．6．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点E，AC＝12，cosA=35，则AE的长为50【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】503【分析】根据三角函数求出AB＝20，从而由线段中点的定义求出AD＝10，再由三角函数求出AE即可，掌握三角函数，线段中点的定义是解题的关键．【解答】解：∵DE⊥AB，AC＝12，cosA=AC∴12AB∴AB＝20，∵D是AB的中点，∴AD＝10，∵cosA=AD∴10AE∴AE=50故答案为：503【点评】本题考查了解直角三角形，线段中点的定义，正确进行计算是解题关键．7．（5分）小明用一张梯形纸做折纸游戏．先上下对折，使两底重合，可得图①，并测出未重叠部分的两个三角形面积和是20平方厘米．然后将图①中两个小三角形部分向内翻折，得到图②．经测算，图②的面积相当于图①的56．这张梯形纸的面积是100【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；梯形．【专题】梯形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】100．【分析】由折叠可知，折痕MN是梯形的中位线，则AM＝PM＝BM，DN＝QN＝CN，所以S矩形MNGH＝S矩形MNFE=12S梯形ABCD，而S△MBP+S△NCQ＝20平方厘米，则S△BME+S△CNF＝10平方厘米，设图②的面积为x平方厘米，则x=56（10+x），求得x＝50，则S矩形MNFE＝50平方厘米，所以S梯形ABCD＝2【解答】解：如图①，过点M作ME⊥BC于点E，交DA的延长线于点H，过点N作NF⊥BC于点F，交AD的延长线于点G，由折叠可知，线段MN是梯形ABCD的中位线，∴AM＝PM＝BM，DN＝QN＝CN，∴S△AMH＝S△BME，S△DNG＝S△CNF，∴S矩形MNGH＝S矩形MNFE=12S梯形∵S△MBP+S△NCQ＝20平方厘米，∴S△BME+S△CNF=1设图②的面积为x平方厘米，则x=56（10+解得x＝50，∴S矩形MNFE＝50平方厘米，∴S梯形ABCD＝2S矩形MNFE＝2×50＝100（平方厘米），故答案为：100．【点评】此题重点考查梯形的面积、根据转化思想解决有关的面积问题等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）8．（5分）关于二次函数y＝2（x﹣3）2+4的最值，下列说法正确的是（）A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值4 D．有最小值4【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】D【分析】根据二次函数的顶点式y＝2（x﹣3）2+4，通过系数a＝2＞0判断开口方向，从而确定最值类型（最大值或最小值），顶点坐标（3，4）给出最值点．【解答】解：根据二次函数的顶点式y＝2（x﹣3）2+4特征可知：∴抛物线开口向上，有最小值，∴顶点坐标为（3，4），∴最小值为4．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．9．（5分）如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度EF，小高用高1.5m的测量仪在点A处测得树顶的仰角为45°，在点B处测得树顶的仰角为28°，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2m，AB＝5m，则树顶离水面的高度EF为（结果保留一位小数，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．9.1m B．7.6m C．8.6m D．8.1m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解分式方程；等腰直角三角形．【专题】分式方程及应用；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．【答案】A【分析】根据题意可得MF＝2m，∠ECH＝45°，∠EDH＝28°，AC＝BD＝HM＝1.5m，AB＝CD＝5m，根据∠ECH＝45°，得出△CHE是等腰直角三角形，设EH＝CH＝x，根据∠EDH的正切函数可得xx+5≈0.53，解方程求出x的值，根据EF＝EH+HM+【解答】解：如图，过点A作AM⊥EF于点M，由题意得：MF＝2m，∠ECH＝45°，∠EDH＝28°，AC＝BD＝HM＝1.5m，AB＝CD＝5m，∵∠ECH＝45°，∠EHC＝90°，∴△CHE是等腰直角三角形，设EH＝CH＝x，∵∠EDH＝28°，∴tan∠EDH=EH解得：x≈5.6（经检验，是分式方程的解，且符合题意），∴EF＝EH+HM+MF＝5.6+1.5+2＝9.1（m），∴树顶离水面的高度EF为9.1m，故选：A．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解分式方程，等腰直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．10．（5分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC=32，点D在AB的延长线上，∠A＝∠BCD＝45°，则△BCDA．7.5 B．42 C．7 【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【答案】A【分析】通过证明△BCD∽△CAD，可得BD=5x，CD＝3x【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A＝45°，CH⊥AB，∴△ACH是等腰直角三角形，∴AH＝CH，AC=2CH＝32∴AH＝CH＝3，∴BH＝1，∴CB=BH∵∠A＝∠BCD＝45°，∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD，∴BCAC∴BDCD∴设BD=5x，CD＝3x∵CD2＝CH2+DH2，∴9x2＝9+（5x+1）2，∴x1=5，x2=−∴BD＝5，∴△BCD的面积=12×BD•故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．11．