2020-2021学年北京市顺义区高二下期中数学试卷

XX中高二年级2020—2021第二学期期中考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.1．直线的倾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．135°2．已知数列中，，，则等于（）A．-12B．12C．-16D．163．已知点A的坐标是（-1,0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（）A．x2+y2+2x-3=0B．x2+y2-2x-3=0C．x2+y2+2y-3=0D．x2+y2-2y-3=04．某工厂对一批元件进行抽样检测．经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于93至105之间．将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的不合格率是()A．80%B．11%C．20%D．14.5%5．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是()A.B．C. D.6．如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为.水面高度时间的函数，这个函数图象只可能是（）A.B．C. D.7．已知等比数列的前n项和为Sn，下表给出了Sn的部分数据：123456…20-61那么数列的第四项等于（）A．81B．27C．-81或81 D．-27或278．已知是等差数列的前项和，且.以下有四个命题：=1\*GB3①数列中的最大项为；②数列的公差；③；④.其中正确的序号是A．②③ B．②③④ C．②④ D．①③④9．已知抛物线C：x2=4y上的两点分别为，，且点C（1,0），若直线AB与坐标轴不平行，则下列说法错误的是（）A.存在以点A为直角顶点的Rt△ABCB.若y1>0，y2>0，则|AC|≠|BC|C.△ABC可能是等边三角形D.当A、B、C三点共线时，则|AB|>410．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数f(x)=xlnx的导数f'(x)=.12．双曲线的渐近线方程是；离心率是13．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面3节的容积共3L，下面3节的容积共4L，则第5节的容积为L，9节竹总容积为.14．直线与抛物线交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线互相垂直，其中A点坐标为（2，2），则直线的斜率等于.15．已知，

（），则下列命题中所有正确命题的序号为________.=1\*GB3①存在，使得，的单调区间完全一致；=2\*GB3②存在，使得，的零点完全相同；=3\*GB3③存在，使得，分别为奇函数，偶函数；=4\*GB3④对任意，恒有，的零点个数均为奇数.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（本小题满分13分）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为q（q>0）的等比数列，且，，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．17．（本小题满分13分）某学校为了了解高中生艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标x和y，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学.若，则认定该同学为“初级水平”，若，则认定该同学为“中级水平”，若，则认定该同学为“高级水平”；若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”.（Ⅰ）从50名女同学中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；（Ⅱ）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；（Ⅲ）试比较这100名同学中，男、女生指标y的方差的大小（只需写出结论）.DA1BDA1B1EC1CBAM如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D、E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱AB的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的余弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．19．（本小题满分15分）已知椭圆（）的焦点是F1，F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于，（）两点，点Q是直线l上异于F2的一点，且满足.求证：点Q的横坐标是定值.20．（本小题共15分）已知函数．（Ⅰ）如果曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；（II）求函数的单调区间；（Ⅲ）设，求证：当时，恒成立.21．（本小题满分14分）已知是无穷数列，且，给出该数列的两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得．(Ⅰ)判断数列{2n}和数列是否满足性质①（直接写出答案即可）；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：数列为等比数列.XX中高二年级2020—2021第二学期期中考试数学试卷答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.1.B；2.A；3.A；4.C；5.D；6.C；7.B；8.B；9.C；10.D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．lnx+1；12.；13；14.；15②=4\*GB3④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（本小题满分13分）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为q（q>0）的等比数列，且，，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）因为数列是公差为的等差数列，，，所以所以……2分所以……4分所以因为，所以所以因为，，所以……6分所以……8分（Ⅱ）因为，且，所以数列是首项为4，公比为等比数列所以……13分17．（本小题满分13分）某学校为了了解高中生艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标x和y，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学.若，则认定该同学为“初级水平”，若，则认定该同学为“中级水平”，若，则认定该同学为“高级水平”；若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”.（Ⅰ）从50名女同学中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；（Ⅱ）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；（Ⅲ）试比较这100名同学中，男、女生指标y的方差的大小（只需写出结论）.解：（I）由图知，在50名参加测试的女同学中，指标的有15人，所以，从50名女同学中随机选出一名，该名同学为“初级水平”的概率为.-----------------------------------------4分（Ⅱ）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为，，.“高级水平”有3人，分别记为，，，所有可能的结果组成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中两人均为“高级水平”的共有3个，---------------------------------------9分所以，所选2人均为“高级水平”的概率.-------------------------------------11分（Ⅲ）由图可知，这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.------13分DA1BDA1B1EC1CBAM如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D、E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱AB的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的余弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．解：依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、.（1分）（Ⅰ）依题意，，，从而，所以；……4分（综合法证明4分）（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，（1分），．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．（2分）设二面角B-B1E-D的平面角为θ，则．（3分）所以，二面角的余弦值为；……11分（Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，设直线AB与平面DB1E所成角为α，则．（3分）所以，直线与平面所成角的正弦值为.……15分19．（本小题满分15分）已知椭圆（）的焦点是F1，F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于，（）两点，点Q在直线l上异于F2的一点，且满足.求证：点在一条定直线上.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点是，，且，所以……2分因为离心率为，所以所以……4分所以椭圆的方程是……5分（Ⅱ）（i）解：因为，故直线AB存在斜率设直线的斜率为，所以直线的方程可设为，联立方程组消去，整理得所以，……8分因为点在直线上，所以设点的坐标是，则有因为，所以……11分所以所以=2，因为y=k(x-1)，所以y=2k……15分所以点的坐标是所以点在定直线上.20．（本小题共15分）已知函数．（Ⅰ）如果曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；（II）求函数的单调区间；（Ⅲ）设，求证：当时，恒成立.解：（Ⅰ），由题意知，，即，所以.-------2分又，所以切线方程为即.……………4分（Ⅱ）定义域为R，当时，恒成立，所以函数在R上单调递减；当时，当时，，函数递增，时，，函数递减；综上：当时，函数f(x),的单调递减区间为，无单调增区间；当时，函数f(x),的单调递增区间为，单调递减区间为；……8分（Ⅲ）设h(x)=f(x)-g(x)=，则.……………9分设，所以.因为，所以.因此恒成立.所以当时，单调递增.……11分又因为，，所以存在唯一的，使得.……13分列表如下：0100极小值当时，.所以当时，，则有，即恒成立.----------15分21．（本小题满分14分）已知是无穷数列，且，给出该数列的两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得．(Ⅰ)判断数列{2n}和数列是否满足性质①（直接写出答案即可）；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：数列为等比数列.