2027届新高考数学热点突破复习嵌套函数的零点问题

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2027届新高考数学热点突破复习嵌套函数的零点问题嵌套函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质等相关

问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为

t，通过换元将嵌套函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图

象、性质求解.

嵌套函数零点个数的判定

A.3B.5C.7D.8√

规律方法判断嵌套函数零点个数的主要步骤（1）换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点；（2）依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断

图象交点个数.提醒

抓住两点：（1）转化换元；（2）充分利用函数的图象与性质.

根据嵌套函数零点情况求参数

[－1，＋∞）解析：设t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝

0，则a＝f（t）.在同一平面直角坐标系内作y＝a，

y＝f（t）的图象（如图）.易知当a＜－1时只有一个

零点；当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1），则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解；当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点.规律方法

求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的

图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数.

处理含参数的嵌套函数，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位

置，动静结合.

A.3B.4C.2D.1√解析：

设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2＝

0，当μ＞1时，f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ－1）－2

＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋1，所以－μ＋

1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A.

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