（5分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AE：CE＝1：2，F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点D，则BD：CD的值为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】B【分析】过F作BC的平行线交AC与G，可得出EGCE=EFEB=FGBC=12，根据△【解答】解：如图，F是BE的中点，过F作BC的平行线交AC与G，∴△EFG∽△EBC，∴EGCE∴EG＝CG，BC＝2FG，又∵FG∥BC，∴△AFG∽△ADC，∴AFAD∵AE：CE＝1：2，EG＝CG，∴FGDC∴DC=3∴BD：CD=2FG−故选：B．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）12．（10分）计算：|2−3【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【答案】2−23【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：原式=2−=2−3=2−23【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．13．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝16，CD＝10，BC=65（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．【考点】直角梯形；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】梯形；推理能力．【答案】（1）156；（2）12【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据勾股定理求出CE，再根据梯形的面积公式计算，得到答案；（2）连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，根据勾股定理求出BD，证明△CHD∽△DAB，根据相似三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出BH，再根据正切的定义计算即可．【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE＝AD，AE＝DC＝10，∵AB＝16，∴BE＝AB﹣AE＝16﹣10＝6，由勾股定理得：CE=B∴梯形ABCD的面积为：12（2）如图，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，则∠CHD＝∠DAB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝12，AB＝16，则BD=A∵AB∥DC，∴∠CDH＝∠DBA，∴△CHD∽△DAB，∴CHAD=DC解得：CH＝6，由勾股定理得：BH=B∴tan∠DBC=CH【点评】本题考查的是梯形的性质、相似三角形的判定和性质、正切的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝12，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF．（1）求证：△EFD∽△FBC；（2）求tan∠AFB的值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠AFB=3【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可得∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可得∠BFE＝∠DAB＝90°，证明∠BFC＝∠FED，进而可得结论；（2）由折叠可得BF＝AB，根据勾股定理可得CF＝5，所以FD＝8，由折叠可得∠AFB＝∠FAB，由AB∥CD，可得∠AFD＝∠FAB，所以∠AFD＝∠AFB，进而可求tan∠AFB的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可知：∠BFE＝∠DAB＝90°，∴∠EFD+∠BFC＝∠EFD+∠FED＝90°，∴∠BFC＝∠FED，∴△EFD∽△FBC；（2）解：由折叠可知：BF＝AB＝13，在Rt△BFC中，BC＝12，∴CF=B∴FD＝CD﹣CF＝13﹣5＝8，∴tan∠AFD=AD由折叠可知：∠AFB＝∠FAB，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FAB，∴∠AFD＝∠AFB，∴tan∠AFB=3【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出∠AFD的正切是本题的关键．15．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）连接OA，∵PA＝PB，OB＝OA，OP＝OP，∴△OBP≌△OAP（SSS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴OB⊥BP，∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线；（2）73．【分析】（1）要证明PB是⊙O的切线，只要证明∠PBO＝90°即可，根据题意可以证明△OBP≌△OAP，从而可以解答本题；（2）根据题意和勾股定理的知识，可以求得QD的值．【解答】（1）证明：连接OA，∵PA＝PB，OB＝OA，OP＝OP，∴△OBP≌△OAP（SSS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴OB⊥BP，∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：连接AC，设OA＝r，则OQ＝2+r，∵∠OAQ＝180°﹣∠OAP＝90°，AQ＝4，CQ＝2，∴OA2+AQ2＝OQ2，即r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，∴BC＝6，OA＝3，设BP＝x，则AP＝x，∵PB是圆O的切线，∴∠PBQ＝90°，∴BQ2+BP2＝PQ2，∴x2+（6+2）2＝（x+4）2，解得x＝6，∴BP＝6，∵QD为PB边上的中线，∴BD＝3，∴QD=(6+2【点评】本题是圆的综合题，考查切线的判定与性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．（10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（﹣1，0），