2027届新高考数学一轮热点复习事件的独立性、条件概率与全概率公式

2027届新高考数学一轮热点复习事件的独立性、条件概率与全概率公式知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P(AB)＝_____________，则称事件A与事件B相互独立．注：“相互独立”与“事件互斥”的区别．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．P(A)P(B)3．乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．4．性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．归

纳

拓

展1．事件的表示(1)A、B中至少有一个发生的事件为A∪B.(2)A、B都发生的事件为AB.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(

)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(

)(3)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(

)(4)抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事件B＝“两枚骰子向上点数之和为7”，则A与B独立．(

)[答案]

(1)√

(2)×

(3)√

(4)√题组二走进教材2．(多选题)(选择性必修3P48T3)一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是(

)[答案]

BCD[答案]

A题组三走向考场4．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(

)A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4[答案]

A5．(多选题)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)(

)A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率[答案]

ABD[解析]

依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)．(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A正确；三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1－β)·β·(1－β)＝β(1－β)2，B正确；考点突破·互动探究相互独立事件的概率——多维探究角度1判断事件的独立性(2026·河南商丘模拟)盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回．设事件A＝“两次均未摸出红球”，事件B＝“两次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的两个球中有红球”，事件D＝“第二次摸出的两个球中有白球”，则(

)A．A与B相互独立

B．A与C相互独立C．B与C相互独立

D．C与D相互独立[答案]

D【变式训练】(多选题)(2026·湖北A9高中联盟期中联考)甲、乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是(

)A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C．事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件[答案]

BC[解析]

事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者是互斥事件，A错误；事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；事件“甲、乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲、乙不全投得6点”，故事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙不全投得6点”是对立事件，C正确；事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，故选BC.角度2相互独立事件的概率1．(多选题)(2026·河北重点高中模拟)甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是(

)[答案]

ABC2．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_____.[答案]

0.18[解析]

前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是P＝0.108＋0.072＝0.18.[答案]

B[引申1]本例2中乙以4∶0获胜的概率为______，甲以4∶2获胜的概率为________.[答案]

0.04

0.171[引申2]本例3中至少有一个队完成任务的概率为________.名师点拨：判断两个事件是否相互独立的方法1．直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率．2．定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．求相互独立事件概率的主要方法1．利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．2．正面计算较繁琐(如求用“至少”“至多”等表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．[答案]

BC条件概率——自主练透1．(2026·湖北部分名校联考)已知事件A和事件B满足：P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，P(A＋B)＝0.9，则P(A|B)＝(

)[答案]

D[答案]

ABD3．(2026·湖北宜昌起点考试)不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为(

)[答案]

B2．(2026·广东中山一中测试)从编号1～10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则P(B|A)＝(

)[答案]

B全概率公式——师生共研[答案]

C2．(2026·广东深圳宝安区质检)近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则P(B)＝(

)[答案]

D[引申]本例1条件下P(A|B)＝________.名师点拨：利用全概率公式的策略1．根据题意，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．2．求P(Ai)及事件B在各互斥事件Ai发生的条件下的概率P(B|Ai)；【变式训练】(2025·江苏常州质检)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为(

)A．0.515 B．0.05C．0.0495 D．0.0485[答案]

D名师讲坛·素养提升概率的综合问题(2026·江苏南京模拟)人工智能是用于研究模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能地摸出一个(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来的袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来的袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．[解析]

设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.【变式训练】(2025·江苏常州教科院附中调研)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT中．某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球．(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大．提能训练练案[65]A组基础巩固

[答案]

D[答案]

D3．(2025·山西大同摸底)已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作．则听不到声音的概率为(

)A．0.19738 B．0.00018C．0.01092 D．0.09828[答案]

A[答案]

B5．(2026·江西赣抚吉十二校联考)儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关．据调查，某幼儿园大约有60%的学生牙齿健康，大约有30%的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有70%的学生牙齿健康．现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为(

)[答案]

A6．(2026·湖北高中名校联盟联考)某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是(

)A．0.16 B．0.31C．0.4 D．0.32[答案]

B[解析]

设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则P(A)＝0.3，P(D|A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(D|B)＝0.3，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.4，D＝DA∪DB∪DC，由全概率公式得：P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.3×0.2＋0.3×0.3＋0.4×0.4＝0.31.故选B.7．(2026·广东佛山S6高质量发展联盟联考)掷2次质地均匀的骰子，记事件A为“两次掷出的数字相同”，事件B为“两次掷出的数字不同”，事件C为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件D为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的有(

)[答案]

B[答案]

ACD9．(2026·天域全国名校协作体联考)盒子中有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是红球”，则(

)[答案]

BCD[答案]

BCD12．(2026·湖北部分高中协作体联考)一个数学兴趣小组共有2名男生、3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为________.四、解答题14．(2025·广东肇庆联考)某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．(1)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率；(2)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品